第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（基础）解析版

第2章一元二次函数、方程和不等式章末测试（基础）

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，8题共40分）

1.（2022•江苏•高一单元测试）若。力,c为实数，且。<万<0,则下列命题正确的是（）

‘OOellbaCD0

A.ac1<be1B.C.—>—D.a2>ab>b1

abab

【答案】D

【解析】对于A,当。=0时，ac2=bc2=0,A错误；

对于B,当。=-2,6=-1时，-=-1,7=-1,此时B错误；

albab

对于C,因为。<6<0,所以廿<片，ab>0,又..也-巴=匕士<。,C错误；

ababab

对于D,Qa<b<0,.\a-b<0,/.a2-ab=a[a-b）>0,ab-b2

>ab>b2,D正确.故选：D.

2.（2022•陕西）“a>6>0”是“q>1”的（）

b

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由。>6>0,得:>1,反之不成立，如。=-2,b=-l,满足：>1,但是不满足。>b>0,

bb

故七>b>0”是畔>1”的充分不必要条件.故选：B

b

13

3.（2022・全国•高一期末）已知a>0*>0,a+b=l,则>=—+；■的最小值是（）

ab

A.7B.2+73C.4D.4+2有

【答案】D

【解析】因为。>0力>。,“+6=1,所以>=,+3=（“+3口+3]=4+?+的24+2）。•的=4+24，

当且仅当2=当即b=可时，等号成立.结合。+人=1可知，当二1,6=三3时一,y有最小值4+26.

ab22

故选：D.

4.（2022•浙江•高三学业考试）不等式土二<。的解集为（）

x+2

A.{x\x>l}B.{x\x<-2]

C.{x\-2<x<l]D.{x\x>l^x<-2]

【答案】C

【解析】由题意，工<0等价于（xT）（x+2）<0,解得—2<x<l,

所以不等式二<0的解集为{x|-2<x<l}.故选：C.

5.（2022•全国•高三专题练习）已知实数羽丫满足-44x-yW-l,-l<4x-y<5,则9x-y的取值范围是

（）

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

【答案】B

n—m

x=-------

385

[解析]^m=x-y,=4x-y,贝5,则z=9x—y=一九——m,

nn—4m33

y=--------

3

5520884085

——m<——,又・..一1(〃(5,/.一一<-n<——,-l<z=9x-y=-n——m<20,

33333333

故选：B.

6.（2022•浙江・太湖高级中学高二学业考试）玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元,

若每批生产x件，则平均仓储时间为£天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产

O

准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

A.60件B.80件C.100件D.120件

【答案】B

【解析】根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+*弓=800+：£

OO

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为/口）=竺1£800x

----+—（X为正整数）

Xx8

由基本不等式,得"+嬴2序=2°当且仅当空小即时，/⑺取得最小值,

;.x=8O时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B

7.（2022•全国•专题练习）若a>0,b>0,且a+6=4,则下列不等式恒成立的是（)

ab2ab

C.y[ab>2D.—z--z-<—

a2+b28

【答案】D

【解析】由a>0,b>0,且。+6=4,可得"4（等）2=4,

当且仅当。=6=2时，等号成立，

对于A中，由所以A错误；

ab4

对于B中，-1+11=^a+b=44>1,所以B错误；

ababab

对于C中，由QZ?44,可得所以C错误；

对于D中，^£±^1>（£±^）2=4,所以6+〃22><4=8,

22

所以」vW：,所以D正确.

故选：D.

8.（2022•黑龙江）已知二次方程2炉+狈+3=0的一个根为1,则另一个根为（）

A.-B.士C.2D.4

42

【答案】A

11

【解析】设另一根为无，由韦达定理可知，（21，即天=:，故选：A.

Ixx=—二一4

24

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

9.（2022・全国•高三专题练习）已知不等式以2+法+C〉。的解集为卜则下列结论正确的是

（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>Q

【答案】BCD

【解析】对A,,••不等式内2+法+c>0的解集为

故相应的二次函数>=62+厩+。的图象开口向下，

即avO,故A错误；

对B,C,由题意知：2和-g是关于x的方程62+如+0=0的两个根，

c1b13

贝!J有_=2x（——）=-l<0,——=2+（——）=->0,

a2a22

Xa<o,故6>0,c>0,故B,C正确；

c

对D,,/—=-1,:.a+c=O,

a

X*/Z?>0,.,.a+b+c>0,故D正确.故选：BCD.

10.（2022•云南•会泽县实验高级中学校高一开学考试）若不等式依2-6x+c>0的解集是则下列选

项正确的是（）

A.a<0B.力<0且c>0

C.a+Z?+c>0D.不等式ax?一5+。<。的解集是R

【答案】AB

【解析】由题意，不等式加-法+c〉0的解集是（T2）,

-1+2=-

可得T，2是方程62一灰+0=0的两个根，所以"，且a<o,所以A正确；

-1x2=-

.a

又由6=a,c=-2a,所以6<0,c>0,所以B正确；

当x=-l时，止匕时a+b+c=O,所以C不正确；

把6=a,c=—2a代入不等式依？一cx+6<0,可得ax?+2ax+a<0，

因为a<0,所以Y+2x+l>0,即（x+l）2>0,此时不等式的解集为{X|XHT},

所以D不正确.故选：AB.

