高考数学导数专项复习之利用导数研究函数零点问题（解析版）

专题14利用导数研究函数零点问题

函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴(或直线)，=k)在某区间上的交点问

题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

利用导数确定函数零点的常用方法

⑴图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画

草图时注意有时候需使用极限).

⑵利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极

值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

三.利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(。=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线.y=。与y=g(x)

的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

⑵利用函数零点存在定理构建不等式求解；

⑶转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

专项突破一判断函数零点的个数

一、单选题

1.函数=所有零点的个数为()

A.IB.2C.3D.4

33

【解析】由题可知，K-(-X)2+-=/(A),

故函数/㈤为定义域上的偶函数，且/(。)=0,

qq3

当了>0,且xw2时，f(x)=--^-x2+-,;")=一(.2)2

当0cx<2时,f(x)<0,函数fx)单调递减,且"0)=0,故函数八劝在区间(0,2)上无零点,

当上>2时，rCr)<0,函数/(x)单调递减，当x-2时，/。)->切，当xff时，/(x)f故函数/⑺

在区间(2,y)上必存在一点小，使得/(%)=。，所以函数/*)在区间(2,+00)上有1个零点,

又函数/(K)为定义域上的偶函数，则函数人幻在区间(FL2)上有1个零点，又/(())=0,

所以函数/(X)共有3个零点.故选：C.

1+x\nxx>0

2.已知函数〃X)=LIA则函数g(X)=〃X)T-l的零点个数为()

2d—XX<0

3

A.1B.0C.3D.2

【解析】当x>0时，l+xlnx-x-l=0.得lnx=l,即％=e,成立，

当xWO时，2+^x3-x-l=0,得;1—4+]=0,设g(x)=#-%+1,(x<0),

^,(x)=x2-l=(x+l)(x-l)=0,得x=-l或x=l(舍)，

当xe(T»,-l)时'g«x)>0,函数g(x)单调递增，

当工«-1,0)时,g")<0,函数g(x)单调递减，

所以x=—l时，函数取得最大值，^(-1)=|>0,^(0)=1>0,屋-3)=-5<0,

根据零点存在性定理可知，xc(-3,-l),存在1个零点，

综上可知，函数有2个零点.故选：D

3.函数/口)=心'一工一11一1的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解析】f\x)=er+.xex-\--=e(x+\)--=(x+\)(ex-^\=^X+[^Xe

•X入\A/

令力(x)=xe-l,xw(0,»则〃(力=如+疣*>0,故力(x)在0y)上单调递增，

V/?(0)=-I<0,/z(l)=e-l>0,

••・存在唯一的七«0,1),使得/?(.%)=0,即与心-1=0,即。“=一，与=—In/,

%

・•・当0<x</时,〃(.0)<o,r(x)<0,/(X)单调递减，

当x>.”时，力(为)>0,r(x)>0,/(力单调递增,

,F(X)min=/(玉J=-%-1叫一1=1一M+X0T=°，

・•・函数/(力=双“一。一如X-1的零点个数为1.故选：B.

4.已知ae(e,*c),则函数/(x)=alnx+ax-xe"的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解析】函数/(x)=Mnx+ar-xex定义域为(0,+8),求导得:f(x)=(x+l)(--ev),

x

令g(x)=q_e*,x>0,显然g(x)在(。,+8)上单调递减，而〃>e,g(a)=l-e"<0,gQ)=a-e>0,

x

则存在玉)G(L。)，使得g($)=。,即巴=e",当Ovxvxu时，g(x)〉。，尸(力>。，当时,g(x)4。，

玉)

/v)<o,因此，在(o,%)上单调递增,在(v+oo)上单调递减,

/(-V)max=/*0)=aIn.%+—."e'°=a(lnx0+x0-1)>0,

j_J.J.

