初中数学几何模型(六)相似三角形模型

初中数学几何模型（六）相似三角形模型

（一）相似三角形的五大模型:

1.A字型与反A字型

2.8字型与反8字型

3.共角共边母子型相似模型（含射影定理）

5.旋转相似模型

A

A

（二）相似拓展模型

1.对角互补相似：如图,在RtmABC中,（3C=90。，点。是AB的中点，若13EOF=90。，求证：。

证明:连接OC、EF,

时AC、=90°,0E>F=90°,0C>E、0、F四点共圆,001=02;

色点0是AB的中点,（3OC=OA=OB=ABZ02）A=01,00A=02/

（30EOF=0ACB=9O,,,

配1EOF团回BCA,吼

变式一：如图，在KC3ABC乜I3C=9O°,点。是AB的中点，若G3EOF=90。，EMG3AB,FN0AB,垂足分别

是M、No求证:AM=0N。

证明：连接OC、EFO

O

0raA=02z0AME=GIFOE=9O/00EMA00EOF,0,

易证:0EMO00ONF,（一线三等角）

13,（3,0AM=ONo

变式二：如图，在RtSABC中，配=90。，点0是AB的中点，若回E、F=90°,连接E、，探究AE、E、、

BF的数量关系。（倍长类中线）

2.倒数相似（三平行）

如图,AB〃EF〃CD,求证：。

证明：13EF〃AB,团①，

SEF//CD,团②，

由①+②，得：

++===1,

两边同时除以EF,得：。

3.以等腰三角形（含等边三角形）为背景的一线三等角。

4.十字架模型：

（1）正方形对边两点之间的线段垂直，则这两条线段相等；

（2）正方形对边两点之间的线段相等，则这两条线段垂直；

题目：如图，在正方形ABC、中，E、F分别在BC、C、上，且BE、C、，探究AE、BF之间的关系，并

说明理由。

略解：

（1）AE与BF之间的位置关系:AE团BF;

（2）AE与BF之间的数最美系:AE=BF;由0ABE03BCF可得这两个关系。

变式1:如图所示，在正方形ABC、中,E是边C、上的点（点E不与C、D重合），连接BE,M是

上的点，过点作交、点交于点求证:

BEMGF0BEBCF,ADG,BE=FGa

变式2:如图，在正方形AB、D、，点E、H、F、G分别在AB、B、.CD、D、上，E、、GH交于点

0,且E、团GH,求证：E、=GHo

典型例题：

如图,是团的中线，点是上的一点,的延长线交于点求的

1.ADABCEADAEAD=14ZBEACF,AFCF

值。

提示：过点D作DG〃BF,交AC于点G。利用三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理就能

够求出AFCF的值。也可以过点D作AC的平行线与BF交于一点。

2.如图，在0ABe纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与回AEC相似

的小三角板，如果有4种不同的剪法，求AP长的取值范围。

解：（1）当过点P的直线平行于AB或BC时，

过点P作PD//AB,0PCD00ACB,

过点P作PE//BC,回APE团团ACB,

此时,0<AP<4o

（2）过点P作团APF交AB于点F,使团APF=BB,团APF回团ABC,此时,0<AP44。

（3）过点P作用CPG交BC千点G,使团CPG=13CBA,

当点G不与点B重合时,0CPG00CBA,

当点G与点B重合时,因CPG函CBA,0CP»CA,2CP,

此时，

0CP=1,0AP=3,3<AP<4O

综上所述,AP长的取值范围为3<AP<4o

3.在0ABe中，回ACB=90",AC=BC,直线MN经过点C,且ADEMN于点D,BE0MN于点E。（一线

三等角（全等）可以证明这两个问题。）

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①团ADCSOCEB;②DE=AD+BE。

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD-BE。

4.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，团OAB=30。，若点A在反比例函数y=（x>0）的图象上,

则经过点B的反比例函数解析式为。（一线三等角（相似））

解：过点A作AD0X轴于点D,点B作BC0X轴于点Co

一线三等角）

Q0BCO=0ODA=0AOB=9O0/0I3BCO013ODA,（

团,

00OAB=3O0/0AOB=9O°,

!3=tan300=,团=,

团点A在反比例函数y=上,0=|k|=3,0=1,

回点B在第二象限，团经过点B的反比例函数解析式为y=-。

5.问题1:如图1,在四边形ABCD中，回B=(3C=90。，P是BC上的一点，PA=PD,0APD=9O°.求证:

AB+CD=BC<>

问题2:如图2,在四边形ABCD中,BB=(aC=45°,P是BC上一点,PA=PD,0APD=9O°,求的值,

问题1:由一线三等角(全等)易证:0ABP团团PCD,

0AB=PC,CD=BF>0BR+RC=BC,0AB+CD=BCo

问题2:过点A作AE0BC于点E,过点D作DF团BC于点F。

由问题1可得：EF=AE+DF,

0AE0B