2025年大学《应用统计学》专业题库- 概率统计理论及其应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——概率统计理论及其应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题2分，共10分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项字母填在题后的括号内）1.设事件A和B互斥，P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）。A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(B|A)=0C.P(A|B)=P(A)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)2.设随机变量X的密度函数为f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-x/2}&x>0\\0&x\leq0\end{cases}，则X的期望E(X)和方差Var(X)分别为（）。A.1,1B.1,2C.2,1D.2,23.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布，则随机变量Z=X^2+Y^2的分布是（）。A.N(0,1)B.N(1,1)C.χ^2(2)D.t(2)4.设总体X的分布未知，但已知E(X)=μ，现希望估计μ，下列说法正确的是（）。A.只能用样本均值\bar{X}进行估计B.样本中位数总是比样本均值更有效C.无偏估计总是最有效的估计D.样本均值\bar{X}是μ的无偏估计量5.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则（）。A.α+β=1B.减小α一定会增大βC.增大样本容量可以同时减小α和βD.α表示H0为真时拒绝H0的概率二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题后的横线上）1.设随机变量X的分布律为：P(X=k)=\frac{C}{k+1}，k=1,2,3,则常数C=________。2.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差Var(X)=1，Y的方差Var(Y)=4，则X和Y的相关系数ρ_{XY}=________。3.从总体X中抽取样本X_1,X_2,...,X_n，若\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i，则\hat{\mu}是总体均值μ的________估计量。4.设总体X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是来自X的样本，则样本方差S^2的期望E(S^2)=________。5.在单因素方差分析中，若因素A有k个水平，每个水平下重复试验n_i次，则总的自由度df_T=________。三、计算题（每小题7分，共28分）1.设随机变量X和Y相互独立，其分布律分别为：X:01P:0.30.7Y:-11P:0.60.4求随机变量Z=X+Y的分布律。2.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。求随机变量U=2X+Y和V=2X-Y的协方差Cov(U,V)。3.从正态总体N(μ,16)中抽取容量为25的样本，样本均值为\bar{X}=10.5。求μ的95%置信区间（已知σ^2=16）。4.在一批灯泡中，随机抽取10个灯泡测试其寿命，得到数据（单位：小时）：1500,1480,1490,1510,1500,1470,1520,1490,1480,1530。假设灯泡寿命服从正态分布N(μ,σ^2)，检验这批灯泡的平均寿命是否显著大于1500小时？（α=0.05）四、综合应用题（每小题9分，共18分）1.某工厂生产一种产品，其重量X服从正态分布N(μ,5^2)。为了检查生产是否正常，随机抽取了9件产品，测得样本方差S^2=9^2。检验生产过程的方差是否显著大于25？（α=0.05）2.某研究想比较三种不同广告策略（A,B,C）对产品销售量的影响，随机选取了4个地区，每个地区采用一种广告策略，一个月后的销售量数据如下（单位：件）：广告策略A：50,48,53,49广告策略B：45,47,49,46广告策略C：55,58,54,57假设销售量服从正态分布，且方差相等。检验三种广告策略对销售量是否有显著影响？（α=0.05）试卷答案一、单项选择题1.B2.A3.C4.D5.B二、填空题1.12.\frac{1}{2}3.无偏4.λ5.n-1三、计算题1.解：Z的可能取值为-1,0,1,2。P(Z=-1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=0)P(Y=-1)=0.3*0.6=0.18P(Z=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=0.3*0.4=0.12P(Z=1)=P(X=1,Y=-1)+P(X=0,Y=1)=P(X=1)P(Y=-1)+P(X=0)P(Y=1)=0.7*0.6+0.3*0.4=0.42+0.12=0.54P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=0.7*0.4=0.28故Z的分布律为：Z:-1012P:0.180.120.540.282.解：Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y)=Cov(2X,2X)+Cov(2X,-Y)+Cov(Y,2X)+Cov(Y,-Y)=4Cov(X,X)-2Cov(X,Y)+2Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=4Var(X)-2Cov(X,Y)+2Cov(X,Y)-Var(Y)(因为X,Y独立，Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=0)=4Var(X)-Var(Y)=4*1-1=33.解：已知总体方差σ^2=16已知，故用Z分布构建置信区间。σ=√16=4，n=25，α=0.05，查表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。置信区间为：μ∈(\bar{X}-Z_(α/2)*(σ/√n),\bar{X}+Z_(α/2)*(σ/√n))=(10.5-1.96*(4/√25),10.5+1.96*(4/√25))=(10.5-1.96*0.8,10.5+1.96*0.8)=(10.5-1.568,10.5+1.568)=(8.932,12.068)故μ的95%置信区间为(8.932,12.068)。4.解：检验假设H0:μ≤1500vsH1:μ>1500(单边检验)总体方差σ^2=16已知，用Z检验。σ=4，n=10，\bar{X}=10.5，μ_0=1500，α=0.05。检验统计量：Z=\frac{\bar{X}-μ_0}{σ/\sqrt{n}}=\frac{10.5-1500}{4/\sqrt{10}}=\frac{-1490}{1.265}≈-1174.7查表得Z_(α)=Z_0.05=1.645。因为是单边检验，拒绝域为Z>1.645。计算得到的Z=-1174.7远小于临界值1.645。故不能拒绝H0，即没有充分证据表明这批灯泡的平均寿命显著大于1500小时。四、综合应用题1.解：检验假设H0:σ^2≤25vsH1:σ^2>25(单边检验)总体均值μ未知，用χ^2检验。n=9，S^2=9^2=81，σ^2_0=25，α=0.05。检验统计量：χ^2=\frac{(n-1)S^2}{σ^2_0}=\frac{(9-1)*81}{25}=\frac{8*81}{25}=25.92自由度df=n-1=8。查χ^2分布表得χ^2_(α,df)=χ^2_(0.05,8)=15.507。因为是单边检验，拒绝域为χ^2>15.507。计算得到的χ^2=25.92大于临界值15.507。故拒绝H0，即有充分证据表明生产过程的方差显著大于25。2.解：检验假设H0:μ_A=μ_B=μ_CvsH1:至少有两个均值不等(多边检验)数据：A:50,48,53,49;B:45,47,49,46;C:55,58,54,57n_A=n_B=n_C=4,n_T=12。计算各水平样本均值和样本方差：\bar{X}_A=(50+48+53+49)/4=200/4=50\bar{X}_B=(45+47+49+46)/4=187/4=46.75\bar{X}_C=(55+58+54+57)/4=220/4=55S_A^2=[(50-50)^2+(48-50)^2+(53-50)^2+(49-50)^2]/(4-1)=[0+4+9+1]/3=14/3S_B^2=[(45-46.75)^2+(47-46.75)^2+(49-46.75)^2+(46-46.75)^2]/(4-1)=[3.0625+0.25+5.0625+0.5625]/3=8.9375/3S_C^2=[(55-55)^2+(58-55)^2+(54-55)^2+(57-55)^2]/(4-1)=[0+9+1+4]/3=14/3计算总体均值估计和组内平方和：\bar{X}_{..}=(50+48+53+49+45+47+49+46+55+58+54+57)/12=648/12=54SSTR=4*(50-54)^2+4*(46.75-54)^2+4*(55-54)^2=4*16+4*56.25+4*1=64+225+4=293SSE=(4-1)*14/3+(4-1)*8.9375/3+(4-1)*14/3=3*14/3+3*8.9375/3+3*14/3=14+8.9375+14=36.9375计算组间平方和：SSW=SSTR-SSE=293-36.9375=256.0625计算F统计量：MSW=SSE/(n_T-k)=36.9375/(12-3)=36.9375/9