2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末必刷常考题之正态分布

20252026学年上学期高二数学北师大)期末必刷常考题之正态

分布

一.选择题(共7小题)

I.下列说法错误的是()

A.在做回归分析时，可以用决定系数内刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越

好

B.可以用相关系数「刻画两个变量的相关程度强弱，/•值越大两个变量的相关程度越强

C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高

D.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,。2),。越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)

的概率越小

2.设随机变量X〜N(2,o2),P(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=()

A.0.65B.0.7C.0.35D.0.25

3.某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X〜N(10,。2),则下列结论中错误的是()

A.P(XV10)=0.5

B.P(XV9.8)=P(X>10.2)

C.P(9<X<9.5)=P(10,5<X<ll)

D.。越小，P(10-。VXV10+。)越小

4.已知随机变量X〜N(2,。2)(。>0),若夕(XV0)=0.3,则P(0<XV4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

5.已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位：g)分别服从正态分布N(n甲，4和N(〃乙，其正态

曲线如图所示，则()

A.甲乙，。甲乙B.口，甲乙，。甲V。乙

C.甲VR乙,。甲〉。乙D.甲<“乙,。甲<。乙

6.已知随机变量X〜N(l,。2),且尸(XW-3)=P(X23a-1),则(％-今,展开式中『的系数为()

A.-8B.-4C.8D.24

、11

7.已知随机变量弋〜N（2,2/，且P(^a-3b)=P(少A),则当bVx，时,+的最小

a-2xx-b

值为（）

1+V23+2企79

A.-------B.---------C.一D.

4444

二,多选题（共2小题）

（多选）8.影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高X（单位:

cm）近似地服从正态分布N（50,。2）,若P（X<45）=0.12,则（）

A.P（X>55）<0.12B.P（X>55）=0.12

C.P（X245）=0.88D.P（X>45）>0.88

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.若随机变量Xy（6,P）,E（X）=4.8,则p=0.8

1

B.设随机变量f服从正态分布N（0,I）,若=〃，则P（—lVfVO）：*—p

C.某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8,设击中目标的次数为X,则在9次射击中，当且仅

当X=8时概率最大

D.对于随机事件A与仇若P（万）=0.3,P（B\A）=0.7,则事件A与4独立

三,填空题（共4小题）

10.已知随机变量f〜N（3,o2）（o>0）,若尸（彳21）=0.9,则尸（3<tW5）=.

11.已知随机变量?服从正态分布N（3,a2）,且P]0U?V3）=04则尸（3U?V6）=.

12.若随机变量X〜N（l,。2）,且P（XV0.9）=0.3,则P（|X-l|V0.1）=.

13.若随机变量X〜N（3,。2）,且p（1WXW3）=a,P（X25）=b,则四小空的最小值

2ab

为.

四.解答题（共2小题）

14.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70,100）.已知成绩在

90分以上的学生有12人.

（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？

（2）若成绩在80分以上（含80分）为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

附正态分布3。概率表：

P（p-o<X<p+o）-0.6827,尸（口-2。<X<p+2o）-0.9545,P（口-3。VXWR+3。）=0.9973

15.在一条生产铜棒的生产线上,生产的成品铜棒的直径为X（单位：cm,以下同），且X7V（20,0.0001）.

(1)分别写出E(X),D(X)的值；

(2)若生产这样的成品铜棒10000根,试估计直径在［19.97,20.03］内的铜棒根数;

(3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在［19.98,20.03］内的概率.

参考数据：若XT(p,o2),则尸(口・。)凫0.6827,P(p・2。WXWp+2。)比0.9545,

P(H-3。WXWu+3o)弋0.9973.

20252026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之正态

分布

参考答案与试题解析

一,选择题（共7小题）

题号1234567

答案BCDCCAB

二.多选题（共2小题）

题号89

答案ACABD

一.选择题（共7小题）

1.下列说法错误的是（）

A.在做回归分析时，可以用决定系数内刻画模型的回归效果，若R2越大，则说明模型拟合的效果越

好

B.可以用相关系数厂刻画两个变量的相关程度强弱，,•值越大两个变量的相关程度越强

C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高

D.某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。2）,。越大，该物理量在一次测量中在（9.8,10.2）

的概率越小

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据决定系数的性质，相关系数的性质，正态分布的性质即可求解.

