2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷培优卷（浙教版）解析版

九年级数学上学期期中模拟卷•培优卷【浙教版】

全解全析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

1.一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，

则摸到红球的概率是()

A.熹B.gC.1D.1

【答案】D

【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

【详解】解：摸到红球的概率为：777=1.

故选D.

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

2.(2025・浙江•模拟预测)已知抛物线C：y=x2+4x-10,将抛物线C平移得到抛物线。，若两条抛物线

关于直线％=1对称，则平移的方法是()

A.将抛物线。向右平移4个单位B.将抛物线。向右平移5个单位

C.将抛物线。向右平移6个单位D.将抛物线C向右平移7个单位

【答案】C

【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律:

左加右减，上加下减.找一个点，经过平移后这个点与直线％=1对称，抛物线C与歹轴的交点为

做0,—10),与力点以对称轴对称的点是8(—4,一10),若将抛物线C平移到就是要将8点平移后以对

称轴％=1与A点对称，则B点平移后坐标应为(2,—10),因此将抛物线C向右平移6个单位.

【详解】解：•••抛物线Cy=x2+4x-10=(x+2)2-14.

：,抛物线对称轴为x=-2,

抛物线与y轴的交点为力(0,—10),

则与A点以对称轴％=-2对称的点是8(-4,-10),

若将抛物线。平移到C',并且。，。关于直线％=1对称，

就是要将B点平移后以对称轴％=1与4点对称，

则8点平移后坐标成为(2,—10),

因此将抛物线C向右平移6个单位.

故选：C.

3.（2025・广东深圳•模拟预测）二次函数丁=Q》2+b%+c（a,b,c为常数，QH0）的图象经过点40,m）,

8（2,—m）,C（-2,n）,。（一6,—m）,其中m,八为常数，那么任勺值为（）

3553

---a-

A.5B.3-3-5

【答案】A

【分析】本题考杳二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出8,。两点关于抛物线的对称轴对称，据

此得出a,b之间的关系，再将点4和点C代入二次函数解析式，进一步得出m,n之间的关系，最后用c表示

出m和n即可解决问题.掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

【详解】解：•4（2,-m）,0（-6—瓶）在二次函数丫=。/+以+。图象上，

••・»。两点关于抛物线的对称轴对称，

b-6+20

・"五=二=-2,

.,.b=4a,

^A（O,m）,8（2,-m）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，

•••m=c,4a+2b+c=—m,

.,.4a+2x4a+c=—c,

i

•••a=-o-c,

•••c（一2,71）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，

.,-4a—2b+c=n,

.,.n=4a—2x4a+c=—4a+c=—4x（—Ijc+c=|c,

mc3

-'-n=P=i-

故选：A.

4.（2025•陕西西安•模拟预测）已知一个二次函数图象经过匕（一3,月）,「2（—1》2），%（2,为），「4（3）4），

其中月＞丫2=丫4，则yi，72»中最值情况是（）

A.yi最大，丫3最小B.最小，力最大

C.丫3最小,最大D.yi最小,丫3最大

【答案】A

【分析】本题主要考杳了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运

用二次函数的性质是关键.依据题意，由图象过尸2（—1,次）和尸4（3,、4），可得抛物线的对称轴是直线％=字

=1,然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解•.

【详解】解：由题意,图象过尸2（—1,打）和尸4（3,y。，

..抛物线的对称轴是直线％=三上=1，

若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大，

：Pi（—3,yD到对称轴的距离为|一3—1|=4,「2（—1以）和「4（3）4）到对称轴的距离均为2,

又由于开口向上，

,力最大，且丫2=、4，

对于尸3（2,、3），其到对称轴的距离为|2—1|=1,是四个点中最近的，

••・力最小，

二>4>72=74>为即为最大，力最小，

若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时yi应小于>4,与条件矛盾，

综上，抛物线开口向上时结论成立，

•••力最大，丫3最小.

故选：A.

5.（202S•甘肃甘南•中考真题）已知二次函数'=。.丫2+人+««*0）的图象加图所示，有下列s个结论：

@abc<0：②bva+c；（3）4a+2b+c>0：④2c<3b；（5）a+b<m（am+（mol的实

数）.其中正确结论个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键.

