2025-2026学年苏教版高二数学上学期期末必刷常考题之圆与方程

2025・2026学年上学期高二数学苏教版)期末必刷常考题

之圆与方程

一.选择题(共6小题)

I.已知直线/：奴+力-/=0与圆C：点A(a,b),则下列说法正确的是()

A.若点A在圆。上，则圆C关于直线/对称

B.若点A在圆。外，则圆C上存在两个点到直线/的距离为:

C.若点4在直线/上，则直线/与圆C相交于两点

D.若点A在圆。内，则直线/与圆。相离

2.若直线1+)，-1=0是圆(X-G)2+)2=1的一条对称轴，则。=()

11

A.-B.-4C.ID.-I

22

3.已知圆C：(厂3厂+()，-4)2=8,直线/：心+厂〃?-3=。，若直线/被圆C截得的弦长的

Ch最小值为力，则。+〃=()

A.472+2V3B.2V2+4V3C.272+273D.2&+百

4.以直线/i：x+2y=0和/2：1+3)，-2=0的交点为圆心,并且与直线3文-4)，+30=0相切的圆的方程

A.(x+4)2+(y-2)2=4B.(x+4)2+()，-2)2=16

C.(x-4)2+()，+2)2=4D.(x-4)2+(y+2)2=16

5.设点尸(刈，1),若在圆M：(A-1)2+/=1上存在点N,使得NMPN=45°,则xo的最大值

A.1B.V2C.2D.4

6.已知圆Ci：f+)2=7(r>0)与圆Cz：(x■加)2+)2=1相离，且直线/：x+y-2=0被圆C

长为2a，则实数〃?的取值范围是()

A.(-1,1)

B.(・8,-3)u(3,+8)

C.(-3,3)

D.(-8,-3)U(-1,1)U(3,+8)

二.多选题(共3小题)

(多选)7.已知点P(-2,-3)和圆Q(x-1)2+2)2=9,下列说法正确的是()

A.圆心Q(1,2),半径为r=9

B.点P在圆Q外

C.圆Q关于直线2r+y・4=0对称

D.设点M是圆Q上任意一点，则IPM］的最小值为印一3

（多选）8.对于直线/：（m-2）x+y-2〃?+1=0与圆C：/+）?-6,v-4v+4=0»下列说法正确的是（）

A./过定点（2,3）

B.C的半径为3

C./与C可能相切

D./被C截得的弦长最小值为2夕

（多选）9.已知圆C：（x-4）2+（y-5）2=12,直线/:心-），-2〃?+3=0,直线/与圆。交于M,N两

点，则（）

A.直线/过定点

B.|M/V|的最小值为2

C.的取值范围为［72,4|

D.当圆。上恰有三个点到直线/的距离等于百时，m=4±>/l三

三.填空题（共4小题）

10.若直线/的方程为A¥+8.v+C=0（A,8不同时为0）,则称直线〃?：8t-A.y+C=0是直线/的伴随直线.若

宜线/的方程是3x-），+4=0,则其伴随宜线机的方程是；已知宜线机与圆/+『=4

交于点M,M则.

11.已知圆。的圆心为（1,-4）,且与直线/：x+y-1=0相切，则圆C被直线3x-4），-9=0截得的弦

长为.

12.已知实数达y满足G--2）2+（y-5）2=4,则??一"、的取值范围为______________________

xz+2（y-l）z

13.过点（0,-3）与圆/+）,2・©=0相切的两条直线的夹角为a,则tana=.

四.解答题（共2小题）

14.己知圆M：/+）2-4y+3=0.

（1）求圆M的圆心坐标及半径；

（2）求过点尸（1,0）且与圆M相切的直线方程；

（3）已知Q是x轴上的动点，圆M与〉，轴交于点C,D,直线QC,QO与圆M分别交于点A,B.证

明：直线A8经过定点.

15.已知圆C经过坐标原点，且圆心为（3,0）.

（I）求圆C的标准方程;

(II)已知直线/：3x+4户4=0与圆C相交于A,B两点,求弦长依例的值;

(III)过点尸(6,4)引圆。的切线，求切线的方程.