【解答】解：选项A,决定系数N越接近1,模型对数据的拟合效果越好，故A正确；

选项刻画两个变量相关程度强弱的是相关系数的绝对值|力而非「本身的数值大小，故B错误；

选项C，残差图中，残差点的水平带状区域越窄，说明残差波动小，I口I归方程的预报精确度越高，故C

正确；

选项。，正态分布N（10,o2）中，。越大，曲线越“矮胖”，数据越分散，在区间（9.8,10.2）内的

概率越小，故。正确.

故选：B.

【点评】本题考查了决定系数的性质，相关系数的性质，正态分布的性质，属于基础题.

2.设随机变量X〜N(2,o2),p(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=()

A.0.65B.0.7C.0.35D.0.25

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；分析法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

【解答】解：•・•随机变量X〜N(2,。2),p(0<X<4)=0.3,

:・P(0<X<2)=0.15,P(X<2)=0.5,

:.P(X<0)=P(X<2)-P(0<X<2)=0.5-0.15=0.35.

故选：C.

【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于

基础题.

3.某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X〜N(10,。2),则下列结论中错误的是()

A.P(XV10)=0.5

B.P(XV9.8)=P(X>10.2)

C.P(9<X<9.5)=P(10.5<X<ll)

D.。越小，P(10-。VXV10+。)越小

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】利用正态分布曲线的对称性可判断A/3c选项；利用/>(艮。VXV-。)为定值可判断。选

项.

【解答】解：由X〜N(10,。2),可得对称轴X=10,

故P(X<10)=0.5,故4正确；

P(XV9.8)=P(X<10-0.2)=P(X>10+0.2)=P(X>10.2),故8正确；

P(10.5<X<ll)=P(10+0.5<X<10+1),P(9VXV9.5)=P(10-l<X<10-0.5),故P(9<X

<9.5)=P(1O.5<X<11),故C正确;

而P(10・。<x<10+o)=尸(|!・。<X<n+o)为定值：。错误.

故选：

【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

4.已知随机变量X〜N(2,o2)(o>0),若P(XVO)=0.3,则P(0VXV4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质即可求解.

【解答】解：已知随机变量X〜N(2,。2),其图像关于X=2对称，

因为0和4关于x=2对称，所以P(XV())=P(X>4)=0.3,

根据概率总和为1,可得：P(0<X<4)=\-P(X<0)-P(X>4)=1-0.3-03=0.4.

故选：C.

【点评】本题考查了正态分布的性质，属于基础题.

5.已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位：g)分别服从正态分布N(|4甲，02p和N(〃乙，其正态

曲线如图所示，则()

人.四甲>|1乙,。甲乙B.y.甲乙,。甲V。乙

C.甲V|1乙,。甲乙D.甲V|1乙,。甲V。乙

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据正态分布曲线相关知识可解.

【解答】解：根据题意，结合图像可得，甲曲线的对称轴小于乙曲线的对称轴，即四甲VR乙,

又图象越矮胖,则。就越大，则。甲>。乙.

故选：C.

【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题.

6.已知随机变量X〜N（l,。2）,且尸（XW-3）=尸（X23a-1）,则（工—今,展开式中f的系数为（)

A.-8B.-4C.8D.24

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式系数与二项式系数的和.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；二项式定理；运算求解•.

【答案】A

【分析】利用正态分布的对称性求出“，再利用二项展开式的通项公式可求/的系数.

【解答】解：由正态分布的对称性，得-3+3〃-1=1X2,解得〃=2,

。一乡4的展开式的通项公式为：小|二。;・/”（_勺「=（-2）「•中/⑵，/•=（）,1,2,3,4,

令4-2「=2,可得厂=1,

故。一"展开式中）的系数为：（・2）i・Cj=—8.