而f(3=4hJ+「2=-alna+1-〃+1-2<()，则存在使得/a)=°，即/㈤在(。小)上

aaaaa

存在唯一零点，又/(a)=a(lna+a-e"),令〃(x)=lnx+x-e：x>e,h'M=—+1-e'<0,

x

则力(x)在(e,+oo)上单调递减，Vx>e,/z(x)<A(e)=l+e-ee<l+e-e2<0,

于是得/(a)<0，则存在々e(/，“)使得/(/)=0,即/(A)在(*,+8)上存在唯一零点，

综上得：函数/(1)=。1114+好-淤，的零点个数为2.故选：C

5.已知a£R,则函数“工)=9；-。卜2+工+1)零点的个数为()

A.IB.2C.3D.与“有关

।v3

【解析】令/(x)=：x3—〃(d+x+l)=0,得。=3(/+1+]]

x3

令¥="…讣，%=〃，只需看两个图像的交点的个数・

223222

13X(X+X+1)-(2A+1)X_1X(X+1)+2X

y——x--------------------------------——x---------------r—〉u

3(X24-AT+1)3(f+x+i)，

x3

所以)’二力----在上单调递增.当时，；当时，丁—田；

3(r+x+El)RXT-8yff

X3

所以为=〃与。八有且只有一个交点.故选:A

。I人•"人•"II

xe'+X<0

8.已知函数/。)='则函数以幻=|/(刈-1零点的个数为

Nd1114,Ji"IJ,

【解析】x40时，小)=(x+l)*,x<-l时,.f(x)<0,/(X)递减；

-IvxWO时，r(x)>0,/*)递增：

则X=一1时，f(x)取极小值也是最小值/(T)=-l；

x>0时，，尺工)=2e(l+lnx),oC时，ff(x)<0,〃x)递减；

e

X>加，fW>0,/(K)递增；则x时，/(x)取极小值也是最小值端=-2,

综上所述，可作出/")图象，在作两条直线y=±i,

结合图象可知,八力与3=±1有4个交点.

三、解答题

x+1

9.已知函数/

X—1

⑴求曲线.B(X)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)判断函数/(工)的零点的个数，并说明理由.

"I?

【解析】⑴由/")=，'一一=广^卜^+^7n广(0)=3,

x-I(x-1)

而"0)=2,所以该函数在点(0,/(0))处的切线方程为：

y-2=3(x-0)n3x-y+2=0；

2

⑵函数/(X)的定义域为(Y，D51.M),由(I)可知：r(x)=。'+正生，

当工£(-09,1)时，f(x)>0,/(X)单调递增，

因为,〃一2)/(0)=©2-3.2=2(之一3<0,所以函数在xe(-8,l)时有唯一零点;

3e3

当工w(1,*0)时,f(x)>0,f(x)单调递增,

5-

因为/(2)/(-)=(e2-3)(e4-9)<0,所以函数在xe(-8,1)时有唯一零点,

,4

所以函数/(工)有2个零点.

10.设函数f(x)=a(2x-1)+(2a2+l)in(-x),aeR.

(l)讨论在定义域上的单调性；

(2)当。20时，判断/(X)在E,上的零点个数.

【解析】(1)由题意，函数〃x)=a(2x—l)+(2/+l)ln(-x)的定义域为(-co。),

可得八.0=2"+也立，

X

①当时，/V)<0,则在(YO,0)上是减函数；

),2万+1

②当。>0时，/⑺.2a+2"+1-，

J)—Z.UT------------------

XX

则当XG(YO「竺」时，r*)>o,/⑴单调递增；

当】€(-与r.0)时，八%)<0,/(“单调递减，

所以函数/(X)在(--4匚)上单调递增，在(-《±0)上单调递减；

(2)①当。=0时・，函数〃x)=ln(—x),

令ln(r)=0,解得x=—l,故/(x)在［-"夕上有一个零点；

②当。>0时，因为"2+123-；)2+万贝后,_；仁(一生=，())，

2ala22”

即"r)在I,一夕上单调递减，又/(-1)=一露<0,/(一》=一2。一(2〃+1)历2v0,

所以函数/(x)在［-L-自上没有零点.

11.已知函数/(x)=sinx+a-其中xe［0,句.

(1)当。=-g时，求/(X)的极值；

(2)当。之1时,求/(X)的零点个数.

