2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【扬州专用测试范围：苏科版第1章~第3章】（全解全析）

九年级上学期期中考试数学模拟试卷（扬州专用）

全解全析

（考试时间：90分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版九年级上册第1〜3章。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x2+2xy=1B.x2+x+lC.x2+4=0D.ax2+hx+c=0

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：（1）含有一个未知

数，含未知数的项的最高次数是2；（2）整式方程.

根据一元二次方程的定义求解，即可解题.

【详解】解：A.x2+2xy=\,含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

B.+不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意：

C.x24-4=0,是一元二次方程，符合题意；

D.ax2+bx+c=0^当a=O0寸，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意；

故选：C.

2.若。。的直径为8cm,点力到圆心。的距离为4cm,那么点力与的位置关系是（）

A.点力在圆外B.点力在圆上C.点力在圆内D.不能确定

【答案】B

【分析】根据直径求出圆的半径，比较点力到圆心的距离和半径的大小即可判断点4和圆的位置关系.

本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键.

【详解】•・・OO的直径为8cm,

:.O。的半径为4cm,

•・•点A到圆心O的距离为4cm,

工点4在OO1:.

故选：B.

3.关于x的一元二次方程”2一后+4=0的一个根是x=l,贝1」2029+。一6的值是（）

A.2024B.2026C.2025D.2023

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.把x=l代入方程得Q-8=-4,然后利用整体代入的方法计算：2029+。-匕的值.

【详解】解：把x=l代入方程加-以+4=0中得：q-"4=0,

:.a-b=-4

:.2029+a-b

=2029+（-4）

=2029-4

=2025.

故选：c.

4.如图，是。。的直径，C、。是。。上的点，若乙48C=54。，则/8OC等于（）.

C

A.27°B.36°C.54°D.108°

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧

所对圆周角相等是解题的关键.

如图，连接力C,根据直径所对圆周角是直角得到乙4。〃=90。，再根据三角形内角和得到/B4c的度数，

再根据同弧所对的圆周角相等即可解答.

【详解】解：如图，连接/C，

c

:4B是O。的直径,

，ZJC^=90°,

*：^ABC=54°,

：.ABAC=90°-NABC=36°,

・•・CBDC=NB4c=36。（同弧所对圆周角相等）.

故选:B.

5.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件

圆弧上任取两点48,连接48,作48的垂直平分线交48于点。，交弧力8于点C,测出48=16cm,

CZ）=4cm,则圆形工件的半径为（）

A.20cmB.14cmC.10cmD.8cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，匕得出8。的长；设圆心为O,连接08,在

为△08。中，可用半径08表示出0。的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径.

【详解】解：・・・8是线段48的垂直平分线，

••・直线CO经过圆心，设圆心为O,连接08.

□△OBD中，BD=-AB=8cm,

2

根据勾股定理得：

OD1+BD2=OB1,即：

（⑪-盯+心"，

解得：04=10；

故圆形工件的半径为10cm,

故选：C.

6.如图，直角坐标系中力（0,4）,8（4,4）,C（6,2）,经过4,B,6三点的圆,圆心为”,则点AY的坐标为（）

A.（h-1）B.（1,0）C.（2,0）D.（2,1）

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形.

由网络可得出线段48和8c的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心进而可得点用的坐标.

【详解】解：如图，作线段48和8c的垂直平分线，它们的交点为圆心”，则点M坐标为（2,0）,

故选：c

7.已知一元二次方程d+2队+c=0的两根分别是西=-1,毛=3,则一元二次方程2/-ex+2b=0的根为

)

B.；,2C.-；,2D.；，-2

A.

【答案】D

【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点.

2bc

首先根据根与系数的关系得到7+3=-千，-lx3=1,求出力=-1,。=-3,然后代入2——以+2力=0利

用因式分解法求解即可.

【详解】解：•・•一元二次方程/+2bx+c=0的两根分别是王=-1，七=3,

・・・-1+3=——，-1x3=-

11

.*./>=—1,c=-3

，一元二次方程2/一4+2〃=0为2/+3x—2=0,

/.(x+2)(2x-l)=0

解得X2=-2.

