2025年大学《应用统计学》专业题库- 统计学对环境保护的重要性

2025年大学《应用统计学》专业题库——统计学对环境保护的重要性考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、某城市环保部门为了解城市河流某段水质污染情况，在河流的不同位置随机采集了多份水样，检测了其中主要污染物A和B的含量（单位：mg/L）。假设检测数据近似服从正态分布。研究人员获得了以下信息：样本容量n=50，污染物A含量的样本均值$\bar{x}_A$=3.5，样本标准差s$_A$=0.8；污染物B含量的样本均值$\bar{x}_B$=2.1，样本标准差s$_B$=0.6。请解释样本均值和样本标准差在此场景下的具体含义。若要求以95%的置信水平估计该河流此段污染物A的平均含量，请写出所需的统计推断公式，并说明公式中各符号的经济含义。假设查阅t分布表得到的临界值为2.009，请计算污染物A平均含量的95%置信区间，并解释该置信区间的含义。二、为了评估某种新型水处理技术对降低污染物A含量的效果，研究人员进行了对比实验。在处理前后的水样中分别检测污染物A的含量，得到如下数据（单位：mg/L）：处理前：3.2,3.8,4.0,3.6,3.9；处理后：2.5,2.8,2.9,2.7,2.6。假设处理前后污染物A含量均服从正态分布，且方差相等但未知。请写出检验该水处理技术是否有效（即处理后平均含量是否显著低于处理前）的假设检验步骤，包括原假设和备择假设、选择的检验统计量及其分布、计算检验统计量的值以及给出结论（显著性水平α=0.05）。三、某研究人员收集了某地区过去10年（年份t=1,2,...,10）的年平均气温（°C）和森林覆盖率（%）数据，并计算出以下回归分析结果：回归方程为$\hat{y}=15.2-0.5t$，其中y代表森林覆盖率，t代表年份。请解释回归系数-0.5的经济含义。若预计第11年该地区的年平均气温将上升1°C，请根据回归方程预测该地区第11年的森林覆盖率，并解释预测结果的合理性。四、为了研究不同区域土壤中重金属含量是否存在差异，研究人员在三个不同的区域（A,B,C）各采集了若干土壤样本，检测了样本中重金属P的含量（单位：ppm）。部分统计结果如下：区域A样本量n$_A$=15，平均含量$\bar{x}_A$=12.3，样本方差s$_A^2$=4.5；区域B样本量n$_B$=12，平均含量$\bar{x}_B$=10.8，样本方差s$_B^2$=3.8；区域C样本量n$_C$=10，平均含量$\bar{x}_C$=11.5，样本方差s$_C^2$=5.0。请写出检验这三个区域土壤中重金属P的平均含量是否存在显著差异的统计推断方法，并说明选择该方法的原因。假设采用该方法的F统计量为2.35，自由度为（2,32），请说明如何根据该统计量判断三个区域土壤中重金属P的平均含量是否存在显著差异（显著性水平α=0.05）。五、某环保非政府组织（NGO）关注城市垃圾分类的有效性，对某社区的100户居民进行了调查，了解他们是否支持垃圾分类政策（支持=1，不支持=0）。调查结果显示，有70户居民支持该政策。请计算样本中支持垃圾分类政策的比例，并以90%的置信水平估计该社区居民支持垃圾分类政策的比例的置信区间。解释置信区间的含义。若该NGO希望以95%的置信水平估计支持率，且希望置信区间的宽度不超过5个百分点，请问至少需要调查多少户居民？六、环境保护部门希望监测某河流水质的变化趋势。研究人员收集了该河流过去5年（年份y=1,2,3,4,5）的年平均溶解氧含量（mg/L）数据：5.2,5.0,4.8,4.6,4.5。请计算这5年溶解氧含量的平均变化率，并简要分析溶解氧含量的变化趋势及其可能的环境意义。试卷答案一、1.含义：样本均值$\bar{x}_A$=3.5表示所采集的50份水样中，污染物A含量的平均水平；样本标准差s$_A$=0.8表示这50份水样中污染物A含量围绕其均值的波动程度或离散程度。2.公式与符号含义：所需统计推断公式为$\bar{x}_A\pmt_{\alpha/2,n-1}\left(\frac{s_A}{\sqrt{n}}\right)$。其中，$\bar{x}_A$为样本均值（污染物A含量的样本平均值为3.5），$s_A$为样本标准差（污染物A含量的样本标准差为0.8），$n$为样本容量（50），$t_{\alpha/2,n-1}$为自由度为n-1（49）时t分布的$\alpha/2$分位点（对于95%置信水平，$\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$），$\frac{s_A}{\sqrt{n}}$为样本均值的标准误差。3.置信区间与含义：检验统计量t=$\frac{\bar{x}_A-\mu_0}{s_A/\sqrt{n}}$，其中$\mu_0$为总体均值（假设为未知，用样本均值估计）。计算得到的95%置信区间为$\bar{x}_A\pmt_{0.025,49}\left(\frac{s_A}{\sqrt{n}}\right)=3.5\pm2.009\left(\frac{0.8}{\sqrt{50}}\right)=3.5\pm0.227=(3.273,3.727)$。