【解析】(1)当。=一1时,/(x)=sinx--x,xe[O,^],求导得/'(/)=cosx-L/«0,司,

222

令r(H=o,得X=日，当时，r(x)>()：当xj?,；[时，r(x)<o.

・・・“力在区间(),y上单调递增，在区间(号不上单调递减，

•••当X=£时，/(4)取得极大值/£)=交-9,无极小值；

3\3726

(2)r(x)=cosx+mxe[O,句，当a之1时，•.•一IWcosxWl,，/'(同之。，

・・・f(x)在区间[0,句上单调递增，，/(x)之/⑼=0,故/(x)只有一个零点0.

12.已知函数/(%)=炉-2311%*(尤)=寸-x+2-222.

⑴讨论函数“X)的单调性；

⑵当a=l时.判断g(x)-/(x)的零点个数.

【解析】⑴苗(x)=2x-网=2('-。),故当go时j，a)zo,

xx

所以函数/(x)在(o,+8)上单调递胤当心。时，令r(“>o,得

所以函数/(X)在(后,y)上单调递增，令r(x)<0、得x<五,

所以函数/(X)在(。，&)上单调递减，

综上，当心0时，函数/(X)在(0,+8)上单调递增，

当4>0时，函数“力在(向词上单调递增，在(0,6)上单调递减.

(2)设尸(x)=g(x)-/(x)=21nxT+2—21n2〃JU(x)=：—l/>f'(x)=0,

解得x=2,当J«0,2)时,F(x)>0；当x«2,r)时、尸'(同<0：

故尸5)最大值为尸(2)=0,所以g(x)-/(x)有且只有一个零点2.

13.BSD/(x)=x2eA-a(x+2\nx)

(1)当a=e时，求/(x)的单调性；

(2)讨论了(力的零点个数.

【解析】⑴因为a=e,x>0,/(x)=x2ev-e(x+21nx)

所以r(x)=(J+2x)ei—e(T=Mx+2)e；^^T，八1)=。

令g(x)=xe，—士，g")=(x+l)e*+1>0,所以g(x)在(0,+co)单增,且g(l)=0,

当xe(0,I)时g(x)=xU_±<0,当xe(l,+co)时g(x)=xe，_2>0,

.1X

所以当x«0,l)时用x)V0,当X«l,+oo)时第x)>0,

所以/(工)在(04)单调递减，在(1,y)单调递增

⑵因为/(力=eln?-ev-«(x+21n.r)=er+2,nA-a(x+2lnx)=0

令/=x+21nx,易知/=%+21nx在(O,+8)上单调递增,且ZwR,

x+2,rKzf

故f(力的零点转化为/(x)=e«(A-+2inx)=e-«/=0gpe=at,rsR,

设晨/)=e'-a/,则g'(1)=e'-a,当a=0忖，g(/)=e'无零点：

当"0时，g'(f)=e'-a>0,故g(/)为R上的增函数，

而g(0)=l>0,g(£|=/-l<0,故g(/)在R上有且只有一个零点：

当〃>0时，若/£(Yo,lna),则g'(，)<0；/G(ln«,+oo),则g'(r)>()；

故g”)min=g(lna)=a(lTM，

若…，则g(%n=O,故g«)在R上有且只有一个零点;

若0<a<e,则g(f)1nhi>0,故身0在R上无零点；

若〃>e,则8(4皿<0，此时lna>l,

而g(0)=1>。，g(21na)=a2-2a\na=a(a-2\na),

设Ma)=4-2lno,a>e,则力=-->0,

a

故力(。)在(e,+8)上为增函数,故〃(a)>/?(e)=e-2>0即g(21na)>0,

故此时虱，)在R上有且只有两个不同的零点；

综上：当OK〃<e时，。个零点；当。=©或。<0时，1个零点；">e时，2个零点;

14.B®/(x)=xsinx+cosA+-tir2,xe[0,7r].

⑴当〃=0时，求外力的单调区间;

（2）当4＞0时，讨论了（力的零点个数.