故选：A.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题.

7.已知随机变量《〜N（2,。2），，且尸（宁。-3力）=P（?>/?）,则当时，十匕的最小

值为（）

1+V23+2企79

A.-------B.--------C.一D.-

4444

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】利用正态曲线关于直线x=2对称，得出"2〃=4,即〃-2x+2（X-/?）=4,再利用基本不等

式，即可求出结果.

【解答】解：因为随机变量彳〜N（2,。2）,且尸（?W〃・3b）=P（方万）,

”,a-3b+b

所以=2

即a-2/?=4,

所以a-Zr+2(x-b)=4,

因为b<rV?,所以/?Vx且a>2x,

则a-2x>0,x-b>0,

一一1111112(x-d)a-2x1

所以--+—-=+—)[(a-2x)+2(x-b)]=-(3++—r)>7(3+

a-2xx-b4ya-2xx-b八'''yj4va-2xx-b74'

2A/2)

,「，,2(x-b)a-2x……i

当且仅当==7工时取等号'

]+白；的最小值为主警

所以，

a-2xx-b4

故选：B.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题.

二,多选题(共2小题)

(多选)8.影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高X(单位:

cm)近似地服从正态分布N(50,。2),若P(X<45)=0.12,则()

A.P(X>55)<0.12B.P(X>55)=0.12

C.P(X245)=0.88D.P(X>45)>0.88

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专•题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解，

【解答】解：因为X服从正态分布N(50,。2),P(X<45)=0.12,

可得X关于X=50对称，

故P(X》45)=\-P(X<45)=0.88,P(X>55)=P(X<45)=0.12.

故选：AC.

【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

(多选)9.下列说法正确的是()

A.若随机变量(6,P),E(X)=4.8,则p=0.8

B.设随机变量f服从正态分布N(0,1),若尸(>1)=p,MP(-l<f<0)=1-p

C.某射击运动员每次射击击中目标的概率均为0.8,设击中目标的次数为X,则在9次射击中，当且仅

当X=8时概率最大

D.对于随机事件A与氏若P(月)=0.3,P(B|4)=0.7,则事件A与E独立

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；二

项分布的均值(数学期望)与方差.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据二项分布的性质，正态分布的性质，二项分布的性质，独立事件的概念，针对各个选项分

别求解即可.

【解答】解：对于A,若随机变量六由(6,P),E(X)=4.8,则6〃=4.8,则p=0.8,故A正确:

对于B，变量？服从正态分布N(0,1),则正态分布曲线的对称轴为；=0,

又尸(f>l)=p,贝UP(-1<仁0)=P(0<5<l)=0.5-P(5>l)=0.5-p,故B正确；

对于C,射击次数X〜8(9,0.8),则户(X=B=C$xO.8^x0.29-k,2=0,1,…，9,

、人/、日।fC^xO.8kx0.2g-k>C^1x0.8"-ix0.210~k

设P(X=L)最大，则HI］\L……，

匕/xO.8kx0.29-k>C^+1x0.8k+1x0.29-k

(0.810.2

所以I区一可在，4=0,9,解得A=7或8,

所以当X=7或8时，概率取最大，所以C选项错误；

对于。，因为P(耳)=0.3,P(B)A)=0.7,所以尸(B)=0.7,

所以P(BH)祟=P(6),所以P(AB)=P(A)P：B),

所以事件A与8独立，所以。选项正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查二项分布的性质，正态分布的性质，二项分布的性质，独立事件的概念，属中档题.

三,填空题(共4小题)

10.已知随机变量f〜N(3,o2)(o>0),若P921)=0.9,则尸(3WWW5)=0.4.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】0.4.

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解.

【解答】解：因为随机变量E〜N(3,o2)(o>0),且八少1)=09

所以P(3WEW5)=P(1W£W3)=P(闭)-0.5=0.4.