故选：D.

8.如图，△48C内接于。。，4C为。。的直径，点。，E分别为。。上的动点（不与点A,点8,点C重

合），且DE=BC,户为QE的中点，分别连结0/，AF,若48=3,BC=4,则力尸的最大值为（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】本题主要考查圆的基础知识，弦心距的计算，线段最大值的计算，掌握直径所对圆周角是直角，

弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键.

如图1,过点。作07718CF，，以点。为圆心，以OH为半径作圆，由勾股定理得：AC=LB?+BC2=5,

。〃为的中位线，当点O,七在O。上运动时，点尸在以点。为圆心，以|■为半径的圆上运动，根据

53

“两点之间线段最短''得：AF<OA^OF,如图2：此时力尸=04+0/=7+^=4,即的最大值为4,由

22

此即可求解.

【详解】解：如图1,过点O作OH工3。于〃，以点。为圆心，以为半径作圆，

®£

D

图1图2

••・48为。。的直径，

・・・N48C=90。，

在中，4B=3,BC=4,由勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=5，

0A=0C=—AC=—,

22

OHIBC,/ABC=9。。,

OH为△力4c的中位线，

133

即弦叱的弦心距。"屋

••・点广为OE的中点，

•♦.0尸为弦DE的弦心距,

,?DE=BCf

・・•0F=0H=-,

2

以T为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短“得:

・・•当点。，E在。。上运动时，点尸在以点。为圆心,

AF<OA+OF,

・•・当点"在/O的延长线上时，"•为最大，

如图2：此时/尸=。/+0"=]+|=4,即力产的最大值为4,

故选:B.

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.小明家1〜5月的电费（单位：元）分别为：137,140,140,117,104.该组数据的中位数是.

【答案】137

【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案.

【详解】解：将该组数据从小到大排列为：104,117,137,140,140.其中位于中间位置的数为137,

所以该组数据的中位数是137,

故答案为：137.

10.若关于x的一元二次方程d+2x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握

根的判别式的计算是关键.

根据A=62-4ac=0,方程有两个相等的实数根即可求解.

【详解】解：关于x的一元二次方程/+2x+c=0有两个相等的实数根，

:.A=4-4c=0»

解得,c=l,

故答案为：1.

11.如图，以△力4C的边4C为直径的。。分别交力8,4。于点。、E,连结O。、OE,若4=50。，则

/DOE=

【答案】80

【分析】连接8E由圆周角定理和三角形内角和定理求得N4^=40。，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆

心角的一半''进行答题.

本题考杳了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半是解题的关键.

【详解】解：如图，连接8E.

•••为。。的直径，

/.NCEB=NAEB=90°,

•••ZA=50°,

/ABE=40°,

/DOE=2N/1BE=80°,

故答案为：80.

12.小明在解方程/=》时，只得出一个根工=1,则被漏掉的一个根是.

【答案】x=0

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法.

利用因式分解法解一元二次方程艮］可.

【详解】解:x2=x

x2-x=0

x(x-l)=0

，1=0或x-1=0,

，了=0或x=1,

・•・被漏掉的一个根是x=0,

故答案为：x=0.

13.已知甲、乙两名运动员1()次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差*4(填“＞皿＜”

或"=").

【答案】＞

【分析】根据方差的意义，通过观察甲、乙标枪落点的离散程度来判断方差大小.本题主要考查了方差的

意义，熟练掌握方差反映数据离散程度，离散程度越大方差越大是解题的关键.

【详解】解：•・•方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪

落点更集中，

・,・际＞Si，

故答案为：＞.

14.已知直角三角形模具的两条直角边为5cm和12cm,若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这

个圆形纸片的最小直径为cm.

【答案】13

【分析】此题重点考查三角形的外接圆的定义、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知

识，求出直角三角形的斜边的长是解题的关键.设△力8c中，48C=90。，J5=5cm,5C=12cm,则

ACfB'BC?=13cm，根据题意可知当/C为直径时，直径最短.