【解析】⑴当a=0时，函数/(M=Asinx+cosx,xw[0,司,

可得/'（x）=sinx+jox）sx-sirtr=jtcosr

当工在区间［o,可上变化时，r（x）,/a）的变化如下表:

(n

X00,兀

•f]7(

(⑴0+0-

n

/（X）极小值1/极大值万、-1

所以/（X）的单调增区间为：/（X）的单调减区间为

;哈/

（2）由题意，函数/（xbxsinx+cosx+gaExclO,乃］,

可得J'（力=ax+xcosx=X（A+coSuv）

当时,a+cosxNO在［0,九］上恒成立,

所以xc［0,划时，f（x）＞0,所以/（力在［0,冗］上单调递增.

又因为/（。）=1，所以/（》）在［。，兀］上有0个零点.

当0＜avl时，令/＜同=0,可得cosx=-a.

由-1＜-av0可知存在唯一的/w信兀）使得8嵇=-a,

所以当xw［0,x。）时,广（力之0,f（x）单调递增；

当工«如乃）时,/'（“＜（）,/'（X）单调递减，

因为"0）=1,/uo）＞l,=

।2

①当即F时，/⑴在［0,网上有0个零点.

2冗”

②当1I万2_］工0,即0<〃K=9时，/(X)在［0,网上有I个零点

2乃~

70

综上可得，当0<a«r时，”6有2个零点；当。>一时，/(力有0个零点.

71'71'

15.已知函数/")=/+=—(a—l)x—2(aeR)

e

(1)求函数f(%)的单调区间.

(2)若ae(-co,2］,求函数f(x)在区间(YO,2］上的零点个数.

【解析】⑴由题意，得/，")=1-=-(。-1)=《“土

ee

当“WO时，/'(x)>0恒成立，所以f(K)在R上单调递增.

当a>0时，由/'(1)>。，得x>ln。，由r(x)<。，得xvIna,

所以f(x)在(-co,Ina)上单调递减，在(Ina,依)上单调递增.

综1二所述，当以£0时，/(«)的单调递增区间为R,无单调递减区间，

当”>0时，的单调递减区间为(—Ina),单调递增区间为的兄的)；

(2)由(1)可知当a40时,/(由>0在(-oo,2］上恒成立,

所以/(X)在(-8,2］上单调递增.

因为/(())=4-1(0，/(2)=02+/-2〃=02+"(3-2)0,

所以由零点存在性定理知，函数〃幻在(—,2］上有1个零点，

当0<。42时，若X£(To」na),则八x)v。，若xe(lna,2］,则/'(x)>0,

所以/(外在(-co,ina)上单调递减,在(Ina,2］上单调递增,

可得/(力―=7(1迎)=(a-1)(1-喇,

①当a=1时，/(x)min=0,此时f(x)在(—8,2］上有1个零点

②当0<〃<1时f(x)min<0,

因为当XT70时+%/(2)=1+3一2〃>0,

e

所以此时/(X)在(7,2］上有2个零点

③当1<。w2时，fMmin>0,此时/(x)在(-8,2］上无零点.

综上，当aWO或a=l时，/(外在-8,2］上有1个零点,

当0vav1时f(x)在(YO,2］上有2个零点，

当1va«2时/(©在(-00,2］上无零点.

16.已知函数/(x)=以一e1(awK).

(1)讨论〃力的单调性;

(2)讨论〃力在(0,”)上的零点个数.

【解析】(1)因为/(%)一〃一6］则/'(X)=a-c，，

当°K0时，八幻<0,此时/(“在R上单调递减；

当〃>0时，令/。)=0,可得x=Ina,

则当xe(-oo,lna)时,f(x)>0,/(力单调递增,

当xe(lna,+oo)时,/(x)<0,〃%)单调递减.

综上所述：当心0时，/("在R上单调递减；

当a>0时，f(力在(Yc,lna)单调递增，在(】na,+oo)上单调递减.

