2025年上海市16区数学高考一模试题汇编：三角函数与解三角形（43题）含详解

专题05三角函数与解三角形（16区真题速递,43题）

学校:姓名：班级：考号：

一,单选题

1.（24-25高三上•上海浦东新•期末）设沟数），=r（x）,），=Ga）的定义域均为R,值域分别为A.&且4nB=0.若集合

S满足以下两个条件：（1）4UBUS,（2）«（AU4）是有限集，则称），=F（x）和）=G（x）是&互补函数.给出以下

两个命题：①存在函数y=/（x）,使得y=和y=logj（x）是［0.16〉互补函数，②存在函数），=g（x）,使得

y=sing（x）和y=tang（力是［0,+ooj-互补函数.则（）

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

2.（2024・上海虹口•一模）已知ae（O,兀）厕”sin（兀-a）=；”是"cosa=3”的（）条件.

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要

3.（2024.上海崇明.一模）下列函数中在其定义域上既是奇函数乂是严格增函数的是（）

A.y=x3B.y=erC.>,=lgxD.y=sinx

4.（24-25高三上•上海黄浦•期末）设OWx<27i,满足sin（x+j）=sinx+sinj的x的个数为（）

I6J6

A.0个B.1个C.2个D.无数个

5.（24-25高三上•上海金山•期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不问的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线,其中的一种如

图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高PO=2,底面圆的半

径为4,M为母线尸B的中点，平面与底面的交线则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（）.

6.（2024・上海静安•一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖嚅”.如图是

一个水平放置的zMACC。±AB.ZA=3（）,^=45.现将RtZsACD沿CD折起，使点A移动到点*，使得空间四面体

A出6恰好是一个“鳖腑”，则二面角4—CO-8的大小为（）

A.60"B.90

7.（2024.上海青浦•一模）已知x,），eR且满足工＞儿则下列关系式恒成立的是（

1122

A.<^—B.ln(x+l)>ln(y+l)

A+1y+\

C.siar>sin)1D.x3>V

已知函数），=sin©x+讣勿＞0）在区间卜需上单调递增，则3的取值范围是

8.(2024・上海长宁・模))

A.(0J]B.(0.1)D.

9.（2024・上海奉贤•一模）函数），=1。825加+1%8家,则下列命题正确的是（）

A.函数是偶函数B.函数定义域是（0，1）

C.函数最大值-1D.函数的最小正周期为兀

二,填空题

10.（2024・上海静安•一模）在VA8C中，已知4C=5,AC=4,A=23,则cosB的值为.

X；+才=1/+货=1小.+），*=1，则二U+邑士科的

11.（2024.上海嘉定•一模）已知实数内、与、%、）’2满足:

最小值为.

12.（2024・上海徐汇・一模）已知椭圆?+看=1（〃"＞0）的左、右焦点分别为K、E,P为椭圆上一点，且/"耳=（,若

此椭圆的离心率为6-1,则/尸匕尼的大小为.

13.（2024.上海青浦.一模）在VABC中，已知248=120、AB=2不，若BC=2AC,则NABC的面积为,

14.（24-25高三上•上海浦东新•期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形AKCD，如图，边=2km.边AO=lkm,其中

区域AOE开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区.经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且A,。位于圆心

0的止北方向,E位于圆心。的北偏东60。方向.拟定在圆弧，处修建-•座渔人码头，供游客湖中泛舟,并在公园的边

OC,8开设两个门M,N,修建步行道尸M.PN通往渔人码头，且PM_LCD/W_LC8,则步行道?M,PN长度之和

的最小值是km.（精确到0.001）

O

15.（24-25高三上•上海浦东新•期末）在VA4c中,a?=5,/3=45。，/。=105。,则4?=.

16.（2024.上海杨浦・一模）已知实数a＞0,i是虚数单位,设集合32="，+：,忖＞1,M，£C,z£（?1,集合

8=卜|卜—l+i|=a,zeC},如果8=A，则〃的取值范围为.

17.（2024♦上海宝山•一模）函数），=cos2x+l的最小正周期为.