故答案为：0.4.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

II.已知随机变量£服从正态分布N(3,。2),且。(ovf<3)=0.4,则P(3V?V6)=0.4.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】0.4.

【分析】由正态分布的对称性即可求得.

【解答】解：因为随机变量彳服从正态分布N(3,。2),且尸(0V《V3)=0.4,

所以P(3<?<6)=P(0<?<3)=0.4.

故答案为:0.4.

【点评】本题考查正态分布的性质应用，属于基础题.

12.若随机变量X〜N(l,o2),且P(XV0.9)=0.3,则P(|X-l|V0.1)=0.4

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】0.4.

【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.

【解答】解：由|X-"V0.1可得-0.1VX-即0.9VXV1.1,

根据题意可知,P(IX-1|<0.1)=P(0.9<X<l.l)=\-2P(X<0.9)=1-2X03=0.4.

故答案为：0.4.

【点评】本题考查了正态密度曲线的对称性，属于基础题.

13.若随机变量X〜N(3,。2),且P(lWXW3)=a,P(X25)=b,则汉号的最小值为7+4百.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想：综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解.

【答案】7+4四.

【分析】由正态分布得到再利用基本不等式即可求解结论.

【解答】由正态分布可知，P(3WXW5)=P(1WXW3)=a,

所以且〃>0,b>0,

3a+4b1

所以=-x

2ab2

=(。而X4+9=7+外於7+2降平=7+4行当且仅当r二部寸等号成立.

故答案为：7+475.

【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，不等式的相关知识，属于中档题.

四.解答题(共2小题)

14.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100).已知成绩在

90分以上的学生有12人.

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？

(2)若成绩在8()分以上(含8()分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

附正态分布3。概率表：

P(p-o<XWu+。)-0.6827,P(p-2oVXWu+2。)弋0.9545,P(口-3。<XWR+3。)=0.9973

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】(1)527人；⑵84人.

【分析】(1)利用正态分布的性质得到成绩在90分以上(含9()分)的概率，进而求得总人数；

(2)利用正态分布的性质得到成绩在80分以上(含8()分)的概率，进而结合(1)中所得总人数求得.

【解答】解：(1)设参赛学生的成绩为X,由题可得X〜N(70,100),

所以p=70,o=10,

则P(X290)=P(XW50)=1[1-P(50VXV90)]

7X(1-0.9545)

=0.02275,

12+0.02275=527(人)，

因此，此次参赛学生的总数约为527人.

(2)由P(X280)=P(XW60)=|[1-P(60<X<80)]

1

《打(1-0.6827)

=0.15865,

527X0.15865^84(人).

因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人.

【点评】本题主要考查正态密度曲线的对称性，属于基础题.

15.在一条生产铜棒的生产线上,生产的成品铜棒的直径为X(单位：cm,以下同)，且X用(20,0.0001).

(1)分别写出E(X),D(X)的值；

(2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在[19.97,20.03]内的铜棒根数；

(3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在[19.98,20.03]内的概率.

参考数据：若X4V(|_1,02),则P(四-。WXWn+。)20.6827,P(p-2。WXWp+2。)-0.9545,

P(H・3。WXW|i+3。)比0.9973.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】(1)E(X)=20,D(X)=0.0001；

(2)9973；

(3)0.9759.

【分析】(1)由正态分布概念可确定E(X),D(X)；

(2)注意到[19.97,20.03]<=>[2-03,2+0.03],由题利用P(p-3。WXWp+3。)-0.9973可得答案;

(3)由P(u-2。WXWR+2。)%0.9545,P(口-3。WXWp+3。)勺0.9973结合题意可得答案.