开口向下得到Q<0；对称轴在y轴的右侧得到〃、b异号,则b>0：抛物线与y轴的交点在X轴的上方得到

c>0»所以abcVO；当％=—1时y<0,得到y=a—b^c<0,即a+c<h；对称轴为直线x=1,可得％=2

时y>0,即y=4a+2/?+c>0；利用对称轴无=—^=1得到Q=—初而Q—b+c<0,则一1—b+cV0,

所以2cv3b；开口向下，当x=l,y有最大值Q+匕+c,得到Q+匕+c>cun2+c,即

a+b>m(am+b)(mH1).

【详解】解：开口向下,a<0,

对称轴在y轴的右侧,Q、b异号，则b>0,

抛物线与y轴的交点化工轴的上方，o0,

.'.abc<0,所以①正确；

当x=-1时，y<0,即y=a—6+c<0,

即a+c<b,所以②不正确；

因为抛物线与x轴的一个交点在(0,0)和(一1,0)之间，对称轴为直线x=1.

所以抛物线与％轴的另•个交点在(2,0)和(3,0)之间，

则x=2时，y>0,

即;y=4a+2b+c>0,所以③正确；

因为对称轴为直线x=-5=1，则。=一务，而a-b+cvO,

则一如i+cVO,2c<36所以④正确；

开口向下，当x=l,y有最大值a+b+c；

当x=m(mH1)时，y=am2-+bm+c,

则a+匕+c>am2-+bm+c,

即a+b>m(ani+b)(m工1),所以⑤错误.

故①③④正确，共3个.

故选：C.

6.(2024•广东•模拟预测)如图，AB是。。的直径，0DIIAC,乙C。。=50。，则乙。的度数为()

【答案】C

【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题

的关犍.利用平行线的性质求出4c的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出〃。。

的度数，最后由等腰三角形性质求/D.

【详解】解：•••0D||AC,

LOCA=乙COD=50°.

•••OA=OC,

ALOCA=LOAC=50°,

LAOC=180°-50°-50°=80°.

•••乙COD=50。，

LAOD=^AOC+乙COD=80°+50°=130°.

,:OA=OD,

180°-130°

LD=LOAD==25°.

2

故选：C.

7.（2025・湖南长沙•一模）如图，已知O0是等边△48。的外接圆，连接力。并延长交。。于点。，交3C于

点、E.若。E=3,则四边形7I8OC的面积为（）

A.18V3B.2473C.36百D.72a

【答案】C

【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定

理、圆周角定理等，连接。B,根据等边三角形的性质得到48=4C,LBAC=60°,根据垂径定理得到

BE=CE,根据勾股定理求出BE,再根据四边形的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，连接OB,

•••△48。为等边三角形，

:.AB=AC,Z,BAC=60°,

：.AELBC,

.•/BAD=号乙BAC=30°,BE=CE,

"BOD=2Z.BAD=60°,

：./.OBE=30°,

：.OE=gOB=±OD,

•:DE=3,

：.OE=3,

•-08=OD=6,

由勾股定理得：BE=VOB?一阳=遥2-32=36

.♦.BC=6>/3»

•••S四边形A3DC=x8C=gx12x6V3=3673,

故选：C.

8.(2024•广东•模拟预测)如图，正六边形力呐接于。0,若丽的长为兀，则点。到BC的距离为

()

A.竽B.当C.1D.竽

【答案】A

【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接。B,OC,过。

作0MJL8C于点M,由正六边形ABCDEF内接于00,则AB=BC,48。。=60。，所以4B=BC,△80C

是等边三角形，然后通过弧长公式求出03=8C=3,由等边三角形性质可得8用=。用=匏。=：，最后通

过勾股定理即可求解.，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，连接。B,OC,过。作。M13C于点M,

F,------、E

•••正六边形力BCDEn内接于。0,

360°

：.AB=BC,48。。=嘤=60°,

6

.'.AB=BC,△B。。是等边三角形，

.-.OB=BC,BM=CM=1BC,

60nxOB

••・F-=凡

二08=8C=3,

:.BM=CM=^BC=I，

：.0M='OB2-BM2=J32-©=浮

•••点。到8C的距离为乎，

故选:A.

9.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过4、8、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）.

【答案】B

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作力8,BC的垂直平分线即可得到答案.

【详解】解：作4B的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

✓

✓

A✓

B

M

✓

✓,P

✓

Z

✓C

它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.

故选：B.

【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交

点是解决此题的关键.