18.（2024・上海崇明•一模）已知/⑴内小呜＞心。,…）,若函数），=/（幻在区间［0,2川上有且仅有3个零点和1

个极小值点，则”的取值范围是.

19.（24-2,高二上.上海金山.期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中。是圆心，直径MN为400米，是弧WV

的中点.一个急救中心A在栈桥0P中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台用并在A5间修建浮桥.已知48。越

大,朦望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时的长度为米.（结果精确到I米）

20.（24-25高三上•上海金山・期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为夜兀,半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面

所成角的大小为

21.（2024.上海静安•一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层,小宁家位「小明

家正上方的。层，已知■=”.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为a,小宇在家测得东方明珠塔尖的仰角为夕，则他

俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离4=.

22.（2024・上海静安•一模）记/（"=/卜+/+2加一从.若函数y="外是偶函数，则该函数图象与），轴交

点的纵坐标的最大值为.

23.（2024・上海嘉定•一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥OACBE,已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧

形桥面人C8和两段长度相等的直线型桥面A。、8M圆弧形桥面ACB所在圆的半径为4米，圆心。在。石上，且A。和

班:所在直线与圆。分别在连结点A和8处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面AC3的修建

费用是每米2.5万元，设NAZ）O=e,根据空间限制及桥面坡度的限制，。的范围为arcsingwow}则当桥面修建总费

36

用最低时。的值为.

的圆周上一点.

(1)若NBOP=90°，求三棱锥A-PB\的体积.

(2)若/BOP=60。,求异面直线A超与心所成的角的余弦值.

31.(24-25高三上•上海浦东新•期末)已知函数y=/(x)的表达式为/(x)=sin3r,<y>0.

⑴若函数)，=/(x)的最小正周期为会求。的值及y=/(x)的单调增区间.

(2)若3=2,设函数)，=83的表达式为8("=/'3+\/58521求当1€0,-|时,y=g(M的值域.

32.(2024•上海杨浦•一模)已知VA8C的内角A&C所对边的长度分别为久权c.

(1)若H+与2-/=4,C=60。,求YABC的面积.

cosCcosA

⑵若，求sinC的值.

3b-a

33.(2024・上海崇明•一模)在VABC中,已知点。是BC边上一点，且双)=1,CO=3.

⑴若A。/8C,且ZABD=2/4CD，求AO的长.

⑵若乙记。二55。,44。=32。,求4。的长(结果精确到0.01).

34.(2024・上海虹口.一模)设/(x)=sinftzr(G〉0).

⑴当函数y=/(x)的最小正周期为2兀时，求y=/(x)+cosA•在0,；上的最大值.

(2)若3=2,且在VA3C中，角A,8,C所对的边长为〃锐角A满足小+[)=(),痔碍4、求。的最小值.

35.(2024•上海嘉定•一模)已知/(x)=2cos(s+F),其中切>0.

4

⑴若3=2,求函数尸f(x\x€[~,与的值域.

44

(2)若/(：)=0,且函数)，=f(x)在(U)内有极小值旭无极大值，求。的值.

443

36.(2024•上海宝山•一模)在VABC中，已知从+。2=°2+反

(1)若sinC=2sin8且8=2,求V48C的面积.

(2)若。+c=L求。的取值范围.

37.(2024・上海徐汇•一模)已知/(力二。5由0:+68$5(0>0),若定义在口上的函数)，=/("的最小正周期为兀,且对

任意的xwR,都有/(力</倨)=4.

(1)求实数。，〃的值.

（2）设大,吃£（0.兀），当用/XI时,/（8）=/（工2）=-2,求玉+玉的值.

’3x.3x\r(x.x'

38.（2024・上海静安•一模）已知向量，=cos—,sin—\,b=\cos—,-sin—，且xw

I22)I22J

⑴求e坊及卜+方|.

（2）记/（x）=〃♦E-卜+可,求函数y=/（x）的最小值.

39.（2024・上海青浦•一模）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB_L平面ABC,AB=6,BC=2后,AC=2^,D,E分别为线

段AB,8c上的点,且AD=2DB.CE=2EB,PDA.AC.

⑴求证：DE//平面尸AC.

（2）求证：叨_1_平面ABC.

