2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试数学试题（含答案）

2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

*注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项

是符合题目要求的)

1.椭圆3x²+y²=9的离心率为

ABCD

2.已知平面向量a=(1,1),b=(2,m).若b在a方向上的投影向量为,则m=

C

A.-1B.1D

3.记集合A={x||x-3|<1},,则A∩B=

A.[2,3]B.(1,4)C.[2,3]D.[1,4]

ABC.2D.4

5.若圆(x—a)²+(y+2)²=a²与直线2x+ay-3a=0相切，则圆的面积为

A.πB.2πC.4πD.5π

6.设正数a,b满足a²+b=4,则a⁴+a²b+b²的最小值为

A.6B.12C.8D.10

7.若函数f(x)=2cosx(√3sinx—cosx)的图象关于直线x=m对称，则tan2m=

A.√3BC.-1D.一√3

(点石联考)高三数学第1页(共4页)

8.对于正数x,y,,则xy=

AB.1D.e

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知椭圆(,则

A.椭圆的长轴长为4√m

B.当m=1时，椭圆的焦点在x轴上

C.椭圆的焦距可能为6

D.椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值

10.记等差数列{an}的公差为d,已知a²,a₁a₂,d²成等比数列，则

A.d≠0

B.a₂026=2023d

11.如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=CD=4,BC⊥BD,BC=2,E为AC中点，则

A.平面ACD⊥平面BCD

B.点D到平面ABC的距离为

C.直线DE与平面ABC所成角的正弦值

D.点E到直线BD的距离为

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.设zi=1—i,则|z|=

13.大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律,其中n是在经过单

次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A,B,a是常数，已知2g=2~s,B=-2,A>

0,则A的最小值为

14.已知数列{an}的通项为a=2n-1,数列{bn}的前n项积T,=2²+°,将{an}与{b.}中的所有项

从小到大依次排列构成一个新数列{cn},记pa为数列{cn}的前n项和，则使得pn>10cn+1成

立的n的最小值为_

(点石联考)高三数学第2页(共4页)

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

设函数

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f'(x)为f(x)的导函数，求f(x)的极值.

16.(本小题满分15分)

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

(1)求sinA+sinB的值；

(2)若a-b=1,求△ABC的面积.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=3,E为PB

的中点.

(1)证明：BC⊥AE;

(2)设点F在棱BC上，且AF与平面PAB所成角的正弦值为

(i)求线段BF的长；

(ii)M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离.

(点石联考)高三数学第3页(共4页)

18.(本小题满分17分)

已知椭圆1的右焦点为F(1,0),过F的直线与E交于A,B两点.当

A为E的上顶点时，|AF|=3.

(1)求E的方程；

(2)过点A作l:x=9的垂线，垂足为M.

(i)证明：直线MB过定点N;

(ii)记AB的中点为S(s,t)(s≠0),NA的斜率为k₁,NB的斜率为k₂,证明：是定值.

19.(本小题满分17分)

设n为正整数，已知首项为2的正项数列{an}满

(1)若a₃=16,求a₄的值；

(2)证明：{lna+1+2lnan}与为常数列或等比数列；

(3)记{an}的前n项积为Tn若n≥2时，T,≥2√2,求{Tn}的通项公式.

(点石联考)高三数学第4页(共4页)

参考答案

2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试·数学A版

说明：

一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内

容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，

就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、单选题

12345678

DBACDBDB

二、多选题

91011

BDABDAC

三、填空题

12.√213.214.22

四、解答题

15.解：(1)易得子(x)=e²-x-1,(2分)

f(0)=0,(3分)

f(0)=1,故切线方程为y=1.(5分)

(2)求导得f(x)=e²-1,(6分)

x>0时，f(x)>0.(x)在(0,+∞)上单调递增，(8分)

x<0时，f(x)<0,f(x)在(-,0)上单调递减，(10分)

故f(x)≥f(0)=0,故f(x)在0处取极小值0,(12分)

无极大值.(13分)

16.解：(1)由余弦定理得²=a²+-2abcosC=a+F—ab=(a+b)-3ab,(3分)

,所以3ab=2c,则(a+b)²=c²+3ab=3c¹,(5分)

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所以a+b=√3c,由正弦定理，得(7分)

(2)由正弦定理及,得

所以(10分)

由(1)知,又a-b=1,即a>b,A>B,所以(12分)

因为0<A<π,0<B<,所以,△ABC为直角三角形，则a=2b,所以a=2,b=1,c=√3.