2025・2026学年上学期高二数学苏教版（2019）期末必刷常考题之圆与方

程

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案DCAACB

二.多选题（共3小题）

题号789

答案BCDABDACD

一.选择题（共6小题）

1.已知直线/：or+勿-/=0与圆C：点A（小b）,则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则圆C关于直线/对称

B.若点4在圆C外，则圆C上存在两个点到直线/的距离为:

C.若点4在直线/上，则直线/与圆。相交于两点

D.若点A在圆。内，则直线/与圆。相离

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】。

【分析】根据点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，对各项的结论依次加以验证，进而可得本题

答案.

【解答】解：若点4在圆C上，则/+廿=/,

所以圆心（0,0）到直线/的距离/=」——=~^==r,

此时直线/与圆C相切，可知A不正确：

若点A在圆C外，则a2+b2>i2,

可得圆心（0,0）到直线/的距离d=1工=<4==八

yla2+b2旧

此时直线/与圆C相交，但不能确定/到圆心的距离范围，

r

因此不能判断出圆。上存在两个点到直线/的距离为5,可知4不正确;

若点A在直线/上，则J+扇-/2=0,即。2+户=3，

根据A项的分析，可知直线/与圆。相切，所以C不正确；

若点A在圆C内,则锵属〈凡

此时圆心（）到宜线/的距离d=彳=r,

0,0而^>后7=

所以直线/与圆C相离，可知。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题.

2.若直线x+y・l=0是圆（x・d）2+）2=1的一条对称轴，则。=（）

11

A.-B.-4C.1D.-1

22

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意得到圆心必在直线上，列出方程，即可求解.

【解答】解：由圆（厂。）2+/=[,可圆心坐标为储,0）,

因为直线x+y-1=0是圆的对称轴，所以圆心必在直线上，即。+0-1=0,解得“=1.

故选：C.

【点评】本题考杳了直线与圆的位置关系，属于基础题.

3.已知圆C：（x-3）2+（厂4）2=8,直线/:必+），-〃?-3=0,若直线/被圆。截得的弦长的最大值为

，，最小值为力，贝I〃+。=（）

A.4V2+2V3B.2&+4V5C.2或+26D.2或+百

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】转化思想：综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】A

【分析】先求出直线/过定点A（I,3）,再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解.

【解答】解：圆C：(X-3)2-(y-4)2=8,直线/:如+)，-〃?-3=0,

因为直线/可化为机(x-1)+>'-3=0,则直线/过定点A(1,3),

点A(1,3)代入圆C中：(1-3)2+(3-4)2<8,所以点A在圆C内，

当AC_L/时，直线/被圆C截得的弦长最短，即匕=2，丁2一4—2二2巡,

当直线/过圆心。时，直线/被圆C截得的弦长最长，即a=2r=4或，

所以Q+b=4应+2V5.

故选：A.

【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，考查计算能力，属于基础题.

4.以直线/i：x+2y=0和/2：x+3y-2=0的交点为圆心，并且与直线3x-4v+30=0相切的圆的方程为()

A.(x+4)2+(y-2)2=4B.(x+4)2+(j-2)2=16

C.(x-4)2+()叶2)2=4D.(x-4)2+()+2)2=16

【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】A

【分析】先求出两直线的交点，求出圆心，再结合点到直线的距离公式，求出半径，即可求解.

【解答】解：联立优赛；=0,解得忧厂，

故所求圆心坐标为(・4,2),

圆心到直线3x・4v+30=0的距离d=112-8+301=

厅+(-4)2

故所求圆的方程为(A-+4)2+(y-2)2=4.

故选：A.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

5.设点户(刈，1),若在圆M：(A-1)2+/=1上存在点N,使得/MPN=45°,则刈的最大值是()

A.1B.V2C.2D.4

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题：整体思想；演绎法；直线与圆；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】以MP为一边作正方形MPSQ,利用几何法判断出满足条件的N存在时，需培仍M|W1,即

可求出灿的范围.

