2025年兰州资源环境职业技术学院数学单招模拟试题及详细解析全集

限时：90分钟满分：122分

一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分）

2

1.若集合A=（x||x|>l,xER）,B={y\y=2x,x£R）f则（鼠4）。5=（）

A・{x|-iWxWl}B.{x|x20}

C.{x|0WxWl}D.0

解析：选C依题意得，CRA={X|-1«1},3={jb，20},因此（屋4）03=

2.已知命题p：mx£（O,1），sinx=T,则㈱〃为（）

A•Vx£（O,,sinx=^

B.Vx£（O,?,sinxW；

C.,sin

D.3xefor

解析：选B依题意得，命题㈱〃应为：Vx£（O,3sin

3.命题p：若。•力＞0，则〃与。的夹角为锐角；命题q：若函数人*）在（・00,0］及

（0,+8）上都是减函数,则加）在（・8,+8）上是减函数.下列说法中对的的是

（）

A.“〃且g”是真命题B."p或/是假命题

C.^p为假命题D.㈱q为假命题

解析：选B・・•当〃•力>0时，。与。的夬角为锐角或零度角，・•・命题,是假命题;

x《0,综上可知，"p或/是假命题.

命题g是假命题，例如人幻=

—x+2,x>0,

4.命题"Vx£[1,2],x2・忘0”为真命题的一种充足不必要条件是()

A.B.

C.心5D.

解析：选C命题"Vx£[L2],x2一为真命题的充要条件是.故其充足

不必要条件是集合[4,+8)的真子集.

5.函数八X)=1+log4与g(x)=27+1在同一直角坐标系下的图像大体是()

解析：选C函数/(x)=l+log2X的图像是把函数y=logM的图像向上平移一种单

位长度得到的，函数4r)的图像与x轴的交点坐标为0),选项B、C、D中的图像

均符合；函数以幻=，的图像是把函数

2-=@>-1的图像向右平移一种单位长

度得到的，函数g(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2),选项A、C符合规定.故对的

选项为C.

6.已知g(x)为三次函数八X)=/r、+4的导函数，则它们的图像也许是()

解析：选D由题意知g(x)=/'(x)=or2+2ax+c=o(x+l)2+c—%则g(x)的图

像有关直线工=-1对称，排除B、C;对选项A,由g(x)的图像知x=0是人幻的极小

值点，与共幻的图像不相符，因此只有D项的图像是也许的.

7.已知偶函数次x)在区间[0,+8)上单调递增，则满足人4不)勺G)的x的取值

范围是()

A・(2,+8)B.(・8,・i)u(2,十

°°)

C.[-2,-1)U(2,+8)D.(-1,2)

解析：选C二Ax)是偶函数，.\A-x)=/m),又

{42—x—2)0

'解

X十ZCU,

得一2Wxv—1或x>2.

8.若«>1,设函数=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logM+x-4的零点为

〃，则：的取值范围是()

A.(1,+0°)B.[1,+8)

C.(4,+8)D.©,+8)

解析：选B函数/(工)=炉+1-4的零点是函数的图像与函数y=4—x的图

像的交点A的横坐标，函数g(x)=logax+x—4的零点是函数y=log«x的图像与函数y

=4—x的图像的交点B的横坐标.由于指数函数y="与对数函数y=log«x互为反函

数，其图像有关直线y=x对称，直线y=4-x与直线y=x垂直，故直线y=4—x与直

线y=x的交点(2,2)即为圾段/18的中点，因此阪+〃=4,因此5+:=/胆+〃)•仁

=5(2+?+£)21，当且仅当机=〃=2时等号成立，此时只要"=也即可，

二、填空题(共6个小题，每题5分，共30分)

x-2W0,

12.已知点P(x.y)在不等式组"・WO,表达的平面区域上运动，则好x

x+2y-2NO

-J的最小值是________.

解析：在坐标平面内画出不等式组表达的平面区域及直线工\\

-j=0,平移该直线，当平移到通过该平面区域内的点(0,1)时，\h'

对应直线在x轴上的楹距到达最小，此时z=x-y获得最小值，/-1：——

且最小值是一1.n=:

答案：・1

13.函数於)满足＜0)=0,其导函数，(x)的图像如图，则於)\\

在［-2,1］上的最小值为.)1

解析：由函数共幻的导函数/'(幻的图像可知，函数人幻为二次|=1=

函数，且其图像的对称轴为1=-1,开口方向向上.设函数大幻=

"+加:+。(。＞0),

"0)=0,

・・・c=0,f'(x)=2ax+b9又/'(x)的图像过点(一1,0)与点(0,2),则有

f2aX(-l)+力=0,

"i:・a=l,b=2,

［2aX0+8=2,

2

：.j［x}=x+2xf则,Rx)在［-2口上的最小值为八一1)=一1.

答案：1

14.设府)是定义在R上的偶函数，对任意xGR,均有-2)=fix+2),且当

xE［-2,0］时，人幻=你・L若在区间(-2,6］内有关x的方程Hx)・log，x+2)=0(«＞1)

恰有3个不一样的实数根，则a的取值范围是.

