1.1 三角形内角和定理 第1课时（教学设计）-北师大版(2024)八下

第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定教师备课素材示例●情景导入在300多年前，法国有一位名叫布莱士·帕斯卡的天才数学家．传说他在12岁时，仅仅通过玩纸和线段，就独立发现了“任何三角形的三个内角加起来都是一个平角”这个伟大的规律．今天，我们就化身小帕斯卡，一起来重现这个伟大的发现，你们有信心吗？”(1)提出问题：“请你们先在草稿纸上任意画一个三角形，用量角器量出三个角的度数，并加起来看看，你的发现是什么？”·学生活动：动手测量、计算．结果可能会有微小误差(如179°，181°)．(2)引发认知冲突：“同学们的结果非常接近180°，但为什么会有误差？测量是确定真理的方法吗？我们能否找到一种无可辩驳的方法来证明它？”【教学与建议】教学：用历史故事激发兴趣和崇敬感．通过测量产生初步猜想，并立即用“测量误差”点出其局限性，为引入严谨证明做铺垫，制造“心求通而未得”的求知状态．建议：先让学生们自己动手操作，然后提出问题，引导学生们思考．●悬念激趣活动内容：如图，在打扫卫生时，小丽不小心把一块三角形的玻璃饰品打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．小东、小丽有不同的意见．小东：把①②③全部带去才行．小丽：没必要全带去，带①去就行了．小东和小丽两人谁的意见更合理呢？你能说出理由吗？【教学与建议】教学：通过回顾学过三角形全等的判定方法，引导学生思考证明，为后面利用三角形全等证明等腰三角形的性质定理做好铺垫．建议：先回顾学过的全等知识，再解决生活中的实际问题．命题角度1三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于180°.【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题：(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)；(2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．(1)解：①②③(2)证明：当选择图①时，如图①.∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，∴三角形的内角和为180°.当选择图②时，∵CE∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴三角形的内角和为180°.当选择图③时，∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，∠FDE＝∠AED＝∠C.∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴三角形的内角和为180°.(答案不唯一，选择一种方法证明即可).命题角度2全等三角形的性质与判定判定两个三角形全等的方法主要有SSS，SAS，ASA，AAS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为__65°__．【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，))∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.高效课堂教学设计1．通过操作与探究，发现并理解三角形内角和等于180°.2．掌握至少两种证明三角形内角和定理的方法(拼接法与平行线法)．3．能运用定理解决简单的角度计算问题．4．利用相关的基本事实和已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，并掌握全等三角形的性质．▲重点探索三角形的内角和．▲难点三角形内角和定理及“AAS”定理的推导和论证．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．旧知回顾(1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空：已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2.证明：∵∠1＝∠B(____________)，∴AD∥BC(____________).∴∠C＝∠2(____________).(2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).③三边对应相等的两个三角形全等(SSS).2．课堂导入实践出真知，想一想、议一议：如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．(课件)⇨生：看图读题，并思考怎样做，在小组内交流．师：需要什么知识来解决呢？生：小组汇总意见，推荐代表发言——可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角．3.提出问题(1)我们已经知道三角形按角分类，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么三角形的三个内角和有什么关系呢？(2)我们在七年级下册已经学过判定三角形全等的3种方法(SAS，ASA，SSS)，还有其他的方法可以判定三角形全等吗？全等三角形有哪些性质呢？◆活动2实践探究交流新知【探究1】三角形的内角和1．量一量：一副三角尺的每个角各是多少度？每个三角尺的三个内角的和各是多少？2．猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？3．动动手，仔细观察：(1)拼拼看：将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？(2)观察；小组内观察比较，会得到什么结论？4．你能行：你能设计一种方案来说明你的结论吗？(课件出示两种基本的说理方法)教师点拨：三角形的内角和定理的证明方法很多，但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题．5．你真行：(课件演示)几种常见的验证方法的辅助线作法．经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：【归纳】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.【探究2】三角形全等的性质及判定证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA).【归纳】1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)。2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．◆活动3开放训练应用举例【例1】课本P3例1【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数解：在△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝65°.在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.【例3】如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.(1)求证：△ABD≌△EDC；(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.又∵AB＝ED，∠1＝∠C，∴△ABD≌△EDC(AAS).(2)解：∵△ABD≌△EDC，∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.◆活动4随堂练习1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,∠B＝∠E，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE.3．课本P4随堂练习T14．课本P4随堂练习