（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题05 解三角形范围与最值问题（解析版）

专题05解三角形范围与最值问题【考点预测】1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．【典型例题】例1．在中，角所对的边分别为，且的面积.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，即，当且仅当时，等号成立，所以.故选：D例2．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】在中，，所以，又，整理得：，又，得到，因为角A、B、C为锐角，故、、均为正数，故整理得，当且仅当时等号成立，此时，当取最小值时，取最大值，取最小值，故的最大值为，即当时，的最大值为．故选：C．例3．在中，若，，则的周长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，两边同乘得，两边同加得，即，又，则，设角对应的边分别为，由正弦定理得其中，不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为.故选：A.例4．已知锐角中，，，则的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得即，所以，即，又是锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选：D.例5．在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，整理可得：，由余弦定理可得：，由为三角形内角，即，可得：.故选：C．例6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，故三角形外接圆直径为，故，因为三角形为锐角三角形，故，故，故，故，故，故选：D例7．（多选）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（

）A．B．C．若，则周长的最大值为D．若，则面积的最大值为【答案】ACD【解析】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正确；，，，即，为等边三角形，，B错误；，，在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），解得：，周长的最大值为，C正确；设，则，，则当时，取得最大值，D正确.故选：ACD.例8．（多选）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（

）A． B．向量，夹角的最小值为C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为【答案】AC【解析】，，故A对；，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；，故D错.故选：AC例9．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，所以，又因为函数在内单调递增，所以，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，则，因为，所以，则，因为存在最大值，则，解得．故答案为：．例10．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________【答案】【解析】由余弦定理，，∵，∴.由余弦定理及基本不等式，，∴，当且仅当时取等号，∴当且仅当时，的面积的最大值为.故答案为：.例11．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，的面积为，(1)求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）在中，D为中点，则三点共线，设,故，又，故，解得，即.（2）由（1）知，所以，当且仅当时取等号，又，则,即，故，即的最小值为，当且仅当时取等号.例12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．【解析】（1）因为，所以，所以，则；（2）由，得，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，，，令，则，则，因为，所以，所以的最小值为．例13．已知向量，函数.(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.【解析】（1）由题知，，所以当，即时，最大，且最大值为；（2）由(1)知，，则，解得或，所以中，，又，则，整理得，则，当且仅当时，等号成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范围为.例14．在锐角中，分别是角所对的边，，且.(1)求；(2)若周长的范围【解析】（1）由得：，由正弦定理知：，又，，，又，，，，，，则，，解得：.（2）由正弦定理得：，，，；为锐角三角形，，解得：，，，，即周长的取值范围为.【过关测试】一、单选题1．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，当时，取最小值，则，所以，又为锐角，故，因为，所以，所以，得，所以．故选：D2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（

）A．16 B．C． D．【答案】B【解析】因为，由正弦定理得，所以，，因为，所以.因为是边BC的中点，所以，.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，即面积最大为．故选：B3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得：由余弦定理得：，即当且仅当时，即，，时取等号，,则，所以面积的最大值.故选：B4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若且，则的周长的最大值为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【解析】由已知及正弦定理得，∴，所以，因为，所以，即，因为，所以，从而，由余弦定理得，即，又，∴，即，∴，当且仅当时等号成立，从而，∴的周长的最大值为15.故选：A.5．已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由正弦定理得：∵，∴，∵，∴，为直角三角形且外接圆半径为，∴，∴，设内切圆半径为，则．其中，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时等号成立，故选：A6．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，，所以，，又因为函数在内单调递增，所以，，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，，因为，则，因为存在最大值，则，解得.故选：C.7．已知在中，，则的大小随三角形形状而变化时（

）A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，也无最小值【答案】A【解析】由正弦定理可得，所以，又，，，，所以，又，所以，即有最大值，无最小值.故选：A.8．在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故当，即时，取得最大值故选：D二、多选题9．在中，记角所对的边分别为，若，则（

）A．B．C．内角的最大值为D．面积的最小值为【答案】BC【解析】，故A选项错误；因为，所以，故B选项正确；因为，所以，所以，故C选项正确；因为，所以，故D选项错误.故选：BC.10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（

）A．若，则有两解B．若，则无解C．若为锐角三角形，且，则D．若，则的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．对于C，由得，则，因为，所以，C正确．对于D．因为，所以，又因为，所以，则，由，得，所以当，即时，取得最大值，D正确．故选：ACD11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（

）A． B． C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【解析】设边上的高为，则，，，即，A正确；由余弦定理得：，又，，，B正确；，，，，；，，，，C错误，D正确.故选：ABD.12．已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（

）A．周长的最大值为 B．周长的最小值为C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1【答案】BCD【解析】由题知，设斜边为，则，．先研究面积：，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值是1．C、D选项都是错误的；再研究周长：，，，，，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，周长的最大值为，故B选项错误.综上，选BCD．故选：BCD三、填空题13．在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．【答案】【解析】设，则，因为为的中点，，所以，由三角形三边关系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为，所以,所以，解得，则，，令，则，，，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，因为，所以．因为在上单调递减，在单调递增，所以当取得最小值时，取得最大值，此时，则，所以的最大值为.故答案为：.14．平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是________．【答案】【解析】如图所示，因为，所以，当点D与点C重合时，，由正弦定理可得，而，所以，当点D与点A重合时，，由正弦定理可得，所以因为ABCD平面四边形，所以，故答案为：15．已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，当且仅当时取等号，从而，而，则，所以周长的取值范围为.故答案为：四、解答题16．已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，求的取值范围；(3)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.【解析】（1）已知，由正弦定理，得，又，所以，即，可得或，因为，，所以，则，即.（2）由（1）可知为直角三角形，若，则，所以，即，则，在中，，，，所以，令，又因为，所以，所以，令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.（3）的外接圆的半径，设，则，，所以，而，，令，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.17．在中，角，，的对边分别是，，，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.【解析】（1）由可得：，由余弦定理知，，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因为，，所以，当且仅当时取等号，因此的最小值为.18．已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.(1)求角B；(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.【解析】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，即.（2）因为，所以为等边三角形，即，设，则，所以在中，由余弦定理得，整理得，设，所以，由于，故，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以AD的最小值为．19．在中，，，分别是角所对的边，．(1)求；(2)若，，求的最小值．【解析】（1）由已知及正弦定理得，所以，又因为，所以，即；（2）因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是．20．如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.(1)求；(2)当点为中点时，求：的余弦值；(3)求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.【解析】（1），由余弦定理知：，.（2）设，分别为的中点，，，，又..（3）设，当即时，取最小值，，，，三点共线，，.21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．在①；②；③.这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．(1)求角B的大小；(2)若角B的内角平分线交AC于D，且，求的最小值．【解析】（1）若选条件①，由得：，，即，则，又，.若选条件②，由得：，，则，又，.若选条件③，，则，由正弦定理得