40.（2024•上海长宁•一模）在VA5c中，角A,B,C所对的边分别为〃力,c,且加iM-6〃cos3=0.

（1）求角B的大小.

⑵若方=2,A4BC的面积为白，请判断VA3C的形状，并说明理由.

41.(24-25高三上•上海黄浦•期末）双曲线r：1（4>0*>0）的左,右焦点分别为4（-《,0），6（G0）（c>0）,过

/b2

点K的直线/与「右支在X轴上方交于点A.

⑴若4=石，点A的坐标为（3,4），求c的值.

⑵若4"_1_片2,且〃也c是等比数列求证：直线/的斜率为定值.

⑶设直线/与「左支的交点为8,c=3,当且仅当。满足什么条件时，存在直线/，使得|4B|=|A^|成立.

42.（24-25高三上•上海松江•期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如

图.长方形的切AA为半圆的直径.O为半圆的圆心.A8=240=200m.现要将此空地视划出一个等腰三角形区域

外水（底边MN_LCO）种植观赏树木，其余区域种植花卉.设=

C

DN

(1)当，=1时，求△，加％的面积.

(2)求三角形区域尸MV面积的最人值.

43.(24-25高三上•上海黄浦•期末)已知〃x)=sinx.

⑴求函数y=f(x)•/仁一:|的最小正周期.

12/

/、「一

(2)求函数)，=/2%+g,xe的单调减区间.

专题05三角函数与解三角形(16区真题速递,43题)

学校:姓名：班级：考号：

一,单选题

1.(24-25高三上•上海浦东新•期末)设沟数)，=r(x),)，=Ga)的定义域均为R,值域分别为A.凡且4nB=0.若集合

S满足以下两个条件：(1)4U8US,(2)«(AU4)是有限集，则称)，=F(x)和)，=G(x)是&互补函数.给出以下

两个命题：①存在函数y=/(x),使得y=和y=logj(x)是[0.16〉互补函数，②存在函数)，=g(x),使得

y=sing(x)和)，=tang(力是[0,+ooj-互补函数.则()

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

【答案】A

【分析】对于①，取y=/(x)的值域为(1,4),得到)，=2〃*%(2,⑹,y=I。g2/(x)e(0,2),满足要求,①正确,对于②,取

y=g(x)是增函数,/=《)冼让y=g(x)的值域包含/),根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造」的值

域有arctansinarctanarctan,……，依次类推，得到答案.

【详解】对于①，取y=/(x)的值域为(1,4).

/(r)

故尸2e(2,16),y=log2/(x)e(0,2).

令5=[0,16],4«2,16),5«0,2).

满足AU8±S和6(AU3)是有限集.

从而y=2斤)和y=log2/(x)是[0,16卜互补函数，①正确.

对于②，取)，=g(x)是增函数,Z=g。),由复合函数性质.

只需考虑丁=$抽，和y=tan/即可.

先让y=g(x)的值域包含/则y=tanr>l,y=sin/w[¥，l).

那么接下来考虑让0，岑)的部分被y=sinz和)，=【anI取得.

因为y=lanf的值域没有H，l],所以/的值域中没有arctan亭彳.

sinarctan用,日）.

所以y=sinf的值域没有

所以考虑让>=tan/的值域中有

L-/

则，的值域有arctansinarclan

依次类推,按照这样的方式构造下去.

可以得到满足题意的②正就.

故选：A

【点睛】新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解.

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻.

（3）发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律.

（4）如果新信息是课本知识的推广则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可•以使用书上的概念.

2.（2024.上海虹口•一模）已知ae（O,兀），则“sin（7T-a）=；”是"cosa=争'的（）条件.

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要

【答案】C

【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的”的值，进而结合充分,必要条件的定义判断即可.

【详解】由题意,。£（0,文）.

由sin（7i-a）=—,UPsina='，则a=—=—.

2266

由cosa=—，则«=y.

26

所以“sin（…）=g”是“cosa=争的必要非充分条件.

故选：C.

3.（2024・上海崇明•一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数乂是严格增函数的是（）

A.>=x3B.y=erC.y=lgxD.y=sinx

【答案】A

【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可.