(14分)

所以△ABC的面积(15分)

17.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,且BCC底面ABCD,所以PA⊥BC.(1分)

因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC,(2分)

又因为PA∩AB=A,且PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,(3分)

因为AE二平面PAB,所以BC⊥AE.(4分)

(2)如图，以A为坐标原点，直线AB,AD.AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),B(3,0,0),P(0.0,3),D(0,3,0),(6分)

(i)设BF=1(<t<3),则F(3.2.0),AF=(3,1,0).易知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),

(8分)

设直线AF与平面PAB所成的角为θ,则(10分)

解得t=1,即BF=1.(11分)

,设平面的法向量为

(ii),AF=(3,1,0),AEFn=(x,y,z),

取n=(-1,3,1),(13分)

,所以点M到平面AEF的距离为(15分)

18.解：(1)记E的半焦距为c,显然c=1,而A|F|=√B+e=a=3,(2分)

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故b=√a-=2√2,(3分)

于是E的方程(4分)

(2)(i)不妨设A(x,y),BCx,y),

设1M:x=my+1,联立,有(8m²+9)y+16my-64=0,可

(7分)

易知M(9,y),直线MB的斜率为

故直线MB的方程可表示为(8分)

当y=0时，显然y≠y,故

·为定值.(11分)

当AB斜率为0时，易知其过(5,0).(12分)

综上，直线MB过定点N(5.0).(13分)

(16分)

,为定值.(17分)

19.解：(1)由题有a=a5a,当n=1时，a=aTa₁,即16=a+·2,(2分)

解得(3分)

令n=2,则(4分)

两侧同时取以e为底的对数有(5分)

则Ina+=Ina.(6分)

是恒为0的常数列；当)是以Ina₂+2ln2为首

项，为公比的等比数列；(8分)

也即

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当a:=√2时，1是恒为0的常数列；当a≠√2时，,{ln是以2

为首项，-2为公比的等比数列，综上，(Ina,+2lna)与(In为常数列或等比数列.

(11分)

(3)当n=2时，T₂=a;ag=2a₂≥2√2,则a≥/2.若a₂>√2.由(2)可得{lna+2lna是以Inag+

2in2为首项，为公比的等比数列，则有2);(12分)

是以InIn22为首项，-2为公比的等比数列，

则有两式相减得

(13分)

由n≥2时，T,≥2√2,则In

由上式需要恒成立，对于n为奇数的情况，令n=2k+1,上式等价于

(15分)

考虑不等解得不等式恒成立，易知

不存在a:满足条件.故a>/2不成立，结合a;≥/2可得a=√2.将a=√2代入得T,=2-六.(17分)

M4百开一百

答案详解

一、单选题

1.D【解析】显然其方程可化为,长半轴a=3,半焦距c=9-3=√6.于是离心率

故选D.

2.B【解析】因为向量a=(1,1),b=(2,m),则向量b在向量a上的投影向量为：,故

有,解得m=1.故选B.

3.A【解析】由lx-31<1可得由可得,即,得

,解得x∈[1,3],于是A=(2,4),B=(1,3),A∩B=[2,3].故选A.

4.C【解析】显故选C.

5.D【解析】由题意可知圆的方程为(x-a)⁹+(y+2)²=a,其圆心为(a,-2),半径为|a|,故圆心到直线

的距离,而显然|a|≠0,于是·,解得a²=5,于是圆的面积

S=a³π=5π.故选D.

6.B【解析】显然4=a²+b≥2√ab,即a²b≤4,当且仅当a=√2,b=2时，等号成立，故a⁴+a³b+B=

(a²+b)²-a²b=16-a²b≥12.故选B.

7.D【解析】函数

故选D.

8.B【解析】注意到

,显然函数增函数，由可得,即xy=1.故选B

二、多选题

9.BD【解析】对于A,若6—4m>4m>0,解得,即时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，

则a²=6-4m,长轴长为2a=2√6-4n,故A错误；对于B,当m=1时，椭圆方程为(表示焦

点在x轴上的椭圆，故B正确；由A知，由可知方程表示焦点在y轴上的椭圆，此时c=6—4m

—4m=6-8m,所以2c=2√6-8m,由2√6-8m=6,解得,不符合,故舍去，若4m>

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6一4m>0,可得,椭圆方程为表示焦点在x轴上的椭圆.c=4m-6+4m=

8m-6,所以2c=2√8m—6,由2√8m-6=6,解得,不符,故舍去，故不存在焦距为6

的椭圆，故C错误；由a³+b²=6-4m+4m=6,(2a)²+(2b)²=4×6=24,故椭圆的短轴长与长轴长的平

方和为定值，故D正确.故选BD.

10.ABD【解析】对于A,由等比数列性质可知d²≠0,于是d≠0,故A正确；对于B,aia=aid,显然a≠

0,于是a=d,而α:=a₁+d≠d,故a=-d,于是a。=a:+(n-2)d=(n-3)d,故a=2023d,故B

正确；对于C,n=5时，0,故C错误；对于D,

·故D正确.故选ABD.

11.AC【解析】对于A,取平面BCD内一点O使得AO⊥平面BCD,由AB=AC=AD,AO⊥平面BCD可

得BO=CO=DO,故0为△BCD的外心，由BC⊥BD知O为CD中点，故由AOC平面ACD,AO⊥平

面BCD可得平面ACD上平面BCD,故A正确；对于B选项，由几何关系可知BD=2√3,AO=2√3,而

AB=AC=4,BC=2,故可得记点D到平面ABC

的距离为h,则由等体积法知VA-BD=Vp-Ac,故

2×2,解得,故B错误；对于C选项，注意到DE=2√3,