11.（2022•山东•德州市第一中学）对于实数a,b,c,下列说法正确的是（）

则,<。

A.若〃〉Z?〉0,B.若a>>，贝1」at?2/c2

ab7

C.若a〉O>b,则ab<a2D.右c>a>b,贝!J

c—ac-b

【答案】ABC

【解析】对于A,丁y=：在（。,+8）上单调递减，...当a>/?>0时，—<g，A正确;

对于5,当。=0时，ac2=bc2=0；当cw。时，c2>0,贝lja>匕时，ac2>be2;

综上所述：若a>b,贝卜02之儿2,3正确；

对于C,若a>O>b,则必vO,a?〉。，ab<a2。正确;

对于。，若c=0,则上-=-1,一]=T，不满足上>占，。错误.故选：ABC.

c-ac-bc—ac—b

12.(2022・江苏・宿迁中学)下列命题为真命题的是()

A.若a<b,则

B.^-<-<0,则-工

abab

c.若关于x的不等式依2+"+2>0的解集为{尤I-g<x<g},则a+b=-10

D.若a>0力>0,则“a+b48”是“必<16”的必要不充分条件

【答案】BC

【解析】A：〃=一2</?=1时/>。2,错误；

B：a---(b--)=(a-b)-(—--)=(a-b)+——-=(tz-/?)(l+-),

abababab

ffi]—<-<0,贝!JZ?<Q<0,i^a-b>Q,ab>Q,

ab

所以°_工_屹一;)>0,即-!，正确；

abab

a<0

b111[a=-12

C：由题设<——=--+T=7，可得<7c，故。+〃=一10,正确；

a326[b=2

2111

[a326

D：当o=2,Z?=8时而a+bW8不成立，必要性不成立，错误.故选：BC

第n卷(非选择题)

三、填空题(每题5分，4题共20分)

3

13.(2022・广东・深圳外国语学校)若%>-1,则％+\的最小值是___________.

x+1

【答案】273-1

【解析】因为%>-1,所以犬+1>。，所以％H-------=x+l-\-------12^/3—1,

x+1x+1

当且仅当、+l=—7即x=g-1时，取等号成立.故x+5的最小值为2君-1,故答案为：2g-1

x+1x+1

x—2

14.(2022・上海•模拟预测)不等式工―22的解集是_______.

X—1

【答案】[0,1)

【解析】原不等式可化为号-。即告4。，所以『

故OWx<l,所以原不等式的解集为。1).故答案为：［0,1).

15.(2022•四川省内江市第六中学高一开学考试)已知关于x的不等式(/-4)/+(°+2)尤-120的解集是空

集，则实数。的取值范围是.

【答案】”2,|)

【解析】由题意知(标-4卜2+g+2)x-l<0恒成立，当“=-2时，不等式化为-1<0,显然恒成立；当a〜2

a2-4<0

即-2<a］,综上实数。的取值范围是［-2,§,故答案填［一斗.

时，则｛/八2，/2八c

(a+2)+4(a〜-4)<0

16.(2022・湖南•益阳市箴言中学高一开学考试)已知关于x的二次方程/+2,加+2加+1=0,若方程有两根,

其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(L2)内，则优的取值范围是.

【答案】(-《，-焉).

0Z

【解析】

设f(x)=x2+2mx+2m+l,问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+l与x轴的交点分别在

'f(0)=2irH-l<0

、.,f(-1)=2>0“，51

区间(-1,。)和(1,2)内，则1，解得--<m<--,

f(1)=4nH-2<062

f(2)=6/5〉0

故m的范围是(-4，-A),故答案为(一■!，-1).

6262

四、解答题(17题10分，其余每题12分，6题共70分)

19

17.(2022.湖南•宁乡市教育研究中心高一期末)正数x,y满足一+—=1.

%y

⑴求孙的最小值；

⑵求x+2y的最小值.

【答案】⑴36；(2)19+6夜

1911919

【解析】(1)由1=上+'之2］匕三得知之36,当且仅当一=一,即％=2,y=18时取等号，

故盯的最小值为36.

(2)由题意可得％+2y=(x+2y)(L2=19+幺+把之19+2)生甚=19+6四,

y)%y\y

2vQx

当且仅当上=一，即9/=2;/时取等号，

xy

故》+2丫的最小值为19+60.

18.(2022・全国•高一专题练习)己知关于x的一元二次方程〃4+(2〃工+1卜+加+2=0有两个不相等的实数

根巧，巧.

(1)求机的取值范围；

(2)若可飞=°，求方程的两个根.