［详解】对于A,y=丁的定义域为R,且（-x）3=一/,所以y=V为奇函数.

又），二是严格增困数，正确.

对于B,y=e'的定义域为R,且e-、-e，所以），=e，不为奇函数,错误.

对于C,y=lgx的定义域为(0,+8),不关于原点对称.

所以y=lgx不具有奇偶性,y=lgx是严格增函数，错误.

对于D,y=sinx的定义域为R,且sin([v)=-sinx,所以y=sinx为奇函数.

但丁=411%为周期函数，不是定义域R上的严格增函数,错误.

故选：A

4.(24-25高三上•上海黄浦•期末)设0。<2兀，满足sinG+g]=sinx+sin?的工的个数为()

I6

A.()个B.I个C.2个D.无数个

【答案】C

【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可.

【详解】由sinx+[]=sinK+sing可得3_-sin.r+—cosx--=().

I6J6222

BpV2-V3sin(x-^)+-=0^4jsin6)=7

22\j2—yj3

所以原方程化为7^二3sin(x-。)+；=0,即sin(x-6)=一适’.

不妨令/(x)=sin(x-6),因为04x<2兀，所以不一。£[-。,2兀-。).

易知.r=()时,sin(-8)=-成立，即x=0满足题意.

2《2-6

1

又/(.r)=sin(x—8)的周期为7=2兀,且一e(-hO).

所以在区间[-。2兀-。)上还有一个根，如图所示.

4

k2应-6

故选：C

5.(24-25而三上.上海金山.期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线,其中的一种如

图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高P0=2,底面圆的半

径为4,M为母线P3的中点，平面与底面的交线石户,人民则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为().

【答案】D

【分析】令双曲线为4=1,根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公

ab

式求得夹角正切值tan®=g,即可得其余弦值.

【详解】如下图建系，令双曲线为［-£=1,且181=2,则为=

a~lr

如图,1|=2J。臼=4，则|HE\=\HF\=2石，故尸（26-2）.

2I?I

将尸代入），2一*r=I,得4—户1,可得尸=4,故渐近线为产±y.

若它们的夹角为氏且tan0!=：1,则tan〃=--4-3--、今=4故8§。="3

221-tan2^35

2

故选：D

6.（2024・卜海静安•一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是百角三角形的空间四面体叫做“鳌瞬”.如图是

一个水平放置的“次?,。。!A比/A=30,23=45.现将RtzMCO沿CD折起，使点A移动到点*，使得空间四面体

4BCD恰好是一个“鳖腑”，则二面角4-CO-3的大小为（）

A.60"B.90

【答案】D

【分析】设。。=1,根据题意求出四面体的棱降二面角A-CQ-8的平面角为N/T/羽，求N/V//的三角函数值即可.

［详解］7ABe中,CD_LAB,ZA=30=45°.

不妨设CO=I,则BO=1,BC=J2,AO=J3,AC=2.

空间四面体A'BCO是一个“鳖嚅"，则△A'BC和△48。都是直角三角形.

若48>4。,则RLA'中，乙4'。/?=90,由勾股定理得48=2.

此时AABC不是直角三角形，不合题意.

所以44<AO,在RIAA'BO中,ZA'BD=90’，由勾股定理得A!B=近.

此时满足AABC是直角三角形，/A8C=90.

由4£>_!_08。_1.8,二面角A'-。。-8的平面角为/4，/%.

1_V3

RtABD中，tanNA'OB=&,cos"DB=

AV3=T

所以二面角A'-CD-B的大小为arccos—.

3

故选：D.

7.（2024.上海青浦.一模）已知且满足人>九则下列关系式恒成立的是（）.

A.B.In(r2+1)>ln(y2+1)

C.sinr>sinyD.x3>y3

【答案】D

【分析】利用不等式的性质,以及对数函数的性质，基函数的性质,正弦函数的图象性质求解.

【详解】对A,取*=-1。=-2,则4错误.

对B,取x=h.y=2,则In2<ln5,即hi（Y।।i）Q错误

对CJU=竽,y=§，满足"儿但sin当<sin=,C错误.

6363

对D,因为幕函数=V在定义域R上单调递增，且工>儿所以V>）,3,D正确.