【解答】解：以为一边作正方形MASQ,

若对角线PQ与圆有交点，则满足条件的N存在，此时正方形的中心在圆上或内，即

所以争PM|<1,所以版Jo。-+1<1,

所以g曰0,2],则其最大值为2.

故选：C.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于基础题.

6.已知圆Ci：(「>())与圆C2：(x-in)2+)?=i相离，且直线/：%+厂2=U被圆Ci截得的弦

长为2VL则实数〃?的取值范围是()

A.(-1,1)

B.(-8,-3)U(3,+oo)

C.(-3,3)

D.(・8,-3)U(-1,1)U(3,+8)

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆：运算求解.

【答案】B

【分析】运用点到直线的距离公式算出点Cl(0,0)到直线/的距离d,根据直线/被圆。截得的弦长

为2a,列式算出圆。的半径/*=2,然后根据圆。与圆C2相离列式算出实数〃?的取值范围，即可得

到本题的答案.

【解答】解：由题意得圆。：7+)2=/的圆心为Ci(0,0),半径为〃

直线/：]+)，・2=0到点。(0,0)的距离仁出,"2|=走,

若直线/被圆。截得的弦长为2vL则2m=定=2四，可得7・d?=2,

所以尸=/+2=4,可得圆的半径r=2,

圆Cz：(x-〃])的圆心为C2(m,0),半径R=1,

由圆。与圆C2相离,可得|CIC2|=IM>>R=3,解得mV-3或m>3.

故选：B.

【点评】本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识，

属于中档题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.己知点P(-2,-3)和圆Q：(%・1)2+2=9,下列说法正确的是()

A.圆心Q(1,2),半径为r=9

B.点尸在圆。外

C.圆Q关于直线2x+y・4=0对称

D.设点M是圆。上任意一点，则|PM的最小值为曲一3

【考点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求|PQ并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位

置关系，判断8选项；验证圆心是否在直线上，即可判断。选项；由|PQ|与圆的半径，求出|PM的范围，

判断。选项.

【解答】解：圆Q：(%-1)2+()，-2)2=9,可得圆心Q(l,2),半径为〃=3,所以A选项错误；

因为|PQ|二:32+52=布〉r,可得点P在圆。外，所以B选项正确；

因为圆心Q(l,2)在直线2rty-4=0上，所以圆Q关于直线2x+y-4=0对称，所以。选项正确：

因为|PQ|=V32+52二屈,圆半径/*=3,所以件-3W|PM|W序+3,

即|PM的最小值为闻一3,所以。选项正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于基础题.

(多选)8.对于直线/：(m-2)x+y-2〃?+1=0与圆C：-6.v-4y+4=0»下列说法正确的是()

A./过定点(2,3)

B.C的半径为3

C./与C可能相切

D./被C截得的弦长最小值为2校

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】对应思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据直线方程求定点坐标判断4项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直

线所过定点在圆内判断。项；当直线/与过定点和圆心的直线垂直时，直线/被。截得的弦长最小，从

而计算弦长最小值可判断。项.

【解答】解：对于A,(m-2)x+y-2in+\=()»整理得(x-2)m-2x+y+1=0,

由｛_2：；；；：=0,解得忱上所以直线/过定点⑵3),故A正确；

对丁6,圆C：/十・6八・4y+4=0化为标准方程为：J・3)2+(y-2)2=9,

所以圆C的圆心C(3,2),半径为r=3,故B正确；

对于C,因为(2-3)2+(3-2)2<9,所以点(2,3)在圆C内部，

所以直线/与C不可能相切，故C错误；

对于。，设直线/所过定点为P(2,3),则当直线/_LPC时，直线/被。截得的弦长最小.

因为圆心C(3,2),所以kpc=|^|=—l,

所以直线/的斜率k/=2-"1=1,解得m=1,此时直线/：厂)叶1=0.

因为圆心到直线I的距离d=与"II=V2,

Vlil

所以弦长为2，产-浸=2后”=22,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查直线恒过定点问题、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长公式等，属于基础题.

