北京三帆中学2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】

/北京三帆中学2025−2026学年九年级上学期期末考试数学试卷一、单选题1．未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．抛物线的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线3．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（

）A． B．C． D．4．下列说法正确的是（

）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．某种中奖的概率是，因此买100张该种就一定会中奖C．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率5．已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（

）．A．点B在内 B．点C在上C．直线与相切 D．直线与相离6．如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（

）A． B． C． D．7．新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，已知抛物线，过，两点，其中，．有以下四个结论：①；②；③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④二、填空题9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是．10．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是．11．圆心角是的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为．12．如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为．13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是．14．如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是．15．如图，在平面直角坐标系中，，．将绕点A逆时针旋转，若的对应点恰好落在边上．则点B的对应点的坐标为．16．已知在中，，，，D是边上的一个动点，以为直径作，分别交、于点E、F，连接，则线段长度的最小值为．三、解答题17．计算：18．已知直线，在直线上方求作一点，使得．下面是小张的作法：①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；②以点为圆心，长为半径画圆；③在上任取一点（不与，重合），连接，．则为所求．（1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．，是等边三角形．．，（）（填推理的依据）．四边形内接于，（）（填推理的依据）．19．已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表．…012……300…（1）求二次函数的解析式．（2）①在平面直角坐标系中画出函数图象；②当时，的取值范围是；③当时，的取值范围是．20．如图，等边，在边延长线上取点D，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．21．已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值．22．如图，、是的两条弦，，过点O作交于点E，交于点G，延长交于点F．（1）求证：；（2）若，，求的半径．23．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表：每箱混入“红酥梨”个数/个012箱数/箱1mn若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为（1）求m和n的值；（2）小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率．24．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．①请通过计算，回答至少需要个消防喷淋头；②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围．25．如图，是的外接圆，D是的中点，过点D作直径交于点M，的延长线与的延长线交于点N，过点F作射线使得（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的长．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（2）为抛物线上两点，若对于，，都有，求c的取值范围．27．如图，是等边三角形，点E是边延长线上一点，连接，在边上取一点，使得，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．（1）①补全图形；②求的度数；（2）用等式表示线段和之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于上的点P和直线l，给出如下定义：将图形M绕点P逆时针旋转，再关于直线l对称，得到图形N，称图形N是图形M关于点P和直线l的“旋转对称”图形．已知点．（1）当直线时，①若点，，中，点是点A关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点；②若直线与点A关于点P和直线l的“旋转对称”图形有公共点，直接写出k的取值范围；（2）已知线段，直线，点，，若线段上的点都是线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点，直接写出点C的横坐标的取值范围．