【详解】解：如图，448c=90。，AB=5cm,BC=12cm,

由勾股定理得4C=＞lAB2+BC2=SI$2+\22=13(cm),

•••圆形纸片完全盖住这个直角三角形，

则这个圆形纸片的最小直径为13cm,

故答案为：13.

15.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价

的百分率为.(结果精确到()』％)

【答案】16.7%

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设平均每月降价的百分率为X，根据经过四、五月份连续两次

降价，每部售价由3600元降到了2500元，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设平均每月降价的百分率为x，由题意，得：

3600(1-x)2=2500,

解得：x=g之16.7%或%=?(舍去)；

66

故答案为：16.7%

16.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史

上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若。。

的半径为2,则这个圆内接正十二边形的面枳为一.

【答案】12

【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质.如图，过力作AC1O8F

C,得到圆的内接正十二边形的圆心角为36昔0°=30。，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：如图，过力作力C1O4于C,

•・•圆的内接正十二边形的圆心角为一^-二30。，04=2,

・•・AC=-OA=\

2t

2x1=1，

，这个圆的内接正十二边形的面积为12x1=12,

故答案为：12.

17.如图，。。经过Rt△力的直角顶点C,交力B于点、D,E,交BC于点、F,交/C于点G,且满足

DE=FC=CG,AG=2BF=\,则。。的半径为.

【答案】4

2

【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等

知识，解题的关键是熟练掌握以上性质.

过点。作于点M，ONLBC于点、N,OP工4c于点P,连接0C,由弦心距和垂径定理得出

OM=ON=OP,MD=ME=NF=NC=PC=PG,推出小。。是RtZ\/8C的内切圆，四边形CPON是正方

形，得力尸=4W,BM=BN,CP=CN,ACNO是等腰直角三角形，则力G=<。，BF=BE,设

DE=FC=CG=x(x>0),求出AG=/1O=1,BE=BF=；,然后在RtZ\48C,由勾股定理列出一元二次

方程，解之取符合题意的值，即可解决问题.

【详解】解：如图，过点。作。MJL/8F点M,ONA.BCf点、N,0尸，力。于点夕，连接OC,

\'^DE=FC=CG,

：,OM=ON=OP,MD=ME=NF=NC=PC=PG,

,小。。是RtZ\48C的内切圆，四边形CPON是正方形，

AAP=AMtBM=BN,CP=CN,ACNO是等腰直角三角形,

AAG=ADfBF=BE,

设QE=/C=CG=x(x>0),

•IAG=2BF=\,

AG=AD=1,BE=BF=—

2

在中，由勾股定理得：BC2+AC2=AB2^

即(x+；+(x+l)2=(x+g+l,

解得：x,=l,x2=-1（不合题意，舍去）,

DE-FC=CG=x=1,

：.NC=ON=-FC=~,

22

•・•ACNO是等腰直角三角形，

OC=42NC=—f

2

:.。。的半径为日，

故答案为：当.

18.如图，四边形力4CO内接于OO,4E_LC8交的延长线于点E,若BA平分NDBE,AD=6,

CE=2下,则力£=—.

【答案】4

【分析】连接力C，根据比1平分NO8E,可得乙4BE=/4BD：根据四边形/3C。内接于。。，可得

NABE=NADC,进而可得/力4£=乙48。=N/iOC,即有4CQ=N/1QC,贝lj有=最后利用勾股定

理即可作答，

【详解】解：连接4C,如图，

•:BA平分ADBE,

•••ZABE=ZABD,

•••四边形4月6内接于。O,

乙4BC+ZADC=18O°,Z.ABC4-Z.ABE=180°,

:.ZABE=ZADC,

ZABE=ZABD=ZADC,

•••ZACD=NABD,

ZACD=ZADC.

AD=AC,

vAD-6,

二AC=6,

：AELCB,CE=2下,

.•.在中，AE=^AC2-EC2=A/36-20=4；

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等

知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.

三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.(本题8分)用适当的方法解下列方程：

(l)x(x-2)=4(x-2)；(2)3X2+5(2X+1)=0

【答案】(1)将=2,X2=4

e-5+V10-5-V10

(2)再=---,x2=---•

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及公式法是解题的关键.