(多选)9.已知圆C：(x-4)2+(y-5)2=］2,直线/：-y-2“z+3=O,直线/与圆。交于M,N两

点，贝IJ()

A.直线/过定点

B.的最小值为2

C.的取值范围为［-12,41

D.当圆。上恰有三个点到直线/的距离等于V5时，m=4±V15

【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线.

【专题】计算题；转化思想；综合法；高考数学专题；直线与圆.

【答案】ACD

［分析］对于选项A,将直线/：nix-y-2〃?+3=0整理成tn(x-2)+(-y+3)=0,得到匕,：；°八，此

方程组的解构成的点就是直线/恒过的定点：对于选项8,先求出C：(x-4)2+2=12的圆心

和半径，由直线/过定点(2,3),可知过定点(2,3)的直径是最长的弦，过定点(2,3)且与这条

直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长附留是最短的弦，求出定点（2,3）到圆心C（4,5）的距离

士则的最小值为2VN一送代入数值即可得解:对于选项C,由4W|MN|三4百求出16W|M/V|2/

48,结合余弦定理求出cos/MCN的范围，利用向量的数量积的定义得到扇•扇=|扇

\CN\cos^MCN,由cos/MCN的范围得解；对于选项。，由圆C上恰有三个点到直线，的距离等于百，

得到圆心C到直线/的距离等于V5,利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线/的距离d,则d=8，

计算即可得解.

【解答】解：对于选项A,由题意圆C：（x-4）2+（厂5）2=12,直线/：〃优-），-2加+3=0,直线/

与圆C交于M,N两点，

圆心为C（4,5）,半径为厂=2遮，

直线I：nix-y-2〃?+3=0可化为m（x-2）+（-y+3）=0>

・•・[“二]Un，・•・（：：；，・••直线，过定点（2,3），.,•选项A正确;

对于选项K，•・•直线/过定点（2,3）,・•・过定点（2,3）的直径是最长的弦，

・•・过定点（2,3）且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长|MM是最短的弦,

•・•定点（2,3）到圆心C（4,5）的距离为d=。（4一21+（5—3尸=2班,

，网网的最小值为2正2-d2=2V12-8=4,.•.选项B错误；

对于选项C,V4<\MN\<473,16W|MM2W48,

\CM\2A-\CN\2-\MN\212+12-|MN『24—\MN\2

•；cosNMCN=

-2\CM\­\CN\=2x273x2^/3=~241-4

•・・16W|MN|2W48,r.-l<1-^|MN|2<i,：.-l<cosZMCN<L

CM-CN=\CM\•\CN\COSLMCN=2百•2acos乙MCN=12cos乙MCN,

1TT

\*-l<cos^MCN•・•・12W12cosNMCNW4,-12<CMCN<4,，选项C正确:

对于选项D,•・•圆C上恰有三个点到直线I的距离等于百，

・•・圆心C到直线/的距离等于百，

*.*/：mx-y-2m+3=0,圆心C（4,5）

・•・圆心C到直线/的距离d=।叫5-2m+3|=6，

JTH2+1

TH=4±V15»/.选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，直线恒过定点，点到直线的距离公式，是中档题.

三,填空题（共4小题）

10.若直线/的方程为AY+8V+C=0（A,B不同时为0）,则称直线〃?：Bx-Ay+C=0是直线I的伴随直线.若

直线/的方程是3x-）44=0,则其伴随直线m的方程是x+3y-4=0；已知直线m与圆7+）2=4交

4Vlo

于点M,N,则|MN|=.

5

【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；点到直线的距离公式.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类.

【答案】x+3y-4=0；丝1

【分析】根据伴随直线的定义写出直线〃？的方程，化简即可；先求出圆心（0,0）到直线〃?的距离，

然后利用圆的弦长公式进行求解，即可得到本题的答案.

【解答】解：根据伴随直线的定义，

可知直线/的伴随直线m方程为-x-3.y+4=0,即x+3.y-4=0；

圆/+『=4的圆心为o（0,o）,半径为厂=2,

根据原点到直线m的距离d=岛=争，可得|MN|=2,4-（空¥=空.

