2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷培优卷（苏科版）解析版

八年级数学上学期期中模拟卷.培优卷【苏科版

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（24-25八年级上•河南焦作•期中）在-1.414,V5,n,3.6,2+6,3.212212221...（相邻两个1之间

依次增加一个2）,3.1415926这些数中，无理数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】解：-1.414,3.1415926,是有限小数，属于有理数；

3.6是循环小数，属于有理数：

无理数有遥，m2+K，3.212212221...（相邻两个1之间依次增加一个2）,共4个.

故选：C.

2.（25-26八年级上•陕西咸阳•阶段练习）在△力8C,乙1,乙B,乙C的对边分别是a,b,c,下列条件不能

判断△4BC是直角三角形的是（）

A.LA.Z.B.Z-C=3:4:5B.乙4+乙B=Z.C

C.a:b:c=3:4:5D.a2+b2=c2

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出该三角

形中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形的三边长满足较小的两边的长度的平方和等于最长边的长

的平方,那么这个二角形是直角二角形，据此可判断C、D.

【详解】解：A、••24482。=3:4:5,Z/1+ZS+ZC=180°,

•4=180°x篇=75°.

・•・△力8。不是直角三角形，符合题意;

B、..NA+=LC,乙4+匕3+乙C=180°,

•••zc+zC=180°,

••zC=90°,

.•.△4BC是直角三角形，不符合题意；

C、•.，a:b:c=3:4:5,

.,•可设a=3k,b=4k,c=5k(k>0)»

.,.a2+b2=(3k)2+(4/c)2=9/c2+16/=2Sk2=(5/c)2=c2,

・•・△48。是直角三角形，不符合题意；

D、'.-a2+b2=c2,

•・・△48C是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

3.如图，长方形48CD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点:B与点。重合，折痕为EF,贝lj

的面积为()

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

【答案】A

【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平

方.

根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角△48E中，利用勾股定理就可以求解.

【详解】解：将此长方形折叠，使点B与点。重合，

:.BE=ED.

,：AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

:.BE=9—AE,

根据勾股定理可知4炉+AE2=

解得4E=4.

二△4BE的面积为3x4+2=6cm2.

故选:A.

4.(2025•海南•中考真题)已知三角形三条边的长分别为3、5、%,则%的值可能是()

A.2B.5C.8D.11

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于•第三边，任意两边之差小r•第三边.

根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出X的取值范围.

【详解】解：••・三角形的三边长分别为3,X,5,

.,•5—3<x<54-3,

即2<%<8,

故选B.

5.（25-26八年级上•福建福州•阶段练习）如图，在△四。中，AB=AC.以4氏AC为边在△45C的外侧

作两个等边三角形和△4CD,且NEOC=40。，则"IBC的度数为（）

A.75°B.80°C.70°D.85°

【答案】B

【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性

质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键.

由题意易得z&W=，4EB=4C4）=4/mC=60°,48=4C=HE=4D,^ABC=Z.ACB,则有

~1ED=^ADE=20°,然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解.

【详解】解：•••△4BE、△4CD都是等边三角形，AB=AC,

：/EAB=Z.AEB=Z.CAD=Z.ADC=60。,48=AC=AE=AD,Z-ABC=Z.ACB,

MEDC=40°

：/AED=/.ADE=乙ADC-乙EDC=20°,

.•.血0=180°-2/.ADE=140°,

：,LBAC=140°-LEAB-Z.CAD=20°,

180°-^BAC

.,./.ABC==80°；

2

故选:B.

6.（25-26八年级上•河北邢台•阶段练习）如图，AABgADEF,B,E,C,b四点在同一直线上，若

8尸=8,£6=3,则8E的长是（）

AD

A.1.5B.2.5C.3D.5

【答案】B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题

的美键.

利用全等三角形的性质可得=E凡进而得到=再利用线段的和差关系计算即可.