(1)利用因式分解解方程，即可得到答案；

(2)先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案.

【详解】(1)解：x(x-2)=4(x-2)

x(x-2)-4(x-2)=0

(x-2)(x-4)=0

,"-2=0或工-4二0

「・％=2,X2=4.

(2)解：3?+5(2x+l)=0

3X2+10X+5=0

a=3,b=10,c=5,

〃-4,(=1()2-4x3x5=100-60=40,

-10±同-5±Vio

x=---------=--------,

63

-5+Vio-5-Vio

百=3=3,

20.（本题8分）某中学（■）班共50名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情

况进行了统计，并绘制成下面的统计图.

（1）这组数据的众数是,中位数是

（2）求这50名同学捐款的平均数；

（3）该校共有学生1600名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元?

【答案】（1）40元，40元

（2）46.2元

（3）73920元

【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.

（1）根据众数和中位数的定义求解即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从

小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果

数据个数是偶数）；

（2）根据加权平均数计算方法即可计算5（）名同学捐款的平均数；

（3）用样本平均数估计可以看做总体的平均数，用50名同学捐款的平均数乘以学生的总人数，即可得这个

中学的捐款总钱数；

【详解】(1)解：观察统计图可知，捐款40元的人数最多，为18人，所以众数是40元，

•・••共有50个数据，将捐款金额从小到大排列后，第25、26个数据的平均数就是中位数，

从图中可知，捐款20元的有7人，捐款30元的有15人，

那么前7+15=22人捐款金额小于40元，第23到40人捐款40元，

•••第25个和第26个数据都是40元，中位数为(40140)：2=40元，

故：这组数据的众数是4()元，中位数是40元；

(2)捐款总数为20x7+30x15+40x18+100x10

=140+450+720+1000

=2310

平均数为2310+50=46.2元,

(3)已知该校共有学生1600名，该班同学捐款平均数为46.2元，

则中学捐款总数大约为1600x46.2=73920元；

21.(本题8分)已知：关于工的方程/-2(〃?+1h++2=0.

(1)若方程总有两个实数根，求加的取值范围；

(2)若该方程的一个根为3,求“7的值及该方程的另一根.

【答案】

(2)血的值为1时，该方程的另一根为1,的值为5时，该方程的另一根为9

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识.

(1)先计算出△=8w-4,根据题意得到△=-4>0,即可求出加2g；

(2)设方程的•个根为3,求出]=1,啊=5,分4=1和切=5两种情况解出一元二次方程即可求解.

【详解】(1)解：4=11=-2(机+l),c=〃r+2,

,A=/)'-4ac=[-2+1)丁一46r+2)=86-4,

•.•方程/一2(〃?+1)》+/+2=0总有两个实数根，

A=8/??-4>0,

(2)解：方程的一个根为3,

9-6(w+1)+w2+2=0,

解得网=1,叫=5,

当用_1时，原方程化为1-4<+3=0,解得玉=1,乙=3,

二另一根为1;

当川=5时，原方程化为V-12x+27=0,解得玉=9/2=3,

•••另一根为9;

•••加的值为1时，该方程的另•根为1，加的值为5时，该方程的另•根为9.

22.(本题10分)如图，在。。中，半径OC,OQ分别交弦48于点E,足且OE=O~

(1)求证：AE=BFx

(2)求证：AC=BD.

【答案】(1)见详解

⑵见详解

【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键

(1)过。作OM_LW8于M,连接Qi、OB,利用等腰三角形三线合一证明4W=,£”=而，则问

题可证；

(2)利用等腰三角形三线合一，可证明乙1OM=N8ON,ZEOM=ZFOM,进行角的组合可证明

/AOC=/BOD,利用圆心角、弦、弧的关系，即可证/C=8O.

【详解】(1)证明：过。作0Ml44于连接。4、OB,

•：OA=OB,OE=OF,

•••AM=BM.EM=FM.