解析：函数是偶函数，其图像有关y轴对称.根据人X

-2)=/(x+2),可得«r)=Ax+4),即函数人x)是周期为4的函

数.当［—2,0］时，共幻=你一1,在同一种坐标系中分别画

出函数人用住£［—2,6］)和函数了=10即(》+2)的图像，如图.若方

程次X)—k强(x+2)=0在区间(-2,6］内恰有3个不一样的实数根，则函数y=/W的图

像与函数y=logfl(x+2)的图像在区间(一2,6］内恰有三个不一的交点，再结合图像可

得实数。应满足不等式loga(6+2)>3且loga(24-2)<3,即logzavl且logq；,即如

<a<2.

答案：(赤，2)

三、解答题(共4个小题，每题13分，共52分)

15.已知函数人。=e^Cx2+ax-a),其中a是常数.

⑴当。=1时，求曲线y=/U)在点(1，/U))处的切线方程；

⑵求/U)在区间［0,+8)上的最小值.

解：(1)由人工尸瞋尸+公：一。)可得

f(x)=ex［x2+(«+2)x］.

当。=1时，/U)=e,f(l)=4e.

因此曲线y=/tr)在点(1,41))处的切线方程为y—e=4e(x—1),即y=4ex—3c.

(2)令(幻=二［«+(3+2)吊=0,

解得x=—(a+2)或x=0.

当一(a+2)W0,即。2—2时，在区间［0,+8)上，

f(x)>0,

因此人幻在［0,+8)上单调递增,

因此凡r)在区间［0,+8)上的最小值为八o)=一〃；

当一(a+2)>0,即〃<一2时，f(x),{x)随x的变化状况如下表:

X0(0,-(a+2))・3+2)(-(a+2),+8)

/(X)0-0+

fix)HO)人・3+2))

由上表可知函数人工)在区间［0,+8)上的最小值为

,.。+4

八一(a+2))=^T・

综上可知，当。2—2时，人加在［0,+8)上的最小值为一〃；

a+4

当。V一2时，八X)在［0,+8)上的最小值为y.

16.已知函数八工)二2。3・3而2+1,g(x)=・%+5,a£R.

(1)当。=1时，求函数Wx)的单调区间；

(2)当QWO时，若对于任意给定的［0,2］,在［0,2］上总存在两个不一样的M(i=

1,2),使得yu)=g(xo)成立，求。的取值范围.

解：(1)当。=1时，f(X)=6X2-6X=6X(X-1).

由，(幻>0,得x>l或xvO;由/'(x)vO,得Owl.

故函数人制的单调递增区间是(一8,0)和(1,4-oo)；

单调递成区间是(0,1).

(2)①当。=0时，"r)=l,g(x)=4，显然不满足题意；

②当ovO时，/'(x)=6ax2~6ax=6ax(x-1).

x变化时，/(X),，(X)的变化如下表:

X0(0,1)1(1,2)2

f'(x)0+0—

fix)1极大值1—al+4a

又由于当QVO时，亦)=一3+拉。2］上是增函数，对于任意XWQ2］,

「3«,31

g(x)W|j,-2+2j»

由题意可得一g+：vl一凡解得av—1.

综上，。的取值范围为(—8,—1).

17.已知函数4x)=sinx(QO),g(x)=ar(x20).

(1)若八X)4g(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(2)当。取(1)中最小值时，求证：g(x)■贝x)W*.

解：(D令Mx)=sinx—ax(x'O),则//(x)=cosx—a.若a2l,h'(x)=cosx—

a40,Mx)=sinx—ax(x20)单调递减，Mx)WM0)=0,则sinx《ax(x20)成立；

若0<〃vl,存在x()£(0,9，使得cos*o=a,当x£(0,x(>)时，h'(x)=cosx-

«>0,h(x)=sinx—ar(x€(0,x。))单调递增，A(x)>/»(0)=0,不合题意：

结合大幻与g(x)的图像可知aW0显然不合题意.

综上可知，。的取值范围是［1,4-00).

(2)证明：当。取(1)中的最小值1时，

g(x)~fix)=x-sinx.

设H(x)=x—sinx—R(X2°)，则"'(x)=l—cosx—fx2•令G(x)=l—cosx-与

x2,则G'(x)=sinx—xWO(xNO),因此G(x)=1—cos工一；炉在［0,+8)上单调递

减，此时G(x)=l-cosx-J/G(0)=0,即(x)=l—8§》一白&0,因此〃(幻=

x-sinx-*(Q0)单调递减，因此H(x)=x-sinx-|x3^H(0)=0,即x-sinx-1

展0(工20),

即x-sinxWjrVx》。).

0

因此，当。取(1)中的最小值时，g(x)—人工)《1.

1+x

18.已知函数Ax)=--------Inx.

a(l-x)

⑴设。=1,讨论段)的单调性；

(2)若对任意x£(0,1),fix)<-2,求实数a的取值范围.

1+x

解：(1)由于。=1,因此共幻=匚Qlnx,则函数人制的定义域为(0,l)U(l,+8).

1—x2

,2…lnx,1i_+i_x____2_1_n_x_+___x_

F(X)=(1-X)2-H(1-X)X=―(1-x)2一•

1-X2—(x—I)2

设g(x)=21nx+-,则/(x)=-2.

•VwV

由于x>0,/(x)W0,国比g(x)在(0,+8)上是减函数，又g(l)=0,于是当

x£(0,l)时