【详解】解：•：AABg自DEF,

：.BC=EF,

;.BC-EC=EF-EC,即BE=CF,

•••BF=8,EC=3,BE+CE+CF=BF,

：.2BE+3=8,解得：BE=2.5.

故选:B.

7.（25-26八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，LBOC=60°,点4是8。延长线上的一点，04=12cm,

动点P从点力出发沿4B以3cm/s的速度移动，动点。从点O出发沿OC以lcm/s的速度移动，如果点P、Q

同时出发，用心）表示移动的时间，当，等于多少时，^POQ是等腰三角形？（）

A.3B.3或6C.6D.6或12

【答案】B

【分析】小题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的

关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复.

根据aPOQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点。在4。上，②点?在8。上，然后根据等腰三角形

的性质列出方程求解即可.

【详解】解：①如图，当点尸在40上，PO=OQ时，APOQ是等腰三角形，

c

2

巳//60。\

AOB

-PO=AO-AP=12-3t,OQ=t,

当P0=00时，12-3t=t,解得t=3；

②如图，当P在80上时，由480c=60。，APOQ是等腰三角形，得

△，口。（?是等边三角形，则「。二（2。，

.•.当PO=Q。时，3t-12=t,解得t=6：

综上可得：当t=3或6秒时，aPOQ是等腰三角形，

故选B.

8.（24-25八年级下•山东济南•阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图〃的示意图，它是由四个全等

的直角三角形围成的.若力C=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得

到图2所示的"数学风车〃，则这个风车的外围周长是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.先根据勾股定理求出8。的长度,

然后利用外闱周长=4x（BD+AD）即可求解.

【详解】解：由题意可知：CA=AD=6,

:.CD=2AC=12,

-Z.BCD=90°,8c=5,

:.BD=y/CD2+BC2=V1224-52=13,

•••风车的外围周长是4x(BD+AD)=4x(13+6)=76；

故选：D.

9.（24-25八年级上•安徽六安•期末）如图，在△力8C中，G是边BC上任意一点，D、E、产分别是力G、

BD、CE的中点，S^ABC=48,则的值为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理

为等底等高的三角形的面积相等.根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.

【详解】解：连接C。,如图所示：

•••点。是4G的中点,

••,SMBD=^A/ICD=£△/"，

+S&ACD=5s△ABC=24,

:，S"CD—5s△A/?。=24,

•.•点E是BD的中点，

•••SATOE=^△£?CD=12，

•.•点户是CE的中点，

•••S4DEF=^△CDE=6・

故选:A.

10.(25-26八年级上•黑龙江佳木斯•阶段练习)如图，△力BC中，LACB=90%AC=BC,AElCE^E,

BDICE^D,AE=3,BD=5,则DE的长为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识.

由力E1CE于E,BD1CETD,得ZL4EC==90°,由ZCAE+乙ACE=90。，4BCD+zACE=90°,得

乙CAE=^BCD,而AC=CB,即可根据"AAS〃证明△?1(?£•三△C8D,进一步即可得出结论.

【详解】解：•./£"!CE于E,8。_1。£＞于0,

.-.Z4EC=ZD=90°,

.'./.CAE+Z.ACE=900,

-Z.ACB=90°,

"BCD+LACE=90。，

：.LCAE=乙BCD,

在和ACBD中，

(Z.CAE=乙BCD

LAEC=ZD,

IAC=CB

•••△/(7£•三△CBO(AAS),

.,.CD=AE=3,CE=BD=5,

：.DE=CE-CD=5-3=2,

故选:B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.设m是遥的整数部分，孔是述的小数部分，m—n的值是.

【答案】4-V5

【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握求一个数的算术平方根，确定其整数部分与小数部分是

解题的关键，本题求出相，〃的值是解题的关键.

先估算数遍的大小，然后可求得第、〃的值，最后代入计算即可.

【详解】解：•••m是西的整数部分，九是伤的小数部分，且2〈、亏＜3,

••-771=2,n=y/s—2,

j.m—几=2—（V5—2）=4—V5«

故答案为：4—V5.