故选：D.

8.（2024.上海长宇•一模）已知函数户sin（8+R（0>0）在区间j-工]上单调递增，则①的取值范围是（）

A.（0J]B.（0,1）C.（咛）D.

【答案】A

【分析】由题可得y=sin心其中u。g,在层"+看亨"看上单调递增燃后结合函数尸协的单调性及。＞。

o

可得答案.

nnnit

=>(ox+—e——<v+—,—/+一.

【详解】xe6I2636)

因y=sinx在一：+2E,g2E（其中展Z）上单调递增.

Iz/

7C7T,7C

—(o+—<—+2knl+6k

362

则4，4GZ.

n兀、兀八,(D<—4k

——<y+—>——+2KH3

262

又因。＞0,则取攵=o=0w1,则o＜/w1.

故选：A

9.（2024・上海奉贤•一模）函数），=1。825加+1%8家,则下列命题正确的是（）

B.函数定义域是（0段

A.函数是偶函数

C.函数最大值-1D.函数的最小正周期为兀

【答案】C

【分析】求出函数/"）的定义域,可判断AB选项，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项，利用

正弦型函数的周期性可判断D选项.

sinx>0TT、

【详解】设/(x)=log2sinx+log28sx,由，可得2〃兀vxv2br+—Z(ZcZ).

cosx>02V7

所以，函数/（X）的定义域为卜定义域不关于原点对称.

所以，函数f（x）不是偶函数,A错B错.

当2kn<x<2kjt+^(k€Z)时，则4E<2xV4E+TT(ZeZ)

/(,v)=log(sinxcosx)=log.—sin2.r<log-=-l.

222乙

当且仅当2x=g+4H（AwZ）时，即当x=?+2履（AeZ）时，函数/（x）取最大值-1,C对.

因为/(2九+x)=log?sin(2兀+x)+log2cos(2兀+x)=log2sinx+log,cosx=/(x).

结合函数/（x）的定义域可知，函数〃x）的最小正周期为2兀,D错.

故选：C.

二,填空题

10.（2024・上海静安•一模）在VA8C中，己知4C=5,AC=4,A=23,则cos8的值为,

【答案】|/0.625

O

【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.

【详解】在V4BC中，由正弦定理得圣=兰•，而8c=5,AC=4.A=28.

sinAsinB

54545

因此‘一=」一,即---------所以COSB=L

sin28sin82sinBcosBsin88

故答案为：(

o

11.(2024・上海嘉定•一模)已知实数为、工2、)'卜为满足：X；+3以芯+£=1，斗七+)'旧=3，则'签"+—号"的

最小值为.

［答案］正史

4

［分析］设A(4y),乃)，根据给定条件可得AB为单位圆。上两点，且AAOB=60，再利用

区浮Lkt赏二11的几何意义转化为直线x+y_i=o与圆/+),2=：上点的距离最小值求解

【详解】设A(X1,y)8(x,,y,),则以=(2,)；),0月由工；+娟+y}=1.x,x,+y^v,=］.

得点AB在单位圆V+),2=］上，且0A.oF=不当+)，［%=1x1xcosZ.AOB=g.

即NAOB=60°，则NAOB为等边三角形,IAB卜1.

x+j-l=0的距离［与d之和.

5+3可视为点™:2

当点A8在直线/同侧吐

i殳4(cosa.sina),A(cos(a+—),sin(a+—)),0vaV一或一vav—.

33623

当0<a<E时,巳<a+巳<■，则sina+cosa=&sin(a+—)>1.

644124

—<«+—+—<—,sin(a+-)+cos(a+四)=&sin(a+-+—)>1.

123443334

5兀.兀./兀兀、.nnit.我瓜瓜一五

cos—=sin—=sin(----)=sin—cos——cos—sin—=--------=--------

1212343434444

.5nit/兀兀、兀冗.兀.兀V276V6+V2

sin——=cos—=cos(----)=cos—cos—+sin—sin—==

1212343434V'T~-4-

于是d3一向iaTJ(呜)+c°s(呜

'2V2应

na+cosa+s,m(/a+—兀、)+cos(✓a+—兀、)-2CT]=sina+cosa)-\/2

牛心也s\na+6J__—cose)-V2=5/3sin(a+-)-\/2.