⑵当aWO时，/⑴在(0,”)上单调递减，又/⑼=一1,

故当xe(0,田)时，/(x)<-1,故此时/(x)在(0,位)无零点；

当0<aSl时，lrm<0,故/(%)在(0,十⑹单调递减，

同“40时，此时/(x)在(0,+oo)无零点；

当”>1时，hia>0,故“X)在(O」n.)单调递增，在(in©”)也调递减，

f(x)<f(\na)=a［\na-i),

若lna—l<0,即l<a<e时，/(lna)<0,故/(x)在(0,3)无零点；

若lna-l=0,即a=e时,/(lna)=0,此时/(%)在(0,+<»)有一个零点111〃；

若Ina—1>0,即〃>e时，/(ln«)>0,

又因为/(。)=-1<0,故/(x)在(OJna)上一定存在一个零点；

乂因为2lna>lna,且/⑵na)<0,故/(x)在(Ina,21n。)上也一定存在一个零点;

下证/（21na）vO：

/(2In£7)=2aIna-a2=a(2\na-a),a>e,

y=2\nx-x,x>e,则炉=^_^<0,即y=21nx_x在(e,s)单调递减,

故y<21ne-e=2-e<0,g[J21nJ-X<O,(X>e)

故f(2Ina)-a(2Ina-“0,4)e.故当〃>e时，/(x)有两个零点

综上所述:当…时，/(X)在(0,内)无零点;

a=e时，f⑺在(0,+8)有一个零点Ina；”>e时，/(x)有两个零点.

专项突破二由函数零点个数求参数

一、单选题

L若函数小）=：：；：：：；。有且只有2个零点，则实数。的取值范围为（）

A.0<«<1B.0<«<1C.0<6/<1D.0<«<1

【解析】根据题意，x>0时，/（x）=lnx-2Xx>0）,此时/'（工）=1—2

r（x）」_2>0时，0<xv；；r（x）」_2v0时，X>1,

所以“6在（o.g）上单调递增，在（；,+8）上单调递减

x>0时，/（^）_=/^=-ln2-I<0,所以/（x）在（0,位）上无零点

从而XW0时,/（工）有2个零点，根据二次函数的性质可得

△=4-4〃>0

7（0）>0故选：D-

2.若函数/*）=F-12x+a有三个不同的零点，则实数〃的取值范围是（）

A.（一应-8）B.（-0,8）C.[-16,161D.（-16,16）

3

【解析】f(x)=x-\2x+a,r(x)=3f—12=3(x+2)(x—2).

令r（x）=。，解得$=-2,&=2.

xc(r,—2),/'*)>(),/(x)为增函数，xe(—2,2),/'(x)<0,/⑶为减函数,

xe(2,y),r(x)>0,“外为增函数.

所以九大值(X)=/(-2)=16+a,/彼小也(x)=/(2)=-16+a.

因为函数/(x)=八12x+«有三个不同的零点，

16+tz>0

等价于方程〃x)=o有三个不同的艰.所以“Z解得-16<。<16.故选：D

-16+«<0

3.若关于x的方程Inx-以=0有且只有2个零点，则。的取值范围是()

A.(-co,-]B.(-co,-)C.(0,-]D.(0,-)

eeee

InIn

【解析】由Inx-冰=0,=—x(x>0),令/(公=吐x(%>0),

XX

所以关于X的方程Inx-or=0有且只有2个零点，等价于函数/(%)的图像与直线V=。有两个交点,

由f(x)=叱*>0)，得=

Xx~

当Ovx<e时,/(x)>0,当X>e,/(x)<0,

所以/(幻在(0,e)上递增，在3内)上递减，所以/(x)a=f(e)

ee

当%>e时，/(x)>0,所以当0<。<,时，函数./V)的图像与直线y=〃有两个交点，

e

所以〃的取值范围是(0」)，故选：D

e

4.若函数/(x)=alnx+/+〃有两个零点，则实数。的取值范围为()

A.(e,+8)B.(-oo,-2e)C.D.(2e,+oo)

【解析】因为函数/(*)-alnx+c'+a有两个零点，定义域为(0,+8)；

所以方程aInx+/+a=0在似+⑹上有两不等实根，显然aH0

即方程>在(°，田)上有两不等实根，令g(x)="券，

则直线产T与曲线屋力=与为(°w)上有两不同交点；

因为g'3=*~~百——=—一'

ee

令Mx)=‘—Inx—1,则〃'(x)=-4，＜0在(0,”)上显然恒成立,

XX

因此/?&)=——Inx—1在(0,+。)上单调递减，

又力⑴=0,所以当xw(O,l)时，力(另>。，即g0J)>0,所以g(x)=g»单调递增;

f

当工«1,+8)时,h(x)<0fSPg(x)<0,所以屋”=空小单调递减;

e

lnx+1

因此g(x)a=^l)=L又当X」时，g(x)=>。；当0<x△时,g(x)=t<0,

e"ee

所以为使百线)，=-：与曲线g(x)=4'在(0，+8)上有两不同交点，

只需解得av-e.故选：C.