12.（24-25八年级下呐蒙古乌兰察布•期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变

形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边力8和的长分别为2.4m和1m,又测得点4与点。间的距离

为2.6m,则小红家的木门（填“已变形〃或“没有变形"）.

【答案】没有变形

【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解.

【详解】解：••・48和8C的长分别为2.4m和1m,又测得点A与点。间的距离为2.6m,

AB2+BC2=2.42+I2=6.76=2.62=AC2,

•••Z.ABC=90°,

则小红家的木门没有变形，

故答案为：没有变形.

13.（25-26八年级上・甘肃张掖•阶段练习）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为"完

美实数〃.若遥+m是“完美实数”，则m的值为.

【答案】一遍或1一遍

【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据“完美实数”的定义得出行+m=0或1，即可求出，〃的值.

【详解】解：若遍+m是“完美实数〃，

则、行+m=0或1,

解得m=—遥或m=1—炳,

故答案为：一伤或1一遍.

14.(25-26八年级上•陕西西安•阶段练习)如图，在直角三角形/8C中，乙4c8=90。，AB=15,

AC=12.D为AC边上一点,连接将△480沿80折叠，若点力恰好落在线段8C的延长线上的点E处,

连接。£则0E的长为.

【答案】K

【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理.先由

折叠的性质得到8E==15,AD再由勾股定理求出BC=9,从而得到CE=6,设力。=DE=x,

则DC=AC—力。=12—再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由折叠的性质可知，BE=AB=15,AD=DE,

•.•在△ABC中，Z.ACB=90°,AB=IS,AC=12,

：.BC=V/1F2-AC2=9,ZDCE=90°,

.,.CE=BE—BC=6,

设力。=OE=x,则。。=/1。-/19=12—%,

在RgECD中，CE2+CD2=DE2,

.•-62+(12—x)2=x2,

解得x=y,

.'.DE=热

故答案为:y.

15.已知：如图，在△48C中，AB=BC,^ABC=120°,8E_L4c于点D,且。E=。8,则△。£8是_三

角形.

cE

【答案】等边

【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到=再证明

△CDE三△AOB可得到CE=AB=BC,进而证明△CE8为等边三角形.

【详解】解：•••△4BC中，AB=BC,LABC=120°,BE14C于点

.-.CD=AD,Z.CBE=^Z-ABC=60°,

,；DE=DB,Z.CDE=Z.ABD,

△CDE=△ADB

：.CE=AB,

-AB=BC

：.CE=BC

"BE=60°,

.•.△CEB为等边三角形.

故答案为：等边

16.如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中心8两个格点，请在图中再寻找另一

个格点。，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有个.

A

III

【答案】8

【详解】如图,

红色的4个点可以作为点C,

48是底边时，黑色的4个点都可以作为点C,

所以，满足条件的点C的个数是4+4=8.

故答案为8.

【点睛】本题考杳了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意力8是腰长与底边

两种情况讨论求解.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25七年级下•山东滨州•阶段练习）（1）已知5Q+2的立方根是3,3a+b—l的算术平方

根是4,c是旧的整数部分，求3a-b+c的平方根.

（2）一个正数x的平方根分别是2a—5和2a+1,求正数x.

【答案】（1）±4；（2）9

【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键.

（1）根据立方根和算术平方根的性质求出。，〃的值，再估算出的大小，可得c的值，即可求解.

（2）根据平方根的性质可得2a—5十2a十1=0,求出口的值，即可.

【详解】解：（1）•••5a+2的立方根是3,

••.5a4-2=27,

解得Q=5,

又・；3Q+b-1的算术平方根是4,

.*.3a+b—1=16,

•:a—5,

解得：b=2,

•••c是g的整数部分，而3Vgv4,

AC=3,

••.3a—h+c=16,

.•.3Q-b+c的平方根是±4；

（2）•.•正数x的平方根分别是2a-5和2a+1,

••.2a-54-2a+1=0,

解得：a=l,

二正数x=（2a-5）2=（—3）2=9.