4-/15

故答案为：x+3厂4=0；―~一.

【点评】本题主要考查直线的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题.

11.已知圆C的圆心为（1,-4）,且与直线/：x+y・l=0相切，则圆C被直线3x-4y・9=0截得的弦

长为4.

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆C的半径及圆心（1,-4）到直线3x-4y9=0的距离，

再结合2"2-42求解弦弦

【解答】解：因为圆C与直线/：x+），・1=0相切，

所以圆C的半径为r=肝4-“=2VL

而圆心（1,-4）到直线3X・4y・9=0的距离为4=心拦导=2,

J9+16

所以圆。被直线3x・4），・9=0截得的弦长为23-/=4.

故答案为:4.

【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于基础题.

12.已知实数为y满足(x-2)2+(y-5)2=4,则二；；；：)£的取值范围为［0,否

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】对应思想：综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】［0,5］.

【分析】由F~y-i>令二~^=k,由直线h-y+l=0与(x-2)2+(),-5)2=4有

x+2(y—1)----1-2---x

y-ix

公共点，求得出的范围，结合对勾函数单调性求解即可.

【解答】解：当工=0时，xz2+"2(一y-:l)、z2二。，

XV-X1

当xHO时，原式变形可得：丁三一-T=--厂「

x2+2(y-l)2

令匚=k,整理可得公产1=0,

x

因为丘・)叶1=0与(X-2)2+(y-5)2=4有公共点,

所以可以得到隼粤<2,解得k>

V1+/C24

1

故可以得到

H2/

令〃k)=%+2k,

易知/'(k)=%+2A在(芋，+8)单调递增,

13

+2k在[-

k一4+8)单调递增,

则当kf+8时，f(k)=方+2kT+8,

K

故f(k)=/+2、e［票，+8),

故可以得到J—e(0,三］,

共2k17

所以可以得到二工;炉的取值范围为(0,1］，

综上晨f的取值范围为°吊

故答案为：［0,飘

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

13.过点（0,-3）与圆-4x=0相切的两条.直线的夹角为a,则⑶ia=.

【考点】过圆外一点的圆的切线方程.

【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】甘.

【分析】根据图形分析可得a=NAPO=2/OPC,进而根据tan/OPC=之并结合正切的二倍角公式

求解即可.

【解答】解：圆/+），2-4x=0即为（x-2）2+）2=4,可知圆心为（2,0）,半径为2,

如图，易知直线x=0为圆/+）2-4X=0的一条切线，

过点（0,-3）与圆4x=0相切的两条直线的夹角为a,

设两条切线的切点为O,人，两条切线的夹角a=N/lPO=2/OPC,

。C2

--

一

。P

^^jtan^OPC3,

所以根据二倍角的正切公式可得:

44

--49

3312

2tQ71Z_OPC--=-=-X--5

tana=tan2^0PC=1-4535

2--

l-tand.OPC99

故答案为：

・3p

【点评】本题考查了二倍角的正切公式，属于中档题.

四.解答题（共2小题）

14,已知圆M：/+），2・4y+3=0.

（1）求圆M的圆心坐标及半径；

（2）求过点P（1,0）且与圆M相切的直线方程；

（3）已知。是x轴上的动点，圆M与y轴交于点C,D,直线QC,QO与圆M分别交于点A,B.证

明：直线48经过定点.

【考点】直线与圆相交的性质；根据圆的几何属性求圆的标席方程.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】（1）圆心为M（0,2）,半径r=l；

（2）x=1和3x+4y-3=0：

（3）由Q是4轴上的动点，圆M与），轴交于点C,D,令K=0,得），2・4y+3=0,解得），=1或y=3,

可得C（0,1）,D（0,3）,设Q（1,0）,

若，=0,。所在直线为y轴，不合题意，故f#0,

1?

