高考数学导数专项复习之构造函数法解决导数问题（原卷版）

专题18构造函数法解决导数问题

*等特征式、

1.以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“yu)±«a),yu)g(x),旨在考查导数运

g(x)

算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位"常客”，常以压轴题的形式出现，解答这

类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数,

然后利用该函数的性质解决问题.

2.(I)当题设条件中存在或通过变形出现特征式(、)+屋(、)”时，不妨联想、

逆用"/(x)±g'a)=[/U)土g(x)]'”.构造可导函数y=/(幻虫(幻，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题•

(2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“r(工)双幻+加)铲。)”时，可联想、

逆用“/㈤g(x)±/U)g'。)=依次㈤r'，构造可导函数y=/5g(x),然后利用该函数的性质巧妙地解决问

题.

(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“r(x)ga)-/U)g'(X)”时，可联想、

逆用”，构造可导函数)=阴，再利用该函数的性质巧妙地解决问题.

LgU.J」

3.构造函数解决导数问题常用模型

⑴条件：/'(工)3K0)：构造函数:h(x)=fix)—ax.

(2)条件:f(x)±g'(x)>0：构造函数：h(x)=J(x)±g(x).

(3)条件:f。)+危)>0:构造函黄：〃(%)=巧状).

(4)条件:/(x)-X，r)>0:构造函数:力。)=^.

(5)条件：(x)+Xx)>0:构造函数：从力=欢x).

(6)条件：xf(A)—/(x)>0:构造函数：h(x)=^^.

题型一构造)，=凡1)±g(x)型可导函数

1.设奇函数人工)是R上的可导函数，当Q0时有/(x)+cosx<0,则当xWO时，有()

A./x)4-sinx>>(0)B./(.v)4-sinC.贝幻一sinx宓0)D.fix)-sinx</(0)

2.设定义在R上的函数yu)满足负0)=-1，其导函数，。)满足/QAQ1,则下列结论一定错误的是()

A-4)4B-6b占C.4昌)-D../｛士｝昌

3.已知定义域为R的函数,/U)的图象经过点(1,1),且对于任意iWR,都有/'(x)+2X),

则不等式网。囹3'-11)<3Tog53、-11的解集为()

A.(一8,())U(O,|)B.(0,4-oo)c.(-1,0)U(0,3)D.(-«>,1)

4.设定义在R上的函数/U)满足火1)=2,/'(x)vl,则不等式人均>『+1的解集为.

5.定义在R上的函数於)，满足川)=1,且对任意xER都有/(X©,则不等式*gx)>旦产的解集为

题型二构造yu>ga)型可导函数

1.设函数/U),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当工<0时，/(x)g(x)+7U)g'(文)>0,且g(3)=0,

则不等式7U)g(x)>0的解集是()

A.(一3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(一8,-3)U(3,+oo)D.(一8,-3)U(O.3)

2.设)，=危)是(0,+8)卜的可导函数,川)=2,0-1)[织力+1(")]>。(刘1)恒成立•若曲线危)在点(1,2)

处的切线为y=g(x),且g(a)=2OI8,则a等于()

A.-501B.-502C.-503D.-504

3.设定义在R上的函数4r)满足f(x)+/U)=3fer,且｛0)=0,则下列结论正确的是()

A.7U)在R上单调递减B.小)在R上单调递增

C./U)在R上有最大值D..小)在R上有最小值

4.已知7U)是定义在R上的增函数，其导函数为广。)，旦满足冉巳+xvl,则下列结论正确的是()

A.对于任意x£R,/U)<0B.对于任意x£R,/(x)>0

C.当且仅当3£(一8,1)时，儿0<oD.当且仅当x£(l,+8)时，於)>0

3

5.若定义在R上的函数7U)满足/a)+yu)>2,次0)=5,则不等式yU)〈w+2的解集为.

6.设函数7U)在R上的导函数为f⑴，且2/&)+.1。)>『，则下列不等式在R上恒成立的是()

A.凡。>0B.flx)<0C.f(x)>xD.儿i)Vx

7.已知定义在R上的函数式Y)满足次x)+2/'(r)>0恒成立，且/P)=ge为自然对数的底数)，

V

则不等式e-D-e?>0的解集为.

题型三构造照型可导函数

1.设/(幻是奇函数7U)(x£R)的导函数，A-l)=0,当x>。时，(A)-,AA)<0,则使得<万>0成立的X

的取值范围是()

A.(-8,-l)U(OJ)B.(-1,O)U(1,+叼

C.(-8,-1)U(-1,O)D.(O,1)U(1,+8)

2.已知於)为定义在(0,+8)上R勺可导函数，且凡r)R'(x),则不等式,行吁)一/U)<0的解集为.

3.已知/U)为R上的可导函数，且均有人外>/(x),则有()

A.e2o,9/(-2O19)<y(O),y(2019)>e20,9/(0)B.e20,9/(-2OI9)<yiO),y(2019)<e20,<7(0)

C.e2019A-2019)>7(0),y(2019)>e20,9A0)D.e20,9/(-2019)>>/(0),019)<e20,9/(0)

4.已知定义在R上函数ZU),g。)满足：对任意x£R,都有7U)>0,g(x)>0,且/'a)g(x)—Ar)g'(x)<o.