18.（6分）（24-25八年级下•云南昆明・期末）如图，点4B,C在边长为1的正方形组成的网格格点上，

解答下列问题：

A

⑴线段"的长为,线段4c的长为；

⑵连接8C,判断△/IBC的形状，并证明你的结论.

【答案】（i）VTU,V2；

（2）△ABC是直角三角形，证明见解析

【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理.

（1）根据勾股定理进行计算即可；

（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

【详解】（1）解：由图可知，AB-Vl2+32=V10,AC=Vl2+I2=V2,

故答案为：x/To»V2；

（2）解：△4BC是直角三角形，

证明：由（1）知,AS2=10,AC2=2,

-BC2=22+22=S,

­.AC2+BC2=AB2,

・•・△4BC是直角三角形.

19.（8分）（24-25八年级上•贵州贵阳•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美〃四边形，现有如图所示

的“垂美"四边形A8CD,对角线北，8。交于点0.

（1）若40=2,BO=3,CO=4,DO=5,请求出AB2,BC2,CD2,的值

⑵若48=6,CD=10,求叱+业的值.

⑶请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.

【答案】（）222

1482=13,BC=25;CD=41,AD=29

(2)136

⑶"垂美"四边形边的平方和相等

【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键.

(1)根据“垂美”四边形的定义可得4cl再根据勾股定理即可求解；

(2)根据"垂美"四边形的定义可得ACJ_8。，进而得至必。2+8。2=36,CO2+D02=100,tgffiFC2+AD2

=BO2+C02+。。2+4。2即可求解；

(3)由(1)(2)得至伊82+。。2=8。2+4。2,即可求解.

【详解】(1)解：•••四边形MCD是“垂美〃四边形，对角线AC,8D交于点0,

:.ACLBDt

vAO=2,BO=3,CO=4,DO=5,

AB2=AO2+B02=22+32=13,BC2=BO2+0C2=32+42=25,CD2=CO2+D02=42+52

222

=41,DA=叔+D0?.=2+5=29,

432=13,8c2=25,CD2=41,/ID2=29；

(2)•.・四边形ABC。是“垂美〃四边形，对角线47,80交于点。，

AC1BD,

48=6,CD=10,

力。2+B02=AB2=62=36,CO2+D02=CD2=102=100,

BC2+AD2=BO2+C02+D02+A02=36+100=136：

(3)由(1)(2)可得：AB2+CD2=BC2+/4D2,即"垂美"四边形对边的平方和相等.

20.(8分)(25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习)对于实数m我们规定：用符号［依］表示不大于G的最

大整数，称［G］为。的根整数，例如：［眄］=3,

(1)仿照以上方法计算：［VI司=_；［&U同=_.

(2)若写出所有满足题意的x的整数值一.

如果我们对。连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次”而［=3fg］=l,这

时候结果为1.

(3)对200连续求根整数，_次之后结果为L

(4)只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是

【答案】(1)4,45：(2)1,2,3；(3)3：(4)65535.

【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个

数的平方数的计算能力.

(1)先估算板和质芯的大小，再由新定义可得结果：

(2)根据定义可知1W我V2,即1WXV4,可得满足题意的讣勺整数值;

(3)根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1：

(4)最大的正整数是65535,根据操作过程进行解答即可.

【详解】解：(1)v4<V18<5,V2025=45,

•••[V18]=4,[V2025]=45；

故答案为：4,45

(2)vl2=l,22=4,且雨=1,

•••x=1,2,3；

故答案为：1,2,3：

(3)第次：[同3]=14,

第二次：[VT4]=3,

第三次：[g]=1,

・••对200连续求根整数，3次之后结果为1；

故答案为：3

(4)最大的正整数是65535,

理由是：：2562=65536,15?=225,162=256,42=16,32=9,

••.[<65535]=255,[V255]=15,[洞=3,[V3]=1,

..对65535只需进行4次操作后变为1.

■­•只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535.