13

【答案】(1)用且加W。；(2)石=。，x2=——.

【解析】(1)・・,关于犬的一元二次方程m2+(2m+1)尤+m+2=0有两个不相等的实数根，

1

二•△〉0且机w0,即(2m+1)-4xmx(m+2)>0Mm^0,解得：相<工且机w0.

⑵：关于x的一元二次方程:加+(2〃7+1b+根+2=。有两个不相等的实数根毛，々，二国一=%二，

m

»77-L9

・・・石.%=0,・・・'三=0,解得：m=-2,经检验：机=-2是分式方程的解，

m

3

2

.・.当机=_2时，方程为：-2X-3X=0,解得：玉=0,x2=--.

19.(2022•山东滨州.高二期中)已知函数/(%)=2mx2+4mx+1.

⑴若存在xc[l,3],使得不等式/(x)<0成立，求机的取值范围；

49

⑵若m>0,/(x)<0的解集为SM,求一+：的最大值.

ab

125

【答案】⑴加4一.(2)~

【解析】(1)原问题等价于％4L3]时，<0,

当机=0时，显然不成立；

当相>0时，由于/(X)的对称轴为x=-l,

所以=Al)=6m+lV0,即加4一9,不合题意；

O

当机<0时，由于的对称轴为x=—l,

所以/。）由=△3）=30m+140,即加（一]

综上所述，"74-焉；

⑵因为旭>0,/(尤)<0的解集为(a,b),

所以/(x)=。有两个不同的实根a1,即是方程2尔2+4如+1=0的两个不同实根,

所以。+6=-2,。6=」一>0,所以同为负数，

2m

49If49(a+b)=/[113+竺+14b9a254Q

所以一十+<-l13+2.?，当且仅当上二1,即

ab2b2a2ab2aab

7

OIQAQ

"-白,6=-3时等号成立，所以的最大值为一三

1313ab2

20.(2022・重庆•高一期末)从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.

条件一、YxwR,42+x)=/(2-x)；

条件二、方程〃x)=0有两个实数根冷血,为+巧=4；

条件三、VxeT?,/(x)<f(2).

已知函数为二次函数，/(-D=-6,/(0)=-1,.

(1)求函数/(x)的解析式;

⑵若不等式f(x)+kxV0对Vxe(0,+与恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】(1)选择条件一、二、三均可得/(X)=-X2+4X-1(2)(-CO,-2]

【解析】

(1)选条件一：设/(尤)=。尤2+陵+。(。彳0)因为\/%€氏，〃2+x)=/(2-x),所以“X)的对称轴为x=2,

/(-l)=a-&+c=-6a=-1

因为/(-1)=一6/(0)=-1,所以/(O)=c=-l解得<b=4,所以/(%)=*+4%-1

c=-l

-A=2

2a

选条件二：设/(X)=Q%2+bx+c(Q。0)

因为方程〃%)=0有两个实数根西，龙2，为+4=4,

所以“X)的对称轴为x=2,

因为/(—D=-6,/(0)=-1,

/(-l)=a-b+c=-6a=-1

所以f(O)=c=-l,解得vb=4,

b「c=-1

----=2

2a

所以/(%)=_彳2+4x—1

选条件三：设f(x)=ax2+bx+c(aw0)

因为VxeR,f(x)<f(2),

所以〃x）的对称轴为x=2,

因为f(T)=-6,/(0)=-l,

/(-l)=a-&+c=-6fl=-1

所以/(O)=c=-l，解得6=4,

、2a

所以/(x)=_12+4JC—1

(2)\,f(x)+kx<0

feeVf-4x+1对Vxe(0,+oo)恒成立

:.k<x-4*+l=x+,一4对Vxe(0,+co)恒成立

XX

•.・元+122当且仅当x=l时取等号，

/.)t<|x+--4I=-2

IX(n

所求实数k的取值范围为(-*-2].

21.(2022・湖南•高一课时练习)解下列一元二次不等式:

⑴2元2_2岳+1>0;

(2)%2+x-l<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5)(x+l)(x+2)v(x+l)(2—x)+l；

(6)(3x+2)(x+2)>4.

【答案】(1)Q)X〈爸★⑶0⑷卜小V

(5)<T；\⑹+<_［或X>0}

【解析】⑴二次方程2/-2岳+1=0有二重根，x,=x2=^~

贝U不等式2——2缶+1>0的解集为〈小片2)

-1-75-1+A/5

⑵二次方程Y+x-1=0有二根,

贝u不等式/+无一1<。的解集为，x二^15<x<—1+>/5

~2~

(3)不等式一3尤2+5元一420可化为3--5x+4<0

由(一5)2-4x3x4=-23<0可知，二次方程3--5x+4=0无根,

则不等式3X2-5X+4<0的解集为0

故不等式-3尤2+5X-4N0的解集为0

(4)不等式(2x-1)?<4可化为4X2-4X-3<0