【解答】解：(1)根据题意可知，X田(20,0.0001)=X〜(20,0.012),

则石(X)=20,D(X)=0.0001；

(2)[19.97,20.03]<=>[2-03,2+0.03],

因尸(厂3。WXWu+3。)勺0.9973,则直径在[19.97,20.03]内概率约为0.9973,

则直径在[19.97,20.03]内的铜棒根数为10000X0.9973=9973；

(3)[19.98,20.03]<=>[20-0.02,20+0.03],

因。(口-2。WXWp+2。)^0.9545,尸(卜-3。WXWp+3。)^0.9973,

则PQ9.98SX<2)=-2a<X</z+2a)«0.47725,

P(12<X<20.03)=1P(^-3(T<X<^+3(T)«0.49865,

贝|JP(19.98WXW20.03)0.47725+0.49865=0.9759.

【点评】本题考查了正态分布的性质，属于基础题.

考点卡片

1.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：—>y/^b(“20,b20),变形为abW(―)2或者。+622项.

22

【解题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式x+i的

最小值，可以利用均值不等式“+2从而得出最小值为2,并且在x=l时取到最小值.需要注意

的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

【命题方向】

均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等.例如，求解一个代数

式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大.这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求

解，并能正确代入和计算.

已知正数a,b满足a+b=1,则&i+1+7b+1的最大值是.

解：因为正数。，〃满足6=1,

所以a+\+b+\=3,

则疝TT+VFT1<2Ja+1产1=瓜

当且仅当。=b=/寸取等号.

故答案为：石.

2.相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【知识点的认识】

I.相互独立事件：事件4(或8)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样两个事件叫做

相互独立事件.

2.相互独立事件同时发生的概率公式：

将事件A和事件6同时发生的事件即为A”，若两个相互独立事件A、3同时发生，则事件A・3发生

的概率为:

P(A・8)=P(A)・P(8)

推广：一般地，如果事件4,小，…，4相互独立，那么这“个事件同时发生的概率等于每个事件发生

的概率之积，即：

P(4・A2…A“)=P(A\>P(Az)…P(A〃)

3.区分

互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：

(I)互斥事件：两个事件不可能同时发生；

(2)相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

3.二项分布的均值(数学期望)与方差

【知识点的认识】

二项分布：

一般地，在〃次独立重复的试验中，用X表示事件4发生的次数，设每次试验中事件4发生的概率为〃,

则

P[X=k)=C^pk(I-p)nk,20,1,2,•••/?,此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜8(小p),

并记

而(1-/?)nf=b(亿〃，「)

-均值(数学期望)：F(X)=nxp,其中〃为试验次数，〃为每次试验成功的概率.

-方差：D(X)=nxpx(l-p).

【解题方法点拨】

■使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差.

【命题方向】

-重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题.

4.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【知识点的认识】

1.正态曲线及性质

（I）正态曲线的定义

1T

函数仰，。（x）=e24,xE8,+8）,其中实数4和。（。:>0）为参数，我们称0",O

（工）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

（2）正态曲线的解析式

①指数的自变量是x定义域是R,即犬£（-8,+8）.

②解析式中含有两个常数：n和e,这是两个无理数.

③解析式中含有两个参数：〃和乙其中4可取任意实数，。>0这是正态分布的两个特征数.

④解析式前面有一个系数为高，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幕指数为-与驯

2.正态分布

（I）正态分布的定义及表示

如果对于任何实数。，b（aVb）,随机变量X满足尸（aVX&b）=。仰,a（x）dx,则称X的分布为

正态分布，记作N（小。2）

（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P（H-。VXWR+O）=0.6826；

②P（厂2。VXWp+2o）=0.9544：

③P（厂3。VXWR+3。）=0.9974.

3.正态曲线的性质

1欠

正态曲线（pH，“（X）=,而J2b2，x£R有以下性质：

（I）曲线位于X轴上方，与工轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线对称：

（3）曲线在工=〃处达到峰值焉?：

（4）曲线与上轴围成的图形的面积为I;

（5）当。一定时，曲线随着4的变化而沿x轴平移；

（6）当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；。越大，曲

线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

4.三个邻域

会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变显的概率.落在三个邻域之外是小概

率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.

【解题方法点拨】

正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考

中多次出现，其中数值计算是考查的•个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或

计算错误.对正态分布N（〃，中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，巨注意第二个

数值应该为。2而不是％同时，记住正态密度曲线的六条性质.