21.(10分)(24-25八年级上•湖南衡阳•期中)如图，^BAD=LCAE=90°,AB=AD,AE=AC,

AFLCB,垂足为立

(1)求证；△/BC三△4OE；

(2)求"力C的度数；

⑶求证：LABF=^ADC,并宜接写出线段C。、BC、斯之间的数量关系.

【答案】(1)见解析

(2)45°

(3)见解析,CD=2BF+BC

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解

题的关键是作出辅助线，构造全等三角形.

(1)根据SAS证明△A8C三即可；

(2)根据土C4E=90。，AC=AE,求出乙E=45。，根据全等三角形性质得出48cA=々E=45。，根据

AFLBC,得出乙。凡4=90°,即可求出乙。4F=45°；

(3)延长8尸到G,使得rG=FB,连接力G,由△84C三△D4E得，C84=NED4,证明△CG4三△CD4

(AAS),得UKG=C。，根据CG=CZ7十Z?"十"G=CZ?+2/7",即可证明结论.

【详解】(1)证明：v^BAD=LCAE=90°,

：,Z.BAC+Z.CAD=90°t

乙CAD+Z.DAE=90°,

•••LBAC=Z-DAE,

在△BAC和△/)/!£•中，

(AB=AD

\^BAC=Z-DAE,

IAC=AE

•••△BAC^△D/1F(SAS)；

(2)解：vZ.CAE=90°,AC=AEt

ZE=45°,

由(1)知△B4Cwz\04E,

.**LBCA=LE=45°,

•：AF1CB,

•••LCFA=90°,

LVAC=45°；

(3)解：CD=2BF+BCx理由如下：

延长BF到G,使得FG=FB,连接4G,如图所示:

•••AhBG,

AB=AG,

/.ABF=NG,

•••△BAC^△DAE,

:.AB=AD,Z.CBA=/.EDA,

AG=AD,Z.ABF=Z.CDA,

:•乙G=Z.CDA,

vLGCA=ZDM=45°,

.•.在△CGA和△CZM中，

(/.GCA=N0G4

LG=Z-CDA,

AG=AD

CGA^△CZM(AAS),

：.CG=CD,

vCG=CB+BF+FG=CB+2BF,

:.CD=2BF+BC.

C

BP平分々48C交/C于点0,

(2)如图(2),若£为力。上一点，RAE=0C.求证：PELAO.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与

性质是解本题的关键.

(1)证明4P=NA0P,即可得到结论：

(2)过点。作。D184于点。，证明△P4E三△400(SAS),得到2/EP=乙400=90。，即可得PEJ.4。.

【详解】(1)证明：vzC=90°,

:.Z.CBO+Z.COB=90°,

-Z.BAP=90°,

.'.Z.PBA+ZLP=90°,

•••BP平分N力BC,

.,.Z.PBA=Z.CBO,

；/P=乙COD,

"COB=Z.AOP,

：.L?=Z.AOP,

“P=AO.

(2)证明：过点。作。D18A于点。，

vzC=90°,

.♦.0C18C,

•••8P平分乙ABC,

：.OC=OD,

-AE=OC,

"E=ODt

•••OD184

:zAOD+Z.OAD=90°,

-Z.BAP=90°,

.-.Z.PAE+LOAD=90°,

,••/.PAE=Z.AOD,

'：AP=AO,AE=OD,

△P/1E=A/1OD(SAS),

“AEP=乙ADO=90°,

.-.PEIAO.

23.(12分)如图，在△ABC中,4C=8C,在△然，外部取一点D,连接A。、BD、CD,且CD平分

△ADB,

图1图2

(1)如图1,求证：乙BCD=iBAD；

(2)如图2,当乙4。8=60。时-，将△力。8沿AB翻折，点。落在点£处，连接CE,若CE工BE,试探究线段4?