AM-EM=BM-FM,

AE=BF；

(2)证明：-：OMLAB.OA=OB,OE=OF,

:.ZAOM=ZBOM,Z.EOM=Z.FOM,

:.^AOM-NEOM=NBOM-/FVM,

ZAOC=/BOD,

..AC=BD.

23.(本题8分)电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月

4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.

(1)求3月5口、6口这两天玩偶销售品的口平均增长率.

(2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，伐价为每个

50元时，日销量可达320个：每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可

达到5940元?

【答案】(1)日平均增长率为30%

(2)每个玩偶降价2元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

(1)设日平均增长率为x,根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设每个玩偶降价V元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】(1)解：设日平均增长率为x,由题意得：200(1+X)2=338,

解得：$=0.3,々=-2.3(舍)，

答：日平均增长率为30%；

(2)解：设每个玩偶降价元，由题意得：(50-y-30)(320+5j，)=5940,

解得：y=2,y2=-46(舍)，

答：每个玩偶降价2元.

24.(本题10分)如图是由边长为1的小正方形构成的8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点

力、夙C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题：

图1图2图3

(I)在图1中，画出圆心。

(2)在图2中，点。为圆上任意一点，在圆上找一点凡使得OE是圆上最长的弦.

(3)在图3中，点必是圆上任意一点(不与点力重合)，作一条弦尸。，使得

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)分别作4氏4。的垂直平分交于点O,即可求解；

(2)连接QO,并延长DO交圆。于点区即可求解；

(3)分别连接MOM。，并延长分别交圆。于点。，P,即可求解.

【详解】(1)解：如图，点。即为所求；

(2)解：如图，点七即为所求;

(3)解：如图，尸。即为所求.

25.(本题10分)用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠增(墙长45

米)，另三边用竹篱笆围成，

(1)求鸡场的长与宽各为多少米？

(2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由.

【答案】(1)鸡场的K为30米，宽为25米

(2)不能，理由见解析

【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式.

(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(78+2-2X)米，根据围成鸡场的面积为750平方

米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽；

(2)不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于地的一边长为y米，则平行于墙的一边长

为(78+2-2力米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于歹的一元二次方程，由根的判别式

△=-200<0,可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场.

【详解】(1)解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(78+2-2x)米，

依题意得：4(78+2-2x)=750,

整理得：x2-40x+375=0,

解得：x1=15,X2=25,

当工=15时,78+2-2X=78+2-2x15=50>45,不符合题意,舍去；

当工=25时，78+2-2x=78+2-2x25=30<45,符合题意.

答：鸡场的长为30米，宽为25米；

(2)解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下：

设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为。8十2-2力米，

依题意得：V(78+2-2力=900,

整理得：/-40v+450=0,

vA=(-40)2-4xlx450=-200<0,

该方程没有实数根，

即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场.

26.(本题10分)如图，是。。的直径，。是半圆。上的一点，4C平分NO/出，AD1CD,垂足为

D,AD交OO于E,连接CE.

D

(1)求证：oc是。。的切线;

(2)若48=10,DC=4,求力。的长:

(3)若/?是弧力。的中点，。。的半径为5,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析；

(2)/C的长为46；

⑶葛6

【分析】(1)4c平分N7X48,OA=OC,所以N1=N2,Z1=Z3,则/2=/3,于是可判断OC〃4),

由于XO_LCZ),所以OC_LCO,则可根据切线的判定定理即可求证；

(2)如图，过点。作O〃_LW。与“，根据垂径定理得4〃=庞，再证明四边形08〃为矩形，得到

OH=DC=4,HD=OC=5,在RtZX/O”中利用勾股定理计算出4〃=3,则/。=<〃+”。=8,然后在

R^ADC中根据勾股定理可计算出力C的长；

(3)如图，连接OE,E是弧/1C的中点，则就=方,先证明四边形。1笈。为菱形，得到

CE=AE=OC=OE=OA=5,SAOCE=S^AE,△OCE和△力。£为等边三角形，从而得到

几彩OCE=S削形“花，S阴影=SKDE，在RQDCE中，可计算出DE=—,CD=,所以S'CDE='然

后利用=SMDE即可得出结论.

