4.3.2+等比数列的前n项和课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高中数学人民教育出版社

A版选择性必修第二册第四章数列4.3.2等比数列的前n

项和(第一课时)话说猪八戒西天取经后回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO,

可好景不长，因资金周转不灵集团陷入了窘境,急需大量资金投入，于是猪八戒就找到孙悟空帮忙.悟空一

口就答应：“行!我每天投资100万元，连续一个月(30天),但是有一个条件：作为回报，从投资的第一天起你必须返还我1元，第二天返还2元，第三天返还4元，……,即后一天返还数为前一天的2倍。”八戒听了心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万元；第二天：支出2元，收入100万元；第三天：支出4元，收入100万元……哇，发财了……”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我?

”问

：假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?分析：30天八戒吸纳的资金共3000万元。由于后一天返还数为前一天的2倍，且共有30天，所以八戒每一天返还悟空的钱依次是：1,2,22,2³,…,

228,229S30=1+2+2²+.….+28+229引入新课

选自《第七封印》人第1格：

1第2格：

2第3格：2²第4格：

2³第63格：

2⁶²第64格：263引入新课引入新课问题1:这位聪明的发明者到底要求的是多少麦粒呢?麦粒总数为1+

2

+

2²+

2³+…+

2³=人引入新课

公式推导探究S64的求法S₁=1S₂=1+2S₃=1+2+2²S₄=1+2+2²+2³S6₄=1+2+2²+2³+2³

2⁶⁴-1问题2:

大胆猜想S₆4应该等于多少?没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。—

牛顿=1=2-1=3=2²-1=7=2³-1=15=2⁴-1年树1sueMextn(1643-127),是两国著名的物进学家、数学室和天文学家，是十七世纪棋盘格数n

=53麦粒总数Sn

=9007199254740991A=(53,9007199254740991)n#536080100120200回归故事情境，总共要多少粒麦

粒?应用公式a1=1,q=2,n=64,S64=?60002000据已有资料，1000粒麦子的质量为40克，麦粒的总质量超过7000亿吨；按2023年世界小麦年产量7.9亿吨计算，是连续880多年的产量总和.粮食凑不够指数爆炸式增长的“威力”!国王做不到假想凑齐小麦，则可装满一个长10米、宽8米、高从地球到太阳距离大小

的“巨仓”.

(地球到太阳的距离大约

1.5亿千米)回归情境棋盘放不下引入新课

公式推导S₆₄=1+2+2²++2⁶²+2⁶3追问1:观察相邻两项的特征，有何联系?如果我们把每一项都乘以2,就变成了与它相邻的后一项①式两边同乘以2则有2S₆₄=2+2²+2³+…+2³+2⁶⁴②引入新课

公式推导追问2:比较①、②两式，你有什么发现?S₆₄=1+2+22S₄4=2+2²+2³+

…+2⁶³+

24

①

-

②得：

-

S

=1-2⁴即S=2⁴-164反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2?乘以3?2²?

2³?

等，会达到一样的效果吗?

人引入新课

式推导S=a₁

+aq+a₁q²+

+a₁

q”qs=aiqtaig^2+.+ai+

…+a₁q“⁻¹+a₁q”(1)-(2)得S

。-qS,=a₁-a₁q”

错位相减法(1-9)S,=a,(1-q”)31-9q=1,S

。=na错位相减法数列的错位相减法是数学史上逐步演变的经典求和技巧，核心源于对“等差

区等比”型数列求和需求的逻辑推导。从历史脉络来看，其思想可追溯至古希腊数学家阿基米德

(公元前287-前212年)——他在计算抛物线弓形面积时，首次运用了“构造等比数列、两边同乘

公比、错位相减消去中间项”的核心逻辑，这是错位相减法的雏形。后世数学家(如17世纪的欧洲数学家、明清时期的中国数学家)在处理级数求和问题时，逐步将这一逻辑规范化、公式化，最终形成了如今中学数学中针对“a

=等差数列×等比数列”的标准错位相减求和方法。由等比数列得问题1:你还有没有其它方法来证明等比数列的前n

项和公式?a2tasta4+・an=Sn-a欧几里德(Euclid)a

a2+as+・..ann-a由等比定理得假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?1,2,22,23,.….,228,229S30=1+2+2²+..+28+229=1073741823引入新课

公式推导等比数列的求和公式q=1,S=na

“知三求二”将

an=a₁q-¹

代入可得：当

q

不知道是多少时，

一定要对q=1和q≠1进行分类讨论!5.=“1-引入新课

公式推导

应用举例例1.已知数列{

a}是等比数列.(2

)

若a=270=2490.

求5若a

9=

求

5

,(1)(1)

若a=

=2解(1

)

因

为a=2

已

知a₁q

求S,引入新课

公式推导

应用举例例1.已知数列{

a}是等比数列.m¹引入新课

公式推导

应用举例例1.已知数列{

a}

是等比数列.可得27×解

(2)

由x=27.又由q<0,

得(2)若a=27.a,=4

q<0,

求S。已知a

an

求S则a,=a·q”-

¹得例1.已知数列{

a

是等比数列.③

若a=8.q=

一，s=³求”引入新课

公式推导

应用举例已知a,q

S

。求n9=1引入新课

公式推导

应用举例练习1

.已知数列{an}是等比数列。(1)若a₁=3,q=2,n=6,a₁=6S=189求

S;;引入新课

公式推导

应用举例na

q=1)-2---“9=1)

方程(组)的思想a₁,a,q,n,S,

知三求二末项项数公比首项前

n项

和引入新课

公式推导

应用举例例2:已知等比数列{a

前n项和为S,

若

S₃=3,S₆=84,

求公比q和a1.1-q,a=3,

代人S,=“₄(1-a')=3

中，可得a,=1解：显然

q≠1,

由引入新课

公式推导

应用举例练求公比q和41

·(1-q²)(1+q)=1+q²=5→q²=4→q=±2,

代入S₂=a₁+a₂=a(1+q)=3中，可得a=1

或-3人引入新课

公式推导

应用举例例3已

知：1+a+

a²+a³+a⁴+L+a”-⁻¹,求前n项和为S„解：

(1)当a=0时，S。=1(2)当

a=1时

，S。=n(3)

当a≠0,1时

，s。=1-a”a=0综

上

所

述

，S。

n

a=11-a

a≠0,1引入新课公式推导

应用举例思维拓展

巩固练习练

习

1求数列1,a,a²,..的前n项和Sn(a≠0)引入新课公式推导

应用举例思维拓展从函数的角度观察等比数列的前n项和q≠1、

二

叫

!

一记为A(A≠0)

S,=A-Aq"(q>0.q≠1)q”

(q≠1a₁1-qa₁

1-qS引

入新课公式推导

应用举例思维拓展巩固练习

课堂小结1.等比数列前n项和公式推导方法(错位相减法)2.等比数列前n项和公式(注意q的分类