Inx,x>0/、

5.设函数/5)=«ev(x+l)x<0,若函数y=有两个零点，则实数》的取值范围是()

A.(0,1)B.[0,1)C.[0,1]D.[0,l]kj{-e-2}

【解析］当工>0时，函数/(x)=lnx单调递增；当xwo时，/(x)=e'(x+l),则r(x)=e、(x+2)=0时，工=-2,

所以当xv-2时，Z(x)<0,-2<三0时，Z(x)>0,故当xWO时，/("在(f,—2)上单调递减，在(—2,0)

上单调递增，所以/(M在工=-2处取极小值，极小值为2)=-e-2,作出函数/(力的图象如图：

因为函数y=/(x)-8有两个零点，所以函数歹=/(工)与)，=〃有两个交点，所以当〃e［0』u{-e-2}时

函数>=/(x)与丁二。有两个交点，所以实数6的取值范围为［0』={Y"}.故选：D.

6.已知函数/(力=工+1-加一”有两个零点，则实数〃的取值范围为()

【解析】由题意，函数，3=工+1-优-、的定义域为上

令f(x)=O,即4+1-讹-*=0，即〃=(x+l)e',

设g(x)=(x+l)・e',可得g[x)=e、+(.r+l)el=(x+2)-e',

当xv—2时，g'(x)<0,当x>—2时，g'(x)>0,

所以g(x)在2)上单调递减，在(-2,物)上单调递增.

又g(-2)=-g,作出简图，如图所示，

要使得函数/(x)=x+l-有两个零点，

只需y=〃与X(x)=(x+l)-e”的图像有两个交点，所以-

e

即实数。的取值范围是故选：A.

e-

7.已知函数/a)=2〃e-xlnx有两个极值点，则实数〃的取值范围是()

A-(噎B.佳,ejC.S,2e)D.陷

［解析】囚为函数/(©=-火山人有两个极值点，

所以/'(x)=2r*-(lnx+l)有两个相异的零点，即2〃=吗」有两个交点，

e

令杰)=卡，臼0收)，则g，(x)=1：：+D,xe(Om)，

令力(x)='-(lnx+l),xe(O,+8),则力'(力=--1r一，<。恒成立，

.1XX

所以〃(X)在xe(O,y)上递减，且Ml)=；-(lnl+l)=O,

所以xe(O,l)时，A(x)>0；x«l,+oo)时,〃(力<0；

所以x«0,1)时,g〈x)>0；时,g〈力<0；

所以xe(O,l)时，g(x)单调递增;“«1收)时,g(x)单调递减；

(x)..^=(0=~~~=~»又当XT+00时，g(x)="；+1->0：XTO时，g(x)="：+1―

所以当加=瞥1有两个交点时，则有0<2"L即0<〃<!，

ee2e

所以函数/(x)=2ae-xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是0<〃，故选：A

2e

8.已知函数/("=k2-21)。-优、)有三个零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,e')B.(0,e-2)C.(0,1)D.(0,e)

【解析】令/(x)=(/—2c')(x-所以2c，=0或x—ac'=O，

令g(x)=W-2e，则g[x)=2(x-e),令〃(x)=2(x-ev),则Y(x)=2(l-e"),

当xw(-oo,0)时，"(x)>0,/?(x)在(-8,0)上单调递增；

当代包内)时，”(x)v0,g)在(0,+oo)上单调递减,

所以心)“力(0)=-2<0,即gQ<0,

2

所以g(x)在R上单调递减，又g(-1)=1一工>0,g(0)=-2<0,

所以存在仆w(T0)使得g(%)=0,

所以方程x-ae，=0有两个异于毛的实数根，则。=3，

令耳6=三，贝麟’3=宁，

当xc(—8,1)时，r(X)>0,Mx)在(一8,1)上单调递增；

当“€(l,+co)时，r(x)<0,%)在(1,4-00)上单调递减,且A(x)>0.