【详解】(1)证明：如图，

A0B

•••/1C平分NQZ8,OA=OC,

Z1=Z2,Z1=Z3,

•••/2=/3,

：.0C//AD,

.­.ZJDC+ZOCD=180°,

•••AD±CD,

.­.ZJZ>C=90°,

/.4OCD=180°-ZADC=180°-90°=90°,

.-.OC1CD,

•••X为。。的半径，

•••CD为。。的切线；

(2)解：如图，过点。作与〃，

：.AH=HE,

-OCA.CD,HD±CD,OH1HD,

ZOIID=ZADC="CD=90°,

•••四边形OS”为矩形，

••・48=10,DC=4,

OH=DC=4,HD=(JC=5,

在Rt△4OH中，04=5,OH=4,

••AH=ylOA2-OH2=>/52-42=3，

.-.AD=AH+HD=3+5=^t

在Rs/。。中，CD=4,43=8,

:AC=J。。2+AD?="2+”h4万，

•••AC的长为4石;

(3)解：如图，连接OE,

•••E是弧NC的中点,

-AE=CE^

••.N2=ZE。，

vZ2=Z1,

Z1=NECA,

:.EC//OA,

又•.①〃任，

•••四边形。4EC为平行四边形，

•：OA=OC,

四边形CMEC为菱形，

CE=AE=OC=OE=OA=5,S&OCE=S^OAE,

••.△OCE和4AOE为等边三角形，

ZAOE=ZCOE=ZOCE=60°,

••。地彤OCE~力刖形WE，

AS|fl影=S&CDE，

vZDCO=90°,

.-.ZDCE=30°,

在RSOCE中，CE=5,

.-.DF=1c£=|,CD=>ICE2-DE2=

**S&CDELDECD，鼠通出

22228

S用影=S&CDE

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理,圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形

的判定，勾股定理，直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的

面积，扇形的面积等知识点，掌握知识点的应用，根据题意作适当的辅助线是解题的关键.

27.（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变

形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决•些与

非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题.

【材料一】我们定义：一个整数能表示成『十从伍，》是整数）的形式，则称这个数为“完美数二例如，5

是“完美数”，理由：因为5=22+F,再如，M=犬+2封+2/=（》+刃2+/,a,丁是整数），所以〃也是

“完美数”.

【材料二】例如I,把二次三项式/一2工+3进行配方，可求其最也.

解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（A2-2x+1）+2=（.V-1）2+2

当x=l时，/一2x+3的最小值为2.

请通过阅读以.上材料，解决以下问题：

【解决问题】（1）下列各数中，"完美数''有_（只填序号）：①11：②34：@39；@60.

【探究问题】（2）若/一6工+13可配方成*-m）2+〃2（加，〃为正整数），则犷的值为二

（3）已知S=/+4融+5〃-勖+上①，是整数，左是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个左

值，并说明理由；

【拓展应用】（4）已知实数x,y均满足x-/=],求代数式x?+2/—4x+2028的最小值.

【答案】（1）②；（2）9；（3）16,理由见解析；（4）2025

【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题

的关键.

（1）依据“完美数”的定义求解即可；

(2)将y=r—6x+13配方成y=(x—机)2+〃2的形式，即可得解；

(3)S=a2+4ab+5h2-Sb+k=ia2+4ab+4b2)+(h2-Sb+k)=[a+2b)2+(b2-Sb+k),要使S为“完美数”,

则从一8〃+左需为完全平方式，故l=(-gj=16,据此求解即可；

(4)x2+2y2-4x+2028=(x-1)2+2025>2025,据此求解即可.

【详解】解：(1)由于②34=52+32,

所以②是完美数，

故答案为：@；

(2)由、=/-6.丫+13=(工-3)2+4=(工-3『+22,

,/y=/一6x+13可配方成y=(x-+n~,

/.m=3,n=2,

mn—32=9，

故答案为：9；

(3)k=\6,理由如下:

S=a2+4ab+5b2-Sb+k=(a2+4ab+4b2)+(b2-Sb+k)=(a+2b)2+(b2