2025中考数学二轮复习：函数中的三角形、四边形存在性问题（原卷版）

专题13函数中的三角形、四边形存在性问题

I厘概述

函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、

平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三

角形或四边形的边长表示出来(可以根据勾股定理)，在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐

标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定

定理列出方程，并求出未知数。

真题精析

例4

(2022•山东枣庄•统考中考真题)如图①，已知抛物线L：y=N+bx+c的图象经过点A(0,3),B(1,0),

过点A作4<7〃天轴交抛物线于点C,/A08的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点.

图①图②

(1)求抛物线的关系式;

(2)若动点尸在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当AOPE面积最大时，求出尸点坐标;

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界),

求〃的取值范围;

(4汝口图②，/是抛物线的对称轴/上的一点，在抛物线上是否存在点P,使APO尸成为以点P为直角顶点

的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

邮正

(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；

(2)过产作PG〃y轴，交OE于点G,设尸6",m2-4m+3),根据0E的解析式表示点G的坐标，表示

PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；

(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含的代数

式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；

(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明根据|OM|=|PN|,列方程可得点

尸的坐标；同理可得其他图形中点尸的坐标.

[答案与解析】

【答案】⑴抛物线的解析式为：y=/-4x+3

53

(2)P点坐标为(a,--)

(3)人的取值范围为3</z<4

⑷存在，点尸的坐标是(土且，匕如)或(@±1)或(1±正，匕且)或(近5,五±1)

22222222

【详解】(1)解：•・•抛物线L：y=/+法+。的图象经过点A(0,3),B(1,0),

.[\+b+c=0

[c=3

[b=-4

解得。，

[c-3

•••抛物线的解析式为：y=x2-4r+3；

(2)如图1,过P作PG〃y轴，交。E于点G,

图1

设尸Cm,m2-4m+3),

平分NAOB,ZAOB=90°,

:.NAOE=45。，

•••△A0£是等腰直角三角形，

**•A£=OA=3,

：.E(3,3),

设直线的解析式为y=fcr,把点(3,3)代入得，

3=3K

解得k=l9

，直线的解析式为：y=x,

AG(m,m),

:,PG=m-Cm2-4/w+3)=-m2+5m-3,

ASAOPE=SAOPG+SAEPG

=-PG^AE

2

=—x3x(-m2+5m-3)

2

3

=—(m2-5/w+3)

2

3,5、239

二—(m—)H----,

228

3

■:——<0,

2

，当机=|■时，AOPE面积最大，

3

此时m2-4m+3=—,

4

53

，P点坐标为(；，--);

24

(3)由y=/-4x+3=(x-2)2-1,得抛物线，的对称轴为直线x=2,顶点为(2,-1),

抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F(2,-

设直线x=2交于点M,交AE于点N,则N(2,3),如图2,

图2

•.•直线OE的解析式为：y=x,

：.M(2,2),

V点尸在△OAE内(包括△OAE的边界)，

：.2<-l+h<3,

解得3<ft<4；

(4)设尸Cm,/n2-4zn+3),分四种情况：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3,过P作脑VJ_y轴，交y轴于交/于N,

图3

:.ZOMP=ZPNF=9Q09

•・・40尸尸是等腰直角三角形,

：,OP=PF,ZOPF=9Q09

:.Z0PM+ZNPF=ZPFN+ZNPF=90°,

：.ZOPM=ZPFN,

：.AOMP^APNF(AAS),

:・OM=PN,

VP（m,m2-4m+3）,

贝！J-m2+4m-3=2-m,

解得：根=小5或土史，

22

•.•析=一5>2,不合题意，舍去，

2

・5-^/5

..m=-------,

2

此时m2-4m+3=-——,

2

・・・P的坐标为（匕后，匕或）；

22

②当尸在对称轴的左边，且在X轴上方时,

同理得：2-m=m2-4m+3,

解得：如£或—2=3一1,

i=i2

•.•1±@>2,不合题意，舍去，

2

._3-A/5

..m-----------,

2

此时m2-4m+3="十】，

2

・・・P的坐标为（叵口）;

22

③当产在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4,过产作MNLx轴于N,过方作于

图4

同理得△ONP\PMF,

：.PN=FM,

贝［J-m2+4m-3=m-2,

解得：如，或—2=3一♦；

i=i2

•；J5V2,不合题意，舍去,

2

.3+布

..m=--------,

2

此时m2-4m+3=-~~—,

2

P的坐标为（25,上至）;

22

④当产在对称轴的右边，且在X轴上方时，如图5,

同理得m2-4m+3=m-2,

解得：加=丕6或匕5（舍），

22

尸的坐标为：（史史，叵1）；

22

综上所述，点p的坐标是：（三叵，匕5）或（叵"）或（1±@,匕且）或（出5,

2222222

①.