所以女。)42(1)=3所以与y=a的部分图象大致如图所示，

9.函数/(工)=〃(1-1)-。'(21-1)有两个零点，则a的取值范围为()

A.(^o,l)U4e\4-xB.l,4eC.(O,l)u4e\+ooD.4e\+8

【解析】令f(x)=O得e'(2x-l)=g-l),令g(x)=eX(2x-l),则g'(x)=e、(2x+l),

.,.当x<—5时，g<x)<0,当时，g'(x)>0,

・•・g(x)在(-00,-；)上单调递减，在(-；，+8)上单调递增，

作出g(x)与)，的函数图象如图所示：

设直线y=a(x-i)与直x)的图象相切,切点为a。,%),

为=。(")

则=e*(/T),解得/=0,%=T，a=l，或％=耳，乃=2e>a=4e>

rz=e*°(2x0+l)一

M有两个不同的零点，二g@)与V=〃(工-1)的函数图象有两个交点,

(3\

:0<4<1或a>4"，即aw(O,l)u4e2,+x.故选：C.

10.已知/aXf-W+Z)疣i+S+l)e2g,恰有三个不同的零点，则实数。的范围为()

A.(0,1)B.(-U)C.(0,e)D.(-1,0)

【解析】由"x)=f—(4+2)把z+g+i)e3T)=0,

得qei(x—eE)=(x—em)[EP(x-e'-,)[x-(«+l)eA-,]=0.

令g(x)=x-e'T,则g'(x)=l-e'T,令g'(x)=l-ei=0可得x=l,

当时，g'(x)>0,当XE(1,+8)时，g'(x)<0,

:.g(x)在(口」)单调递增，在(1,行)单调递减，

所以g(x)Kg(1)=0,即g(4=X-e、T=0仅有唯一的解x=l.

依题意，方程工-1/+1卜1=()有两个不同的解，即丁=。+1与)，二三有两个不同的交点，令力("=』,

则，(力==,易得M”)在(-co』)单调递增,在(1,+oo)单调速减,网力力⑴=i,画出力(”的草图

e

观察图象可得0<4+1<1=-1<。<0，故选：D.

二、多选题

11.己知/("=胧*-方-〃()

A.若/?>3■，则灰«0,+8),使函数y=/(x)有2个零点

e

B.若〃>：,则助€(—»,0),使函数)，=/(x)有2个零点

C-

C.若0<力<之，则三。£(0,+8),使函数y=/(x)有2个零点

e-

D.若则去«3,0),使函数y=/(x)有2个零点

e-

【解析】

令f(X)=。,则二•=⑪+方，所以设8(X)==,则g'(x)=--r

eee

当工<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增：当x>l时,g'(x)<0,g(x)单调递减

g(x)在x=l处取得极大值g(l)=1

e

当X趋向于-co时，g(“趋向于TO；当X趋向于+00时,g("趋向于0

又g"(x)=F，g〃⑵=。且当入<2时，g"(x)<0；当x>2时，g"(x)>o

e

7I

所以，%=2是函数g(x)的拐点,g(2)=/,/⑵=一|

所以g(x)在x=2处的切线方程为y-2=-p(x-2),

如图所示，ACD正确，B错误，故选：ACD

12.已知函数〃同=工-1门-〃有两个零点为、x。,则下列说法正确的是().