&4

1八兀㈤5兀5nlitJ6+J2.,5兀、.，,V6-V2

由。得——；<sin(a+—+出>

o121212412"I"

当工vav女时，羽+则sina+cosa=Visin(a+3)<1.

2344124

137c九9兀./几、/兀、/c/兀兀、«

-----<«+—TC+—<—,sin(a+—)+cos(a+—)=，2sin(a+—+—)<1.

123443334

4+'='^〔2-sina-cosa-sin(a+1)-cos(a+1)]

=修cosa)=6Gsin(a+泮

117C5兀25兀.5兀\y/6-y/2..>/6+x/2

--■<A+~<-TT-,-1<sin(a+—)<-----------,4+d,>------------

1212121244

当点A8在直线/异侧时（包括点之一在直线/上）.

过A3分别作/VV_L/,88」/,垂足为4#令直线AB与直线/的夹角为6哈W”言.

4+d,=||sin4=sin6Nsin展="4应

所以三+且科的最小逍为亨.

•^6—V2

故答案为:

4

X+，1X+，1

ll>|-Ll2>2-|的转化为点4为，到）,8（.q,%）两点到直线

【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是将飞7F

x+y-l=O的距离4与d2之和.

12.（2024・上海徐汇・一模）已知椭圆＞孑=1（。＞〃＞0）的左、右焦点分别为「羽，P为椭圆上一点、且N”6若

此椭圆的离心率为75-1,则/P"E的大小为.

【答案】凯,

【分析】设l"l=x,由椭圆的定义得1历1=2"7,利用余弦定理求得x=（G-1）〃，再由正弦定理即可求得

sin，继而得到NP/'储.

【详解】如图，设IP^h,则1可1=2。7,因6=£=内-1,故，=（6-1）。.

()

由余弦定理,IP用2斗牝|2+।|2一2|].|月耳cOsg.

即(2a-x)2=4c2+x2-2cx.

将c=(G-l)a代入，整理得：4a2-4ax+x2=4(4-2&)6+X2-2(N/3-l)ar.

般舛46-6

解得x=--尸4=(G—1)%则有|"|=(G-l)d|P用=(3—G)a.

3-V3

1呷_10/(百-Da_(3—百)a

H

由正弦定理：sin^PFXF2~SIN,^|JsinZPFiF2~一

§T

解得sin/PE8=；.

乙

9JTjr

因0<N/Y；居〈十，故NP£A=7.

3o

故答案为：7.

6

13.(2024・上海青浦•一模)在VAI3C中，已知“4C8=120\AB=2"，若BC=2AC,则NABC的面积为.

【答案】2#

【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出AC,再利用三角形面积公式计算即得.

【详解】在VA4c中,ZACB=I2O,48=2",4c=2AC.

由余弦定理得28=AB1=AC2+BC2-2AC-BCcos120=7AC2.

解得3=4.

所以VABC的面积为,ACx8Cxsinl20=AC2~=2y/3.

22

故答案为：2后

14.（24-25高三上•上海浦东新•期末）某地要建造-一个市民休闲公园长方形ABCZX如图，边/W=2km,边4O=lkrm其中

区域AO石开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区.经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且A,。位于圆心

。的正北方向工位于圆心。的北偏东60。方向.拟定在圆弧/，处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟,并在公园的边

OC,开设两个门M,N,修建步行道PM,PN通往渔人码头，且PM±CD,PN1CB,则步行道PM,PN长度之和

的最小值是km.（精确到0.001）

o

【答案】i.172

【分析】以。为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点P的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值.

【详解】以点。为原点，直线OA为y轴建立平面直角坐标系，连接0£

JT7E

令圆0的半径为则一l=rcos60',解得r=2,设P(2cos^,2sin^),-<<-.

因此PM+PN=2-2sine+2-2cose=4-2>/5sin(e+£)N4-2C.

4

当且仅当6=?时取等号,4—2夜*1.172

4

所以步行道PM,PN长度之和的最小值是1.172km.