答案1．【正确答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；故选．2．【正确答案】B【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．二次函数的对称轴是直线，据此解答即可得．【详解】解：抛物线的对称轴是直线．故选B．3．【正确答案】C【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．【详解】解：由题意得；故选C．4．【正确答案】D【分析】本题考查概率的基本概念，包括必然事件、概率的意义、列举法的适用条件以及频率与概率的关系，因此此题可根据定义逐一判断即可．【详解】解：∵A选项：射击运动员射击一次，命中靶心不是必然事件，可能发生也可能不发生，∴A错误；∵B选项：中奖概率并不意味着买100张一定中奖，因为每次购买独立，可能都不中奖，∴B错误；∵C选项：抛掷图钉时，针尖朝上和朝下不是等可能事件，无法用列举法求概率，∴C错误；∵D选项：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于常数p，则，符合概率的统计定义，∴D正确．故选D．5．【正确答案】C【分析】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是关键．通过计算点A到点B、点C的距离及点A到直线的距离，与半径比较即可判断．【详解】解：如图，过点A作于点H，∵，，，∴，在中，，∵的半径为3，∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误；∵，且，∴圆心A到直线的距离等于半径，∴直线与相切，故C正确，D错误．故选C．6．【正确答案】A【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作交于点，由正六边形内接于推得是等边三角形，结合三线合一定理、勾股定理即可求出的半径．【详解】解：作交于点，正六边形内接于，，，是等边三角形，∴，，，中，，则，解得．故选．7．【正确答案】B【分析】本题考查的是一元二次方程的实际运用平均变化率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：．根据平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程，即可解题．【详解】解：根据题意可得，，故选B．8．【正确答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质逐项分析即可判断．【详解】解：抛物线，过，两点，且，抛物线的对称轴为，即，．，，故①错误；，当时，．抛物线的对称轴为，时与时的函数值相等．，抛物线的开口向下．又且，当时，，当时，，即，故②正确；抛物线的开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，又当时，总有，点在对称轴左侧，点在对称轴左侧或右侧且距离对称轴较近，当时，要保证，则，故③正确；点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，，化简得，．，．，当时，，，故④正确．综上，正确的结论为②③④．故选D．9．【正确答案】【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数”是解题的关键．利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标互为相反数）计算即可．【详解】解：点关于原点的对称点：横坐标：，纵坐标.10．【正确答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的顶点式是关键．利用二次函数的顶点式，根据顶点坐标和开口方向确定参数．【详解】解：设二次函数的解析式为，∵顶点坐标为，∴，，即，∵开口向下，∴，取，得．11．【正确答案】【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键．【详解】解：该扇形的面积为.12．【正确答案】【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，再根据角的和差及圆周角定理求解即可．【详解】解：如图，连接，为的直径，，，，.13．【正确答案】【分析】本题考查一元二次方程根的个数问题，熟练掌握根的判别式与方程根的个数关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，得出判别式等于零，列出方程求解即可．【详解】解：在方程中，，，，判别式为化简得．∵方程有两个相等的实数根，∴，得，解得.14．【正确答案】10【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，根据切线的性质，切线长定理，得到，求出的长，进而得到的长即可．【详解】解：∵是的切线，A，C为切点，∴，∴，∴.15．【正确答案】【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可以判断出是等边三角形，进一步证明轴，用直角三角形的性质和勾股定理计算出和，求得答案．【详解】解：如图，由旋转的性质可知，旋转角，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴轴，在直角中，，，∴，∵，∴，，∴，由勾股定理得，，∴点的坐标为．16．【正确答案】【分析】本题考查了圆周角定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．连接、，过点作于点，由圆周角定理可得，可判断三角形是等腰直角三角形，从而，当最小时最小，的最小值为边上的高，接着先求，然后利用勾股定理求得，代入可得的最小值．【详解】解：在中，，，，则，连接、，过点作于点，如图所示：则，∵，∴，∴三角形是等腰直角三角形，∴，∴当最小时，的值最小，即当时，取最小值，最小值为，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．17．【正确答案】，．【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据公式法解方程即可．【详解】解：，，，，．18．【正确答案】（1）见详解（2）；同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆内接四边形对角互补【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆内接四边形对角互补的性质即可证得．【详解】（1）解：如图所示，为所求：（2）证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．，是等边三角形．．，（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半），．四边形内接于，（圆内接四边形对角互补），．故；同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．19．【正确答案】（1）二次函数的解析式为（2）见详解；或．【分析】（1）将表格中的点的坐标代入，可得，，，即可得二次函数的解析式；（2）描点连线，画出函数图象即可；由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，即可得的取值范围；函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围．【详解】（1）解：根据题意可得，解得，∴二次函数的解析式为．（2）解：函数图象如下图：，开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大，当时，，当时，，∴当时，的取值范围是．