该置信区间含义是，我们有95%的置信度认为该河流此段污染物A的真实平均含量落在3.273mg/L到3.727mg/L之间。二、1.假设检验步骤：*原假设H₀：$\mu_1=\mu_2$（即处理前后污染物A的平均含量无显著差异，$\mu_1$为处理前平均含量，$\mu_2$为处理后平均含量）。*备择假设H₁：$\mu_1>\mu_2$（即处理后平均含量显著低于处理前）。*检验统计量：采用两样本t检验（假设方差相等），统计量t=$\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，其中$\bar{x}_1=3.74$,$\bar{x}_2=2.74$,$n_1=5$,$n_2=5$。由于H₀为$\mu_1-\mu_2=0$，公式简化为t=$\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$。合并方差$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{4(0.4^2)+4(0.3^2)}{8}=\frac{0.64+0.36}{8}=0.125$，故$s_p=\sqrt{0.125}\approx0.3536$。代入数据得t=$\frac{3.74-2.74}{0.3536\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}=\frac{1.00}{0.3536\times0.4472}\approx\frac{1.00}{0.158}\approx6.33$。*临界值与结论：对于单尾检验，显著性水平α=0.05，自由度df=n_1+n_2-2=8，查阅t分布表得临界值t₀.05,8≈1.860。由于计算得到的检验统计量t≈6.33>1.860，因此拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，有充分证据表明该新型水处理技术能有效降低污染物A的含量。三、1.回归系数含义：回归系数-0.5的含义是，在其他因素保持不变的情况下，年平均气温（°C）每上升1°C，该地区森林覆盖率（%）预计平均下降0.5个百分点。2.预测与合理性：第11年的预测森林覆盖率为$\hat{y}_{11}=15.2-0.5\times11=15.2-5.5=9.7$%。合理性分析：预测结果基于过去10年的线性关系。若未来气温持续上升且其他条件（如政策、灾害）保持稳定，该预测具有一定的参考价值。但需注意，线性关系可能无法完全捕捉森林覆盖率随气温变化的复杂性，且长时间序列预测inherently存在较大不确定性。四、1.方法与原因：应采用的统计推断方法是单因素方差分析（One-wayANOVA）。选择该方法的原因是，研究目的是检验三个不同区域（自变量，有3个水平）的土壤中重金属P的平均含量（因变量）是否存在显著差异。2.判断依据：在α=0.05的显著性水平下，需要比较F统计量2.35与临界值F₀.05,(2,32)。查阅F分布表，得到F₀.05,(2,32)≈3.23。由于F=2.35<3.23，因此不能拒绝原假设（即三个区域土壤中重金属P的平均含量无显著差异）。结论：根据该F统计量，在α=0.05的显著性水平下，没有足够证据表明这三个区域土壤中重金属P的平均含量存在显著差异。五、1.比例与置信区间计算：样本中支持比例p̂=70/100=0.7。90%置信水平对应的标准正态分布分位数z₀.05≈1.645。置信区间为p̂±z₀.05*$\sqrt{\frac{p̂(1-p̂)}{n}}=0.7\pm1.645*\sqrt{\frac{0.7(1-0.7)}{100}}=0.7\pm1.645*\sqrt{0.007}=0.7\pm1.645*0.0837=0.7\pm0.137=(0.563,0.837)$。2.置信区间含义与样本量计算：该置信区间含义是，我们有90%的置信度认为该社区居民实际支持垃圾分类政策的比例落在56.3%到83.7%之间。对于样本量计算，使用公式$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\sqrt{p̂(1-p̂)}}{E}\right)^2$，其中z_{\alpha/2}=1.645（对应90%置信水平），E=0.05（置信区间宽度的一半）。代入p̂=0.7（可用0.5代替计算最大样本量），得$n=\left(\frac{1.645\sqrt{0.7\times0.3}}{0.05}\right)^2=\left(\frac{1.645\times0.458}{0.05}\right)^2=\left(\frac{0.75151}{0.05}\right)^2=(15.0302)^2\approx225.91$。由于样本量必须为整数，且需向上取整以保障置信度，至少需要调查226户居民。六、1.平均变化率与趋势分析：溶解氧含量（y）：5.2