2

总结与点拨

本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等

三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键.

4

（2022•山东烟台•统考中考真题）如图，已知直线y=]X+4与无轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=

办2+区+0经过A,C两点，且与无轴的另一个交点为；3",对称轴为直线x=-l.

⑴求抛物线的表达式；

（2）。是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为处求四边形ABCD面积S的最大值及此时。点的

坐标；

⑶若点尸在抛物线对称轴上，是否存在点P,。，使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的

菱形？若存在，请求出P,。两点的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)先求得A,C,8三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；

(2)作Z>F_L43于尸，交AC于E,根据点。和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形40c的

面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；

(3)根据菱形性质可得丛=PC,进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点。坐标.

【答案与解析】

、48

［答案］⑴丁=—-X2--x+4

253

(2)S最大=—,DC--,5)

19

⑶存在，0(-2,—)

O

【详解】(1)解：当x=0时，j=4,

：.C(0,4),

4

当y=0时，yx+4=0,

/.x=-3,

：.A(-3,0),

•・•对称轴为直线x=-L

：.B(1,0),

・••设抛物线的表达式：y=a(x-1)•(x+3),

/.4=-3a,

.4

••a—~—9

3

448

・，・抛物线的表达式为：y=--(x-1)•(x+3)---x2-—x+4；

(2)如图1,

作于方，交AC于£,

J.D(m-—m2-—m+4),E(m,—/w+4),

9333

4844

/.DE=m2—m+4-(—m+4)=m2-4m,

3333

134

:・SAADC=—DE,0A=—•(m2-4m)=-2m2-6m,

223

,:SAABC=—AB-OC=—x4x4=8,

22

325

:・S=-2m2-6m+8=-2Cm+—)2+一,

22

375

**•当机=-5时，s最大=—,

3433

当m=-彳时，y=--x(---l)x(--+3)=5,

2322

3

・'・D(，5)；

2

(3)设P(-1,n),

・・,以A,C,P,。为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形,

:.PA=PC9

即：PA2=PC2,

:.(-1+3)2+n2=l+(n-4)2,

._13

8

VxP+xQ=xA+xC,yP+yQ=yA+yC

、1319

^•xQ=-3-(-1)=-2,yQ=4---=一

总结与点拨

本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函

数和菱形性质

例率3

（2022•湖南郴州•统考中考真题）已知抛物线'=/+法+,与；1轴相交于点4（-1,0）,以3,0）,与y轴相交

于点C.

4；/r.）：Z./N[\l/N

（备用图）

⑴求抛物线的表达式；

（2汝口图1,将直线8C间上平移，得到过原点O的直线MN.点。是直线MN上任意一点.

①当点。在抛物线的对称轴/上时，连接CQ,关x轴相交于点E,水线段。£的长；

②如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点凡使得以8,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出点尸与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

⑴把A（-l,0）,3（3,0）代入y=尤2+法+C即可得出抛物线的表达式；

（2）①求出直线解析式：＞=x-3,再由直线MN：丫=》及抛物线的对称轴：x=l,即可得出进

而得出直线C。的解析式为：y=4x-3,即可得出答案；②分以8c为边时，BPoBCFD,口BCDF,以及

分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案.

［答案与解析】

【答案】（1）＞=尤2一2无一3

⑵①。£=（；②在点人使得以5,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形.当点尸的坐标为（U）时,

点。的坐标：（4,4）或（-2,-2）；当点尸的坐标为（1,-5）时，点。的坐标：（2,2）.

【详解】（1）解：将点A（TO）,3（3,。）代入〉=/+法+,得：

l-b+c=O,

9+3b+c=0,

b=-2,

解得

c=-3.

:.抛物线的表达式为y=V-2x-3.

（2）①由（1）可知：C（0,-3）,

设直线5C：y=kx+b（k^6）,将点3（3,0）,C（0,-3）代入得:

3k+b=0,

b=-3.

k=1,

解得

b=-3.

・•・直线BC：y=x-3,贝！I直线MMy=%.

•.•抛物线的对称轴：尤=-9

2a嬴j

把x=l代入y=x,得y=l,

/.D（l,l）.

设直线CZ＞：y=勺*0）,将点C（0,-3）,代入得:

k]+b[=1,

t\=-3.

&=4,

解得

bx=-3.

J.直线CO：y=4x-3.

3

当A时'得

②存在点八使得以HC,D,歹为项点的四边形是平行四边形.

理由如下:

(I)若平行四边形以为边时，由3C〃ED可知，尸。在直线上,

.•.点F是直线MN与对称轴/的交点，即尸(1,1).

由点。在直线MN上，设。(。).

（图2-1）（图2-2）

如图2-1,若四边形8C/O是平行四边形，则。尸=8C.