故．函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，，∴当时，的取值范围是或．故或．20．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由旋转的性质可得，再由等边三角形的性质可得，再证明，再由全等三角形的性质求解即可；（2）过点E作交的延长线于点H，由全等三角形的性质可得，再求得，由直角三角形的性质可得，，最后由勾股定理求解即可．【详解】（1）解：将线段绕点D顺时针旋转得到线段，，即是等边三角形，，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，在与中，，∵，，．（2）解：如图，过点E作交的延长线于点H，∵，，∴，∵，∵，∵，，∴，，，∵，，∴．21．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程，当判别式时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，若方程的两个实数根为、，则，．（1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出的值即可．【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．（2）设方程的两个实数根为、，且，∴，，由（1）可知：，∵为符合条件的最小整数，∴，∵该方程的较大根是较小根的倍，∴，∴，，∴，解得：，．当时，，则，符合题意，当时，，则，与不符，舍去，∴．22．【正确答案】（1）见详解（2）5【分析】（1）连接，由平行线的性质可得，，由圆周角定理可得，；（2）连接，设的半径为，根据垂径定理可得，．在直角中，使用勾股定理构造方程，解方程即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∴；（2）解：连接，设的半径为，∵，，∴，∴，∵，∴，在直角中，，∴，解得，，∴的半径为5．23．【正确答案】（1），（2）【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；（1）由概率公式求出，即可得出；（2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为，∴，∴，∴；（2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种，∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为．24．【正确答案】（1）（2）①4；②．【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点．（1）由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，然后运用待定系数法求解即可；（2）①设抛物线上横坐标为4的点为P，则，得到一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，据此求解即可；②由题意可设消防喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，当抛物线经过点或时，求得或，据此计算即可解答．【详解】（1）解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为，将点代入，得，解得，最外层水柱所在抛物线的表达式为；（2）解：①∵，∴当时，，解得或，设抛物线上横坐标为4的点为P，则，∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，，∴至少需要4个消防喷淋头；②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，当抛物线经过点时，有，解得（舍去）或，此时米，米．当抛物线经过点时，有，解得（舍去）或，此时米，米．综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为．25．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题主要考查圆的综合知识，等腰三角形的性质，锐角三角函数和勾股定理等知识点，熟练掌握以上性质是做题的关键．（1）先连接，，利用垂径定理的推论和圆周角定理，得出关键结论，再设，根据等腰三角形的性质，得出，最后根据切线的判定定理即可证明；（2）先过点作于点，利用垂径定理可得，再通过推导弧得出，再根据外角和对顶角的性质，得出，再根据的余弦值得出；设，由勾股定理得出，通过列方程解方程可得，最后根据勾股定理即可求值．【详解】（1）证明：如图，连接，，D是的中点且直径过点D，，，．由圆周角定理得，，．，．设，则，，，，即．是的半径，是的切线．（2）解：如图，过点作于点，则，．直径，，，，．，，，．，，．，，，，，．的直径，的半径为2．在中，，，．设，则由勾股定理得，，，即，解得，，即．在中，，．26．【正确答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键．（1）将抛物线转化为顶点式，即可求解；（2）先判断要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，且，然后分为开口向上，开口向下两种情况，接着结合抛物线的性质建立不等式解答即可．【详解】（1）解：∵，∴顶点坐标为；（2）解：∵，∴对称轴为，∵，∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，且，∴，设关于对称轴的对称点为，∴，∴，∴当时，其函数值与时相同，当时，函数图象开口向上，当时，随的增大而增大，∵，∴当时，取得最小值，∵对于，，都有，∴，∴，∵，∴矛盾；∴当时不符合题意；当时，函数图象开口向下，当时，随的增大而减小，当在对称轴左侧，那么在对称轴右侧，∴，∴，∵，∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，∵，∴，∴，故；当在对称轴右侧，那么在对称轴左侧，同理，可得，解得，矛盾，综上，．27．【正确答案】（1）①补全图形见详解；②（2），见详解【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②根据旋转的性质，等边对等角，得到，，进而得到，等边三角形的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可；（2）过点作，交于点，连接，易得为等边三角形，证明，进而得到，，推出为顶角为120度的等腰三角形，推出，再根据线段的和差关系，等量代换即可得出结论．【详解】（1）解：①由题意，补全图形如图：②∵旋转，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴；（2）解：，证明如下：过点作，交于点，连接，∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵旋转，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，，由（1）知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，作，则，∴，∵，，∴，∴．28．【正确答案】（1）①和；②或（2）或【分析】（1）①先论证点A关于点P和直线l的“旋转对称”图形的特征，是一个以为圆心，为半径的圆，判断每个点与的位置关系即可；②过定点，过点作的两条切线，k要在两条切线之间；（2）类比（1）的做法，先找到线段AB关于点P和直线l的“旋转对称”图形的特征，是一个以圆心，内径为，外径为的圆环，同时点C在直线上运动，研究线段与外圆相交或与内圆