所以直线：QD：

QCy=-7V%+1,y=-yVx+3,

联立卜二一£*+1,得/+-1）2=1,整理得%产*尸"2、=0,

（x2+y2-4y+3=0*亡

解得了=0或、=若，当、=滞时，y=落，则4（若，督），

3?

y=-7X+3,得/+（一盟+1）2=1,整理得刈（t+9产-6与=0,

!x2+y2-4y+3=0「t

解得x=°或％=悬，当'=普阿，对应、=窑，则8=（悬，窑），

yJLlX-（—）

可得直线AB方程为：3*+广总3=6c：%、，

2

留+9£2+1t+992+9，

整理得：4”一落）=（X+含）（产-3）,即产等工+参

3

因为fWO，则当x=0时，y2-

所以直线AB恒过定点（0,令・命题得证.

【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，进而得出圆心和半径；

（2）根据直线与圆的位置关系，分斜率存在和不存在两种情况讨论得出对应的切线方程；

（3）根据直线与圆的位置关系，分别联立圆与直线方程得出4,6的坐标，再利用两点式求出A8所在

直线方程，最后根据直线从“方程的性质得出恒过定点.

【解答】（1）解:由f+y2・4y+3=0,得d+（y-2）2=1,

则圆M的圆心为M（0,2）,半径r=l；

（2）解：如图，

圆M的圆心为M(O,2),半径/=1,

当直线的斜率不存在时，过点P(1,0)的方程为x=l,

圆心M(0,2)到x=l的距离为1,满足相切条件;

当直线的斜率存在时，设切线方程斜率为k,

则过点尸(1,0)的切线方程为：y=k(x-1),即依・y&=0,

3

-

由圆心M到切线的距离d=??-2一/=芈坦=],解得上=4

所以.切线方程为y=-1(工一1)，即3x+4y-3=0.

则过点P(1,0)且与圆M相切的直线方程为：x=l和版+4y-3=0；

(3)证明：如图，

由。是x轴上的动点，圆M与y轴交于点C,D,令工=0,得/-4)，+3=0,解得y=l或y=3,

可得C(0,1),D(0,3),设。(/,0),

若/=0,Q所在宣线为y轴，不合题意，故fWO,

1Q

所以直线QC：y=--x+1,QD：y=--px+3,

联立y=_/%+i,得公+（_1%_]）2=1,整理得x*+iy+2t]=o,

x24-y2-4y4-3=0c

解得1=0或%=笆，当％=泮时，、=铐，则做转，要），

r+1r+1t2+ir+ir+1

3?

联立'=一钎+3,得/+（-，+1）2=1,整理得X产+9y-6\=0,

x2+y2-4y+3=0f

解得X=°或％当％=片阿，对应y='詈，则B=(晶，笔善)，

yf2-3x—(~2t)

可得直线A3方程为：3外厚3=6C鲁丁，

舒-需而一(百)

整理得：4t(y-进1)=(%+言/(£2.3),即尸勺言”+会

因为/W0,则当x=0时，y=1

所以直线A8恒过定点(0,|),命题得证.

【点评】本题考查圆与切线方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

15.已知圆C经过坐标原点，且圆心为(3,0).

(I)求圆C的标准方程;

(II)已知直线/：3x+4y+l=0与圆C相交于A,B两点、,求弦长|A3|的值;

(III)过点产(6,4)引圆C的切线，求切线的方程.

【考点】直线与圆的位置关系；根据圆的几何属性求圆的标准方程.

【专题】方程思想；综合法；高考数学专题；直线与圆；运算求解.

【答案】(I)1-3)2+/=9；

(II)2V5；

(III)x=6或7x-24y+54=0.

【分析】(I)求出圆C的半径，即可求解圆C的标准方程；

(II)由垂径定理即可求解;

(III)分过点P的直线斜率存在和不存在两种情况讨论求解，利用圆的切线的性质求解即可.

【解答】解：(I)依题意有圆C的半径r=J(3-0)2+0=3,且圆心C(3,0),

所以圆C的标准方程为(x-3)2+)2=9.

13x3+4x04-11

(II)圆心C到直线/的距离d==

则|48|=2Vr2-d2=2V9^4=2瓜

即弦A3的长为2代.