过点。作y轴的垂线交对称轴/于点G,则G（lj）.

VBC//MN,

:.NOBC=NDOB,

•・・GD〃工轴，

:.ZGDF=ZDOB,

：.ZOBC=ZGDF.

又VZBOC=ZDGF=90°,

:.Z\DGF^/\BOC,

AGD=OB9GF=OCf

°：GD=t—\,03=3,

•**t—\=39解得t=4.

・•・0(4,4),

如图2・2,若四边形5CD厂是平行四边形，则=CB.

同理可证：ADKF/ACOB,

:.KD=OC,

■:KD=1—t,。。=3,

**•1—t=39解得t=-2.

*••D(-2,-2)

(II)若平行四边形以5C为对角线时，由于点。在5C的上方，则点方一定在5C的下方.

・•・如图23存在一种平行四边形，即口跳8.

(图2-3)

设F(l,哈,同理可证：ADHC会'BPF,

：.DH=BP,HC=PF

,:DH=t,BP=3-1=2,HC=t-(-3)=t+3,PF=0-m=­m

(t=2,

解得

[m=

.•.0(2,2),尸。,一5).

综上所述，存在点F,使得以3,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.

当点尸的坐标为（1,1）时，点。的坐标：（4,4）或（-2,-2）；

当点F的坐标为（1,-5）时，点。的坐标：（2,2）.

皿与翻

本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关

知识，正确进行分类讨论是解题的关键.

精（题

1.（2022.重庆铜梁.铜梁中学校校考模拟）已知如图，直线％=必尤+3与两坐标轴分别交于点A、B,点、B

13

关于x轴的对称点是点D,直线%=-x+b经过点8,且与x轴相交于点C,点P是直线上上一动点，过点P

作》轴的平行线交直线》于点E,再以PE为边向右边作正方形PEFG.

备用图

⑴①求b的值;

②判断△ABD的形状，并说明理由;

⑵连接OP、DP,当△尸8的周长最短时，求点尸的坐标;

（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点。，使得△AEQ是等腰三角形，若存在，请直接写出点。的坐

标，若不存在，请说明理由.

2.（2022・山东日照•校考一模）如图，抛物线丁="2+桁+3与x轴交于A（l,0）,3（3,0）两点，与，轴交于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,M是抛物线无轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC,若△MOC的面积是AMBC面积

的3倍，求点M的坐标

(3)如图3,连接AC、8C,在抛物线上是否存在点N(不与点A重合)，使得=?若存在求出

点N的横坐标，若不存在说明理由

3.(2022•四川德阳•模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(l,0)和点

B,与y轴交于点c(o,-3),连接Be.

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;

(2)如图，点尸为线段3c上的一个动点(点P不与点8,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,

求线段PQ长度的最大值.

(3)动点尸以每秒收个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点”以每秒1个单位长度的

速度在线段8。上由点8向点。运动，在平面内是否存在点N,使得以点尸，M,B,N为顶点的四边形

是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2022•海南海口•海南华侨中学校联考模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=加+乐+3(。70)与

y轴交于点C,与x轴交于A(-2,0)、3(4,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点〃从A点出发，在线段A8上以每秒3个单位长度的速度向8点运动，同时点N从8点出发，在线段

8C上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的

面积为S,点〃运动时间为f秒，试求S与f的函数关系，并求S的最大值；

(3)在点/运动过程中，是否存在某一时刻使△MBN为直角三角形？若存在，求出f的值；若不存在，

请说明理由.

5.(2021・贵州遵义•校考模拟)如图，直线y=-x+3与x轴、＞轴分别交于8、C两点，抛物线＞=-/+法+。

经过点2、C的，与x轴另一交点为A,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴是否存在一点E,使得ABCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请

说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得NAP8=NOCB?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说

明理由.

6.(2022・四川泸州•校考模拟)如图1,已知抛物线过三点0(0,0)、A(&0)、川2,2—)),AB过线段区的中

点C,若点E为AB所在圆的圆心.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求NBA。的度数；

(3)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上；

(4)若弧3C的中点为P,是否在尤轴上存在点使得/WB与相似？若存在，请求出点Mr的坐标,

若不存在说明理由.

7.(2022・山东日照.校考二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=gf+bx+c经过点4(<0),点M

为抛物线的顶点，点8在y轴上，直线A2与抛物线在第一象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接OC,若过点。的直线交线段AC于点P,将三角形AOC的面积分成1:2的两部分，请求出点P的

坐标；

(3)若。是直线AC上方抛物线上一个动点(不与点A、C重合)，当△QAC的面积等于“OC的面积时，求

出Q点的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上有一动点X,在抛物线上是否存在一点N,使以点A、H、CN为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

8.(2022・重庆・重庆八中校考模拟)平面直角坐标系中，抛物线y=