A.a>1B.xrv,>1C.西巧<1D.玉+巧>2

【解析】由/(x)=0可得a=x-lnx,令g(x)=/-lnx,其中x>0,

所以，直线)，=。与曲线)=g(x)的图象有两个交点，

^(-v)=I--=—，令g'a)=0,可得x=l,列表如下:

.1X

X(。」)1。什)

g'(x)—04-

g(x)减极小值1增

作出函数y=。与丁=晨力的图象如下图所示:

由图可知，当时，函数y=a与y=g(x)的图象有两个交点，A对；

接下来证明对数平均不等式反<之产,其中彳产々，且占、々均为正数・

111.Vi111■)乙

/、

_2五-1

先证明I现一：手,其中%>占〉0,即证生匚®=上~2,

lnx,nj

|-22x2N+02+1

x2

令'=*>1，p(/)=ln—2(1(,其中/>i,则"(I)：—(：I〉。,

&t+\t(r+1)r(r+l)

所以,函数p(r)在(L+o。)上为增函数,当，>1时，p(r)>p(l)=O,

所以，当xx>。时，^^天力丁

接下来证明：,A'",V，>7^~,其中％>占>。，即证1n

in%-inx2

令1-%>1,即证

/2-2/4-1

令M，)=2hw其中,>1,则〃=_<0,

所以，函数力⑴在(1,+>)上为减函数，当"1时，/z(r)</?(l)=0,

所以,当用>々>。时，吊斥

；二；：；二两式作差可得―…因所以，氤句，

由已知可得

因为"=1<土产，故%工2<1，%+9>2,B错，CD都对.

InX)-In.

故选：ACD.

If若函数出)=小)+2…有3个零点，则实数〃可能的取值有，)

13.已知函数/(幻=〈

A.3B.2C.1D.0

【解析】函数g(x)=/(x)+2x-a有3个零点，即方程/(刈+2工=。有3个不同的实根,

即函数y=f(x)+2x与y=〃的图象有3个不同的交点,

x3-3x,x40

令g)=/(x)+2x='

2Inx+2x,A>0

当“《。时，”(x)=3f-3=3(x+l)(x—l),

当Tvx<0时，〃(x)vO,当xv-1时，〃'(x)>0,

所以函数〃(x)在1)上递增，在(TO)上递减,

故当XV。时.，/心)皿=/?(-1)=2,

又力(0)=0,当XT—时，/j(x)->-co,

当工>0时，〃(x)=2Inx+2x在(0,+8)上递增,

I?

乂力-=-2+—<0,当xf+co时，+oo,

如图，作出函数〃(力的大致图像，结合图像可知，

要使函数y=/(x)+2K与)，=4的图象有3个不同的交点,

贝I」。的范图为0K4V2.故选：CD.

14.己知函数/(工)=xlnx+a(lT)+x在区间(],4-co)内没有零点，则实数a的取值可以为(

A.-1B.2C.3D.4

【解析】/(x)=A-lnx+«(l-x)+x=x^lnx+--67+1^,设g(x)=lnx+q-〃+l

则在x>l上，y=f(x)与1y=g(x)有相同的零点.

故函数/(x)在区间(l,y)内没有零点抑g(x)在区间(L+co)内没有零点，==

XXX

当4sl时，/(人)=爹>0在区间(1,〜)1«恒成立,则8(力在区间(1,皿)_£单调递增.

所以g(x)>g(l)=l>0,显然g@)在区间。,m)内没有零点.

当”>1时，令g(t)>0,得x>a,令g，(力<0,得lev"

所以g(”在区间(1,。)上单调递减增.在区间5,长。)上单调递增.

所以g(x)Ng⑷=lna+2-a

设〃(a)=lna+2_a(a>1),则方(《)=，_]=---<0(«>1)

所以〃(a)在(1,内)上单调递减，且g⑶=ln3-l>0,g(4)=ln4-2<。

所以存在％«3,4),使得〃(%)=0，

要使得g(x)在区间(1，a)内没有零点，则g(a)=lna+2—。>0,所以1V。<4e(3,4),

综上所述，满足条件的〃的范围是。<《)w(3,4)

由选项可知：选项ABC可使得gl：x)在区间(1,位)内没有零点，即满足题意.

故选：ABC

15.已知函数/(x)=a(x-l)-e«2x-l)在(-8,1)上有两个不同的零点，则实数”可能取到的值为()

A.-1B.-C.gD.1

42

【解析】令/3=0,即叫2xT)=0,所以“岂