(111)因为(6-3)2+42=25>9,所以点尸在圆C外,

当过点P的直线斜率不存在时，即直线方程为x=6,

则圆心C到直线x=6的距离为6-3=3=r,所以直线x=6时圆C的一条切线;

当过点P的直线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-6),即kx-v+4-6k=3

则圆心C到此直线的距离d'=叫+4-6.=3,解得k=£,

W+1-

77

则此切线方程为一x一y+4--=0,即lx-24y+54=0.

244

综上所述，过点尸（6,4）引圆C的切线，方程为x=6或7r-24），+54=0.

【点评】本题考查了直线与圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于基础题.

考点卡片

1.恒过定点的直线

【知识点的认识】

-定点：直线总是通过一个固定的点(XI,>1)的方程形式为:

a(x-Xi)+b(j-y])=0

其中u和b是直线的方向向量分量.

【解题方法点拨】

~求方程：

I.已知定点：将定点(XI,)，1)代入直线方程.

2.确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式.

3.标准力程：得到直线力程如：

a(x-xi)+b(y-y\)=0

【命题方向】

・定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换.

2.点到直线的距离公式

【知识点的认识】

一点到直线距离：点(刈，和)到直线AY+B_y+C=0的距禽为：

d[田o+Byo+C|

JA2+B2

【解题方法点拨】

-计算距离：

I.代入直线方程：将点的坐标代入直线方程.

2.计算绝对值：计算Aro+切o+C的绝对值.

3.计算模：计算法向量的模不正.

4.求解距离：将绝对值与模相除，即得距离.

【命题方向】

■距禽计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用.

3.圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.

2.圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=i2（r>0）,

其中圆心C（a,b）,半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为，•的圆的方程为：

厂+广=厂.

其中，圆心（〃，b）是圆的定位条件，半径，♦是圆的定形条件.

【蟀题方法点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出小b,/■

的值再代入.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法.步骤如下：

（I）根据题意设出圆的标准方程为a-a）2+（yb）2=J；

（2）根据已知条件，列出关于a,〃，r的方程组；

（3）求出a,〃，「的值，代入所设方程中即可.

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程.

【命题方向】

可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a,b,r值的求解可能和直线与圆的位置关

系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度.在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现

在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出。，江，•的值或解得圆的一般方程再

进行转化.

例1：圆心为（3,-2）,且经过点（1,-3）的圆的标准方程是（x-3）2+（），+2）2=5

分析；设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程.

解答：设圆的标准方程为（.r-3）2+（），+2）2=R2,

由圆M经过点（1,-3）得川=5,从而所求方程为（x-3）2+（y+2）2=5,

故答案为（x-3）2+（>2）2=5

点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径.

例2：若圆C的半径为1,圆心在第•象限，且与直线4x・3），=0和X轴都相切，则该圆的标准方程是（)

A.（x-2）2+（厂1）2=1

B.（x-2）2+（y+1）2=J

C.（x+2）2+（y-1）2=|

D.（x-3）2+（y-1）2=1

分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a,b）,由已知圆与直线4x

-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于。与〃的关系式，又圆与/轴相切，可

知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即依等于半径1,由圆心在第一象限可知。等于圆的半径，确定出b

的值，把。的值代入求出的。与6的关系式中，求出。的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的

半径写出圆的标准方程即可.

解答：设圆心坐标为（。，b）（。＞0,b＞0）,

由剧与直线4.”3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=叫3处=r=1,

化简得:|4〃-3例=5①，

又圆与x轴相切，可得步|=r=l,解得＞=1或h=-1（舍去），

把力=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5,解得。=2或。=一,（舍去），

，圆心坐标为（2,1）,

则圆的标准方程为：（X・2）2+（y・l）2=1.

故选：A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等

于圆的半径八要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程.

例3：圆/+）2+2y=l的半径为（）

A.1B.V2C.2D.4

分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径.

解答：I员1/+『+2），=1化为标准方程为f+（y+1）2=2,

故半径等于VL

故选B.

点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键.

4.根据圆的几何属性求圆的标准方程

【知识点的认识】

I.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.

2.圆