【命题方向】

题型一：概率密度曲线基础考察

典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数/（X）的图象，且/（幻二*6一"科，则这个正

态总体的平均数与标准差分别是（）

A.10与88.10与2C.8与10O.2与10

1OCTO-1

解析：由丁8=e可知。=2,//=10.

\/2na

答案：B.

典例2：已知随机变量f服从正态分布N（2,小），且尸（宁4）=0.8,则P（0V52）等于（）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

解析：由P（<<4）=0.8知P（f>4）=P（fVO）=0.2,

故尸（0〈宁2）=0.3.故选C

典例3：己知随机变量X服从正态分布N（3,1）,且尸（2WXW4）=0.6826,则尸（X>4）等于（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x=3对称，・・・P（X>4）=0.5-=P（2WXW4）=05x（）.682

6=0.1587.故选从

题型二：正态曲线的性质

典例1:若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为奇去.

（I）求该正态分布的概率密度函数的解析式：

（2）求正态总体在（-4,4］的概率.

分析：要确定•个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数〃，。的值，其中〃

决定曲线的对称轴的位置，。则与曲线的形状和最大值有关.

解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于），轴对称，即〃=0.由^^=

号，得。=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是

1上

仰,o（x）=彳否e32,xE（-°°,+8）.

（2）P（-4＜XS4）=〃（0-4VXW0+4）

=P（〃-oVXW〃+。）=0.6826.

点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化

对曲线的影响.

典例2：设两个正态分布N（川，。/）（。］＞0）和N（心，0?）（。2＞0）的密度函数图象如图所示，则

B.//|Vr,。1＞。2

C.

D.a\＞（J2

解析：根据正态分布N（〃，。2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x=4对■称，在处取得

最大值的连续钟形曲线；。越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，。越小，曲线的最高点越高且较

陡峭，故选A.

答案：A.

题型三：服从正态分布的概率计算

典例1：设X〜N(1,22),试求

⑴P(-1VXW3)；

(2)P(3VXW5);

(3)P(X25).

分析：将所求概率转化到(//-。，力。].(〃-2%i2或[〃-3。，川3上的概率，并利用正态密

度曲线的对称性求解.

解析：•:X〜N(A,22),・・・〃=1,o=2.

(I)P(-1VXW3)=P(1-2VXW1+2)

=P(//-oVXW〃+。)=0.6826.

(2),:P(3VXW5)=P(-3VXW-1),

:・P(3VXW5)=|[P(-3VXW5)-P(-1<XC3)]

=如(1-4VXW1+4)-P(1-2VXW1+2)]

1

2一2oVXW“+2。)-户(4-oVXW“+。)]

=1x(0.9544-0.6826)

=0.1359.

(3)VP(X25)=P(XW-3),

:・P(X25)=|ll-P(-3VXW5)]

=1[1-P(1-4<X^l+4)]

=1[1-P(〃・2aVXW/什2。)]

=1x(1-0.9544)=0.0228.

求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为己知概

率的三个区间.上.

典例2：随机变量f服从正态分布N(1,〃)，已知。(宁0)=03,则〃(?2)=.

解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x=l对称，所以P(f>2)=P(f<0)=03P(f<2)

=1-0.3=0.7.

答案：0.7.

题型4：正态分布的应用

典例I：2011年中国汽车销售量达到1700万辆,汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽

车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了I

200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量f服从正态分布N(8,

。2),已知耗油量差［7,9］的概史为0.7,那么耗油量大于9升的汽车大约有一辆.

解析：由题意可知片N(8,小)，故正态分布曲线以〃=8为对称釉，乂因为P(7W代9)=0.7,故P

(7WfW9)=2P(8WG9)=0.7,所以P(8WJW9)=0.35,而P(会8)=0.5,所以P(f>9)=0.15,

故耗油量大于9升的汽车大约有1200X0.15=180辆.

点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯

形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P(百网〉=