10.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符

合这一结果的实验最有可能的是（）

频率八

0.34V-

0.33・

0.32

0.31

SoMojhjo'Goo次数

A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球

B.掷一枚质地均匀的正六面沐骰子，向上的面的点数是偶数

C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面

D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰了，两次向上的面的点数之和是7或超过9

【答案】D

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率PX133,计算四个选项的概率，约为0.33

者即为正确答案.

【详解】解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P=0.33,

A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为之不符合题

O

后、；

B、掷•枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为今不符合题意；

C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为：，不符合题意；

D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为:，符合题

意，

故选D.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

11.（2025•江苏盐城•中考真题）已知二次函数丫=必一2%—3,当自变量%满足0WXW4时，y的取值范围

是—.

【答案】-4Wy45

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解y的取值范围.

【详解】解：y=x2—2x—3=（x—l）2—4,

••・函数图象的对称轴为直线4=1,开口向上，

v0<x<4,

.•.当x=0时，y=-3；%=4时，y=5,当％=1时，'min=-4，

・•.y的取值范围是：-44y45,

故答案为：-4WyW5.

12.（2025•四川成都•二模）在平面直角坐标系xOy中，'（不，及）是抛物线〉=+以+c（a<0）

上任意两点，设抛物线的对称轴为直线％=t.当不=一1，%2=3时，%=、2,则£=；若小>%2，

对于％1+%2>4,都有月〈丫2，则/的取值范围为.

【答案】1t<2

【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.根据二次函数的性质求得对称轴即

可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出M（Xi，yi）与N（M，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称

性即可解答.

【详解】解：：对于=x2=3,有刈=丫2，

G—b+c=9a+3b+c,

8a+4b=0,

VX[+%2>4,

X1+X22

27乙

VG<0,

・♦・抛物线开口向下，

•.•若对于打+%2>4,都有力〈丫2，

・•.离对称轴的距离大于于%2四2），

则A1（xi,y1）与NQ2,y2）的中点在对称轴的右侧，

••・安>a

upt<2,

故答案为：1;t<2.

13.（2024•安徽合肥•一模）如图，△A8C内接于。。，BD为。。的直径,AB=AC,=70°,则

Z.ABD-乙CBD=°.

A

【答案】15

【分析】本题考查r三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题

的关键.连接8,根据圆周角定理得到=90。,根据三角形的内角和定理得到乙。风?=90°-70°=20°,

根据等腰三角形的性质得到乙4c8==（180。-70。）=55。，于是得到结论.

【详解】解：连接CD,

C/

A

•••BD为。。的直径,

•••1BCD=90°,

•••/BDC=N4=70。，

.­.ZD^C=9O°-7O°=2O°,

-AC=AB,

Z.ACB=4ABC=；x(180°-70°)=55°,

•••Z.ABD=/.ABC-乙DBC=35°,

:•乙ABD-乙CBD=35°一20°=15°,

故答案为：15.

14.(2024•湖北•模拟预测)如图，内接于。0,且AB=AC,直径4D交8。于点E,5是OE的中点,

如果BDIICF,BC=2近，则线段CD的长为.

【答案】V6

【详解】本题考查的知识点有圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一

的性质以及勾股定理.通过连接辅助线OC,利用圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等判定（HL、

ASA）以及勾股定理，逐步推导得出线段CD的长度.

【解答】解:连接OC,

•••AD是。。的直径,

.-.ZABD=ZACD=90°,

在Rt△ABD与Rl△ACD中,

,.AB=AC,AD=AD,

.,.Rt△ABDwRt△ACD,

.-.zBAD=Z.CAD,

­.AB=AC,

•,.zBAD=zCAD,

.-.ADIBC,BE=EC,

­.BD||CF,

.-.ZDBE=Z.FCE,

在ABED与4CEF中，

ZDBE=ZFCE

BE=EC,

/BED=ZCEF

ABEDieACEr,

.•.CF=BD,FE=ED,

vFE=ED,F是OE的中点，

••.OF=FE=ED,

设OF=FE=ED=a(a>0),则OD=OC=3a,

­.ADIBC,CE=1BC=y/5,

.-.OC2-OE2=CE2,

/.9a2—4a2=5,

a=I,

.-.ED=1,

.'.CD=VDE2+EC2=J12+(62=瓜

故答案为：V6.

15.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全

相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是.

【答案记

【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论.

【详解】解：•••由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，

黑色方砖在整个区域中所占的比值=卷=/

•••小球停在黑色区域的概率是也

故答案为：I

【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比.