与线段C。的数量关系，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)CD=3AE,理由见解析

(分析］(1)过C作CE1AD于E,CF1BD于F,CH1AB于H,设CD与AB相交于点M,可证Rt△ACE三Rt△BCF

(HL),得到乙4CE=N/TB,乙CAE=UBF,CE=CF,即得44cB=匕反”，再证明Rt△CED三Rt△CTO

(HL),得到NECD=乙FCD=由等腰三角形的性质可得4BCH=^ACB,即得到zBC"="CD,

进而由余角性质和角平分线的定义可得乙1=乙2=43,再根据三角形内角和定理即可求证；

(2)先证明△ACS是等边三角形，得至但B=BC=/C,LCAB=LABC=60°,在CD上截取C"=力。，连

接8凡作NM4D=60。交CD于M,连接EM、BM,设CD与力B相交于点G,可证△4DM是等边三角形，得到

AD=DM=AM=AE,可证明△4MB三△AEC(SAS),得到N3=N4,BM=CE,进而证明

△M8C三△ECB(SAS),得到4cM8=ZBEC=90。，再证明△ABD三△CB"SAS)，得到RO=BF,即得

DM=FM,即得到4E=DM=FM=CF,即可求证.

【详解】(1)证明：如图，过C作CE14)于E,CF工BD于F,CH14B于H,设CZ)与力B相交于点M,

A

D

图1

:.LCEA=Z.CFB=90°,

-CD^Z.ADB,

.•.CE=CF,

在RtZX/lCE与RtZXBCF中，

(AC=BC

ICE=CF'

..Rt△ACE^Rt△ZJCF(HL)»

...4ACE=^FCB,乙CAE=^CBF,CE=CF,

.,.Z.ACB=Z.ECF,

在Rt△CED和Rt△CFD中，

(CD=CD

\CF=CE'

.•.Rt△CED=Rt△CFD(HL),

••ZECD=Z.FCD=!乙ECF,

-AC=BC,CHLAB,

：/3CH=\z-ACB,

:ZBCH=Z.FCD,

“BCH+41=90°,乙FCD+42=90°,

••.z.1=z.2,

•••CD平分乙/DB,

.,.z.2=z3,

.*.zl=z2=z3,

在aCMB和△4M0中，

Z.CMB=N/MO,Z1=Z3,

:/BCM=£MAD,

即/BCD=乙BAD：

(2)解：CD=3AE,理由如下：

MACB=60°,AC=BC,

••.△4C8是等边三角形，

.-.AB=BC=AC,Z,CAB=Z.ABC=60°,

,：CE1BE,

••/BEC=90°,

在CD上截取CT=力。，连接8用作/MAD=60。交CD于M,连接EM、8M,设CD与A8相交于点G,

图2

=乙MAD,

：.LCAM=Z.DAB,

由折叠得，乙DAB=^EAB,AD=AE,

:.Z-CAM=Z.EAB,

.*.zl=z2,

由(1)可知，LBCD=LBAD,

,:乙BGC=Z.AGD,

•••乙40G=乙ABC=60°,

是等边三角形，

.-.AD=DM=AM,

：.AD=DM=AM=AEt

•MB=AC,

△AMB^△/EC(SAS),

••.Z.3=Z.4,BM=CE,

SBC=Z.ACB=60°,

:.乙MBC=乙ECM,

•：BC=CB,

AMBC三△ECB(SAS),

.'.Z.CMB=Z.BEC=90°,

即BM1DF,

在△48。和中，

(AD=CF

\^BAD=乙BCF,

IAB=CB

△/15D=ACFF(SAS),

=DF,

•:BM工DF,

:.DM=FM,

•：CF=AD,AD=DM=AM=AE,

'.AE=DM=FM=CF,

:.CD=3AE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性

质等，正确作出辅助线是解题的关键.

24.（12分）（24-25七年级下•上海•阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这

种典型的基本图形.

（1）如图①，在△4BC中，ABAC=90°,AB=AC,直线/经过点儿BD1直线/,CE1直线/,垂足分别

为D、E.可证得：OE、BD、CE的数量关系为二

（2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件

改为：在△力8c中，A