若“，卮R+且aWb,则有()

A.严爱)照孕)M屈)g(或历

B.《屈应(国)

C.丽)D.国)

5.设/是函数7U)(x£R)的导函数,且满足叶。)一贺力>0,若在△ABC中，角。为钝角，贝U()

A./sin4)-siir^>/(sinB)-sin2AB.fisinA)-sin2B<fisinB)-s\n2A

C.f(cosA)sin2B>J(sinB)COS2AD./(cosA)sin22?</(sin5)COS2A

6.定义在R上的函数儿6满足：/(x)>凡I)恒成立，若国〈处则e*7U2)与/次为)的大小关系为(

Y,X2

A.21AB.ey(X2)<e/(xi)

C.eV|y(X2)=eX2/Ui)D.『十及)与的大小关系不确定

专项突破练构造函数法解决导数问题

一、单选题

1.已知/("是定义在R上的偶函数，/'(力是/(工)的导函数，当xNO时，f(x)-2x>0,且/⑴=3,则

/(%)>父+2的解集是()

A.(T,0)D(l,y)B.(-oo,-1)^(1,+»)

C.(-LO)U(OJ)D.(-oc,-l)u(0,l)

2.定义在R上的函数/(x)的图象是连续不断的一条曲线，且/(—x)+/(x)=f,当x<0时，/'(x)<x,

则不等式/(x)+；Nf(l-x)+x的解集为()

「1八「1'fn0(1]

A.--JB.不，+8C.-2,-D.一双二

L2)[2)I2jI2」

3.是定义在R上的函数，/'(x)是"力的导函数,已知/'。)>〃力,且〃2)二心/(l)=e,则不

等式/(2》-1)Y2I>0的解集为()

A.(fT)B,{8,-C.(I,-H»)D.

4.已知函数人力是定义在R上的奇函数，/(2)=0,当戈>0时，有犷(力-/(力>0成立，则不等式力(力>0

的解集是()

A.(-<»,-2)“2,+8)B.(一2,0)52，+8)

的不等式幺2-X-@+240恒成立，则实数。的取值范围为()

xx

ri、「re、-6+2、〜—e*+2e+2

A.U，+8)B.[2,+00)C.----.+<»D.----------，+8

12.已知函数〃x+l)为定义域在R上的偶函数，且当xNl时，函数“可满足矿(力+2/(力二坐,

X

则可(力＜1的解集是()

A.-<o,2-5/e)u»(>/e,+oo)B.(2-Ve,7c)

C.(^»,2-e)u(e,-Ko)D.(2-e,e)

13.已知函数y=/(x),若/(x)>0且/'(x)+.炉(x)>0,则有()

A./(x)可能是奇函数，也可能是偶函数B./(-1)>/(1)

71九32工「

C.时，/(sinx)<^^_/(cosx)D-/(0)<Ve/(1)

14.定义在R上的函数/(x)满足r(x)>l-/(x),且/(0)=6,尸(”是“X)的导函数，则不等式

-•/(x)>e'+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(3,0)=(1,y)B.(f0)U(3,*HX>)

C.(0,十r)D.(3,-KO)

15.设函数/'(x)是定义在(0,句上的函数/("的导函数，有f(x)cosx-/(x)sinx>0,若

4=(),/;=(/(?}c=则〃，b,0的大小关系是()

A.a>h>cB.b>c>a

C.c>a>hD.c>b>a

16.已知定义在R上的函数/(x)满足：犷(x)+/(x)>0,且"1)=2,则的解集为()

C

A.(0,+oo)B.(in2,-Ko)C.D.(0,1)

二、多选题

17.设〃x),g(x)是定义在R上是恒大于零的可导函数,且满足了'(x)g(x)-〃x)g，a)>0,则当avxvb

时，有()

A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x}g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(b)<f(b)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

18.已知定义在R上的函数函x)图像连续,满足己(%)—/(f)=6sinx-2x,且％>0时，/'(x)<3cosx-l恒

成立，则不等式2)q+3sin(x+§中的x可以是()

A.--B.0C.-D.—

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19.定义在功上的函数/*)的导函数为r(x),且/*)+(犬+9/'(”<。恒成立，则必有()

A.3/⑶<2/⑴B.4〃2)<5/(5)

C.3/(1)>5/(5)D.2/(3)>3/(7)

20.已知〃力是R上的可导函数，且r(x)v/(x)对于任意xwR恒成立，则下列不等关系正确的是()

A./(l)<ef(O),/(2020)<0^/(0)B./(l)>e/(O),/(l)>e2/(-l)

C./(l)<ef(O),/(l)<e2/(-l)D./(l)>ef(O),/(2020)>e2°2°/(0)

三、填空题

21.已知/(x)是R上的奇函数，式力是在R上无零点的偶函数，"2)=0,当x>0时,

〃lgx)

r(x)g(x)-/(x)g'(x)<0，则使得<0的解集是

g(lgx)

22.已知函数外力是R上的奇函数，/⑵=0,对Dxe(0,­),“力+短⑴>0成立，则(x—l)/(x)20

的解集为.

23.已知函数八力的导函数为数为),且对任意xwR,r(x)-/(x)<0,若/(2)=e2,/«)<ez,则f的

取值范围是___________.

24.定义在R上的函数满足=且对任意xwR都有/("-<<0,则不等式的解集为

25.若f(x)为定义在A上的连续不断的函数，满足/。)+/(-幻=4/,且当xe(yo,0)时，/V)+l<4x.

3

若f{rn+1)</(-/??)+3m+-,则必的取值范围___________.

26.已知函数f(x)是定义在(YOQ)U(O，”)的奇函数,当一(仇+8)时,"卜/(力,则一等式

2〃l-x)+(x-l)/(2)＜0的解集为.

27.已知定义在(0,+8)的函数/(x)满足矿(x)二"x)vO,则不等式的解集为