16.如图，圆心角为90。的扇形4cB内，以BC为直径作半圆，连接48.若阴影部分的面积为（2口一2）,则

AC=___.

CB

【答案】2V2

【分析】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解.

利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空向部分面积求得阴影部分面积，继而根据已

知列方程求解.

【详解】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为Si,S2；两块空白分别为S3,S4,连接。C,如图所示:

A

由己知得：三角形ABC为等腰直角三角形，SI+S2=2TT-2,

••・BC为直径，

.'.Z.CDB=90°,即COJ.48,

故CO=DB=DA,

・•・。点为玩中点，由对称性可知而与弦围成的面积与S3相等.

设=BC=x,AB=y[2x,AD=CD=亨，

则S扇形"8一$3-$4=S1+52，

甘111c—90•万_7r/

县中,扇形力CB——360——49

2

S4=S&ACB—SgCD—S3=1*X—1•华•华—S3=今—S3,

故：于一53一(q_53)=2兀-2,

即(7T—1)为2=87T—8,

所以：Xi=2\[2,X2=-2V2(舍去)，

故答案为：2V2.

三、解答题(本大题共8小题，满分66分)

17.(6分)(2025•浙江•模拟预测)已知二次函数y=62+匕％+c(。力1是常数，帅工0)的图象经过

(L0)•

⑴若二次函数图象经过4(一1,4),以0,—1),求该二次函数解析式：

⑵若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：Q=c；

⑶若二次函数图象的对称轴为直线％=等,当力Nc时,求Q2+/+C2的最小值.

【答案】(l)y=3x2-2x-l

(2)见解析

(3储十炉十有最小值1.5

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟

练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.

(1)依据题意，通过待定系数法即可计算得解：

(2)依据题意，由抛物线的顶点落在x轴上，则炉-4ac=0,又Q+8+C=0,且bH0,可得

(-a-c)2-4ac=(a-c)2=0,从而可以得解；

(3)依据题意，对称轴为直线％且Q+b+C=O,先求出Q=l,从而b=-l-C,再求出C的范围,

然后根据Q2+b2+c2=2c2+2c+2=2(c+1)2+1.5,从而可以计算得解.

【详解】(1)解：•••图象过(1,0),

G+b+c=0,

又:•图象过4(一1,4),8(0,—1),

.(a—b+c=4

c=-l'

(a=3

''-\b=-2,

(c=-1

•••y=3x2—2x—1；

(2)证明：•••顶点落在x轴上，

•••b?—4ac=0,

vG+b+c=0,且b*0,

•••(—a—c)2—4ac=(a—c)2=0,

：•G=C;

(3)解：••・抛物线的对称轴为直线工=等，且a+b+c=0,

•••力00,

G-1,

b=-1-c,

又bNc,

：•c<—0.59

•，•将a=1,b=—1—c代入得次+/J2+c2=2c2+2c+2=2（c++1.5,

•••当c=-0.5时，d2+b2+有最小值1.5.

18.（6分）（2025•甘肃酒泉•二模）如图，已知二次函数丫=必+以+。的图象经过两点。（一2,5）与。

（2,-3）,且与％轴相交于4、B两点，其顶点为M.

⑴求点M的坐标；

⑵求△力的面积；

⑶在二次函数图象上是否存在点P,使若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由;

⑷把二次函数图象在x轴下方的部分沿%轴翻折，图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象，请你结合

这个新的图象回答：当直线y=%+m(〃i<1)与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

【答案】(l)M(l,-4)

(2)8

⑶存在,P(4,5)或(一2,5)

⑷-3<mV1

【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求

法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系.

(1)利用待定系数法将点C、点。的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出

其顶点坐标M.

(2)当y=0时，求出抛物线与工轴的交点坐标就可以求出4B的值，△4的高就是M的纵坐标的高的绝

对值.利用三角形的面积公式就可以求出其面积.

(3)设出点P的坐标为3a2—2Q—3),根据条件S"AB=百的加建立等量关系就可以求出P点的坐标.

(4)当直线y=%+v1)经过点4(—1，。)时，可以求出m的值，当直线y=%+V1)经过点8(3,0)

时可以求出m的值，再根据图象就可以求出m的取值范围.

