（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）（精讲）（原卷版）

8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:直线与平面垂直的判断题型2：直线与平面垂直的判定定理题型3：补全线面垂直的条件题型4：直线与平面所成的角的概念题型5：求线面角题型6：由线面角求参数题型7：线面角最值问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.（2）符号语言：对于任意，都有.（3）图形语言：（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点2：直线与平面垂直的判定定理（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直线面垂直（2）符号语言：，，，，（3）图形语言：如图知识点3：直线与平面所成角（1）直线与平面所成角的定义如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）说明：①为斜线②与的交点为斜足③直线为在平面上的射影④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：⑥直线与平面所成角取值范围：.（3）直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.二、重点题型分类研究题型1:直线与平面垂直的判断典型例题1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件2．在正方体的六个面中，与垂直的平面有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面同类题型演练1．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，C．若，，则 D．若，，，则2．如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（

）A． B． C． D．3．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，．其中正确的命题是______．（填序号）题型2：直线与平面垂直的判定定理典型例题1．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．2．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.(1)若，求四棱锥的体积；(2)求证：平面.3．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．(1)求证：平面BCD；(2)求点E到平面ACD的距离．4．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．(1)证明：BD⏊平面PAC；(2)求三棱锥的表面积．同类题型演练1．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．2．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：(1)平面；(2)平面．3．在棱长为2的正方体中．(1)求证：面；4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)证明：平面PAC；(2)求点到平面的距离.5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.(1)求证：BC⊥平面BDE；(2)求点D到平面BEC的距离.题型3：补全线面垂直的条件典型例题1．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.2．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足______时，有．（试写出一个满足的条件）3．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．(1)证明：平面；(2)点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．同类题型演练1．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．3．已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．4．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．题型4：直线与平面所成的角的概念典型例题1．若直线m与平面所成的角为，则可能为135°．()2．若直线l与平面所成角为，直线a在平面上，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是___________.同类题型演练1．一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________.（用区间表示）2．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1_________θ2(填“>”“=”或“<”).题型5：求线面角典型例题1．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．3．如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.4．如图，在长方体中，，.求(1)求直线和直线所成的角的大小；(2)求直线与平面所成的角的大小.5．如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小.同类题型演练1．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．4．在四棱锥中，⊥平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．5．如图，三棱柱的底面为菱形，，为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型6：由线面角求参数典型例题1．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为A．40 B． C． D．2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.3．已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．4．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，底面.（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.同类题型演练1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（

）A． B．1 C．2 D．2．若正三棱锥底面边长为2，侧棱与底面所成的角为，则其体积为_______．3．如图，已知四棱锥中，平面，且.(1)求证：平面；(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.4．如图，三棱柱各棱长均为2，.(1)求证：；(2)若与平面所成的角为，求三棱柱的体积.题型7：线面角最值问题典型例题1．如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，，，.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.同类题型演练1．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________2．如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.(1)求证：平面平面BDF；(2)若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.三、高考（模拟）题体验1．已知点是球的小圆上的三点，若，则球的表面积为（

）A． B． C． D．2．已知直线l，平面，，如果，，那么l与平面的位置关系是（

）A． B． C．或 D．3．（多选）如图所示，正方体的棱长为2，点E，