故答案为：1.172

15.（24-25高三上•上海浦东新•期末）在V45C中,8C=5,N8=45O,NC=105OMAC=.

【答案】5&

【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.

【详解】在VA8C中，由/8=45。,/。=105。,得4=30。.

.5.

由正弦定理得,AC=8cMB=__=5夜.

sinA2

4c

故答案为：5&

16.（2024・上海杨浦•一模）已知实数。>0,i是虚数单位,设集合A={z|Z=M，+：JM>l,wwCzec},集合

8=卜|忆一1+”=℃£（：},如果8口4,则4的取值范围为.

【答案】(OJ)^(x/10,+oo)

【分析】解法一：明确集合A,B的几何意义，数形结合,根据几何意义即可求得参数范围.

解法二：先证明不属于A的复数z.恰好是那曲区间［-2,2］上的实数，再利用该结论得到取值范围.

【详解】解法一：由于卜”>1,设卬=r(cos0+isin0),r>l.

则w+—=r(cos^+isinG)+

w「(cosG+isin。)

rlIcosair-1

=r(cos。+isin8)+8s吐isin®++sina.

x=^r+-cosa,)'=(「一!)

设z对应点(4,)，),则sina.

yL

1,其中广+1>2"-'>0.

所以i

rr

当r>l时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集.

即平面上除去线段A4的点的集合，其中A(-2,0),4(2,0).

集合6={z||z-l+i|=a,zeC}表示复平面上的圆,圆心为(1,7),半径为“

如果6=A,则该圆与线段A4无公共点.

结合图形可知〃的取值范围为(04)u(J历，+8).

解法二：

先证明：不属于A的复数z，恰好是那些区间卜2,2］上的实数.

下设z是复数.

①情况一：z不是实数，也不是纯虚数.

设2=r8"(「20。61<)/2-4=/?3/?(/?20,/?61i),并令卬,e'"+灰_re*版.

122~2

则对攵=1,2,有卜也一：

假设”=。,则0=雇-z•叫+1=0、z♦()+1=1，矛盾，所以也丰。,从而%+」-=z.

又因为(…)-(灰e?Z2-(Z2-4)

“w2=---------------------=-----------=--------------

所以卬网=网网.

.7-i.巨

出。+限2%。s/+亿出。+亚sin”

此时，假设闷=匝|=1:由于=—cosa+

吗=222222

故i二网2Jrcosa+^cos4j4…亚sin外上+3标(4*4

1,1122211222I442L2)

同理,根据网=1可以得到1=9+:孚cos（a-§

“Ir2Rr>[R(夕、工山，R人质(夕1工n4+j、w

对1=—+—+----cosa--和1=—+-------cos。一上相加和相减.

442(2)442I2)

就能得到=?+*半c°s,—£)=0.

若假设H=0,则（2-2）（2+2）=22-4=咫〃=0,从而2=2或2=-2.

这和情况一的定义矛盾，所以R>0.

若假设厂=0,则2=点。=0,从而z=0,这和情况一的定义矛盾,所以厂>0.

这就得到噂>0,所以cos（a—?]=0,所以?=a+（2m—1湾（mwZ）.

即/?=2fl<4-（2/n—l）7r（zn（=Z）.

2i/72

这就得到Z-4=/?.e=R"（"中/5）=.e'（2-l）«=£（V.^-«）«=2.e^".

r~v9r

所以z2-4=Vz2或22_4=-gz2,无论哪种情况都能得到z2是实数，故可设z=ceR.

广r~

若旌0,则0=22—・=卜-，?）卜+无）,得2=±7?是实数，这和情况一的定义矛盾.

若C<0,则。=22-0=（21〃）卜+1，：）,得2=±1/：是纯虚数,这和情况一的定义矛盾.

故前面的假设网=网=1不成立，所以结合1TMM|可知.

一定存在〃=1，2使得⑼>1,结合吸+f~=Z可知ztA.

②情况二：Z是纯虚数.

此时设z=gi（#o）,则卬=满足同="曰卫>丝丝=1.

且

1q+M+4.1q+睛+4.2q+如+4.如+4-q

W+—=~~~-....14-----------1-1="1'"\=q\=z

2q+ylc/2+4.2q+&『+4