【详解】(1)解：•••点C(一2,5)与D(2,-3)在二次函数y=好+必+c的图象上，

(5=4—2b+c

,•I-3=4+2b+c'

解得:二;,

•••抛物线的解析式为：y=x2-2x-3,

•••y=(x—i)2—4

-4)；

(2)解：当y=0时，则y=%2-2%一3二0,

解得％1=3,不=—1，

■••X(-l.O),8(3.0),

AB=4,

_4x4_

=-=H；

(3)解：设点P的坐标为(0/2—20—3),当点P在X轴的上方时,

•••4(a2—2a—3)x11x8,

解得：即=4,a2=-2,

”(4,5)或(-2,5),

当点P在X轴的下方时的点不存在.

”(4,5)或(一2,5)；

(4)解：如图，当直线y=x+V1)经过点4(一1,0)时，

zn=1,

当直线y=x+<1)经过点8(3,0)时,

.*.0=3+m,

：•m=-3

vm<1,

由图象得；-3VmVl.

19.（6分）（2025•陕西西安•模拟预测）某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为力、

仄C、。的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在

书中的故事.

A唐僧B孙悟空C猪八戒D沙悟净

游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好.小林先从口随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后,

背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张.

⑴小林抽到孙悟空的概率为；

⑵若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图

法说明这个游戏规则对双方是否公平？

【答案】⑴*

⑵此游戏规则公平，理由见解析

【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率；

（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求

出小林、小梅讲的概率，从而得出答案.

【详解】（1）解：小林抽到孙悟空的概率为

故答案为:

（2）解.：游戏规则公平，理由如下：

列表如下

ABCD

A(B，A)(C/)(。⑷

B(48)(&B)（。，8）

C(4C)(8,C)0,0

D（力刀）(“)(C,D)

共有12种等可能的结果，由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种,

•••由小林讲的概率为9

则由小梅讲的概率为1一六摄

•••此游戏规则公平.

20.（8分）（2025•广东•模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察

盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分.小丽从书包

里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，

并根据测量数据画出面碗的轴截UL如图2,面碗的上口径力8=24cm,碗底直径CD=EF=6cm,面碗的

边沿上一点8到桌面E尸的距离BG=8cm,碗足高DF=1cm.小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以

碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线），〃为y轴的平面直角坐标系（如图3）.

图1图2图3

⑴请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式；

⑵小丽向空面碗中倒入一些水，当水面MN与桌面EF的距离为2.4cm时，求此时面碗中水面MN的宽度.

【答案】⑴y=

⑵此时面碗中水面MN的宽度为12cm

【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；

（1）根据题意可知点8（12,7）、点0（3,0）,设抛物线的表达式为y=a/+c,然后根据待定系数法可进行求

解；

（2）由题意可知当MN与桌面£尸的距离为2.4cm时，则y=1.4,然后代入二次函数解析式可得*=±6,进

而问题可求解.

【详解】（1）解：由题意，可知点8（12,7）、点。（3,0）.

设抛物线的表达式为y=ax2+c,

（_7

・・・{7。=瑞『解得二里；

15

••・抛物线的函数解析式为y=强炉一卷.

(2)解：，:DF=lcm,

二当MN与桌面EF的距离为2.4cm时，则y=1.4.

当y=1.4时，T^X2-^=1.4,解得X=±6.

A03kO

•••MN=6—(-6)=12(cm).

答：此时面碗中水面MN的宽度为12cm.

21.(8分)(2025•湖南长沙•模拟预测)问题：将直线y=2%-1关于％轴对称所得的直线记为y1，求力的

函数解析式.

解决办法：

①设点PoQo.yo)是直线yi上的点：

②点Po(&,yo)关于%轴的对称点为P'(&,—yo)；

③点P在直线y=2X-1上，把点P'Qo,-y。)代入y=2%-1,得一加=2%0—1,则%=-2%+1,.••直线

yi的函数解析式为yi=-2x+1.

⑴结合上述解决方法，若y=X2+4x+3的函数图象与函数九的图象关于y轴对称，求函数y2的解析式；

⑵在(1)的条件下，当。3工工。+1时，y2的最小值为1，求a的值；

⑶在(1)的条件下，当时，直线y=2%+几与丫2的函数图象有2个交点，求?i的取值范围.

2

【答案】Wy2=x-4x+3

(2)Q的值为2+衣或1一加

(3)当1<x<5时，满足与图象有2个交点的n的取值范围是-6<n<-2

【分析】本题主要考杳二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键.

(1)依照轴对称的性质进行解答即可；

(2)求出函数丫2图象的对称轴为直线无=2,根据题意分Q>2和Q+1<2两种情况讨论求解卬可；

(3)画出函数图象，结合图象解答即可.

【详解】(1)解：设M(x,y)在丫2的函数图象上，则点M关于y轴对称的点N(—%y)在、=/+〃+3的图象

上，

2

把点N(—%,y)代入y=7+4%+3中，=(-%)+4x(-x)+3,则、=/-4%+3,

二函数g的解析式为丫2=X2-4x+3；

(2)解：•.了2=%2-4%+3=(%-2)2—1,

・•・函数图象的对称轴为直线％=2,%的最小值为一1，

•.•当a<x<a+1时，力的最小值为1，

•,.a>2或Q+1<2,

①当a>2时，丫2在％。处取得最小值1，

2

••.a—4a+3=1,解得Q=2+应或a=2—V2»

,：a>2,

.--a=2+V2：

②当a+l<2,即aVI时，力在％=Q+1处取得最小值1,

.•.(a+I)2-4(a+1)+3=1,解得a=1+&或a=1-V2,

,：a<1,

•••a=1—V2.

综上所述，a的值为2+四或1—加\

(3)解：当1WXW5时，直线y=2%十九与段的函数图象有2个交点;

令才2—4工+3=2x+n,整理，得——6x+3=n,

令)’3=x2—6%+3,y4=n,

在同一平面直角坐标系内y3与以右1<%<5的函数图象如解图，

当1WxW5时，满足丫4与丫3图象有2个交点的n的取值范围是一6VnW-2.

22.(8分)(2024•湖北•三模)如图，4氏”是O。中相等的两条弦,过点。分别作。尸于点尸,0G1AC

于点G.

D

⑴求证：OF=0G：

⑵延长OG交。0于点。，连接3D交F。的延长线于点£若0E=3,48=24,求。。的半径.

【答案】(1)见解析

⑵13

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅

助线是解题的关键.

(1)连接04证明Rt△。力/三RtAOAG,即可求证：

(2)连接力D,根据垂径定理可得=可证明△BEF三△40G,可得EF=DG,设。F=x,则

0G=x,DG=EF=0E+OF=3+x,OA=OD=2x+3.在Rt^OAG中，根据勾股定理可得x的值，即

可求解.

【详解】(1)证明：连接。4

•••OF148,OG1AC,

'.Z.OFA=Z.OGA=90°,AF=^AB,AG=^AC,

•.'AB-AC,

.'.AF=AG.

,：0A=0A,

*,«Rt△OAF三Rt△OAG>

.•.OF=OG；

(2)解：连接力D.

•••OG_LAC,

.'.AD=CD,

:•乙EBF=Z-DAG,

-AG=AF=BF,Z,AGD=乙BFE=90°,

:.ABEFwAADG,

:.EF=DG.

设0"=”,则OG=x,

DG=EF=0E-^-0F=3+x,OA=OD=2x+3.

由(1)得力6=*(?=^48=12

在Rt△。/G中，OA2-OG2=AG2,

.-.(2x+3)2-%2=122

,x=5或一9(舍去)，

•.OA=13,即OO的半径为13.

23.(12分)(2025•青海西宁•中考真题)如图，48,力C是。。的弦，AB=AC,半径OE,OF分别与弦月8,AC

垂直，垂足分别为G,H,4MII0广交0E于点区4VII0E交。/于点M连接。儿

(1)求证：^AOE=LAOFx

(2)求证：四边形HM0N是菱形；

(3)若/R=16.OA=10.贝IJOM=

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识

点是解题的关键：

(1)根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；

(2)先证明四边形HM0N为平行四边形，等积法推出0M=0N,即可得证；

(3)垂径定理结合勾股定理求出0G的长，设。M=4M=x,在Rt△力GM中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】(1)证明：-AB=AC,

■.•半径。瓦。尸分别与弦48/C垂直,

.••熊=BEAF=CF,

：.AE=BE=AF=CF,

：.Z.AOE=Z-AOFx

(2)证明："MIO凡AN\\OEf

.••四边形4MON为平行四边形，

•.•半径。£,OF分别与弦48,AC垂直,

:.AG=^AB,AH=^AC,

-AB=AC,

.-.AG=AH,

•••S四边形4M0N=OM-AG=ON-AH,

：.OM=ON,

.••四边形AMON为菱形；

(3)-AB=16,

••.4G=^AB=8,

在Rt^/IOG中，由勾股定理，得：OG="。2一心=6,

由（2）知：四边形4M