1.3 直角三角形 第1课时（教学设计）-北师大版(2024)八下

3直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定教师备课素材示例●复习导入1.什么是勾股定理？定理：__直角__三角形__两条直角边__的平方和等于__斜边__的平方．2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)若a＝3，c＝5，则b＝__4__．(2)若a＝6，∠A＝30°，则b＝__6eq\r(3)__．(3)若a＝6，∠A＝45°，则c＝__6eq\r(2)__．3．下面几组数中，不能组成直角三角形的是(B)A．5，12，13B．4，6，8C．2，3，eq\r(13)D．eq\r(41)，4，5【教学与建议】教学：复习旧知，激发学生的学习兴趣．建议：问题1，2口答，问题3进行小组合作讨论解决．●悬念激趣古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？学了今天的知识，我们就能明白其中的道理了．【教学与建议】教学：由古代埃及数学问题，创设问题情境，激发学生的学习兴趣．建议：学生思考回答后导入课题．命题角度1判定直角三角形判断直角三角形的方法：(1)有一个角为直角；(2)两个锐角互余；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【例1】满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(B)A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长分别为5，12，14C．三边长之比为3∶4∶5D．三角形三个内角中有两个角互余【例2】若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为__4.8__．命题角度2折叠问题理解折叠前后的图形全等，找准相等的角和边，利用方程思想，结合勾股定理算出要求的线段或角．【例3】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是(D)A．AF＝AEB．EF＝2eq\r(5)C．△ABE≌△AGFD．AF＝EFeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))【例4】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝8cm，BC＝10cm，则EC＝__3__cm.命题角度3勾股定理的应用利用勾股定理解决实际问题，先构建直角三角形，再利用勾股定理解决问题．【例5】如图，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少是(B)A．5mB．7mC．8mD．9meq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6题图）))【例6】如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为__2.9__m(结果精确到0.1)．命题角度4最短路程此类问题一般将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，确定最短路程．求解过程中常构建直角三角形，用勾股定理求出相关线段的长．【例7】图①所示的正方体木块的棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为__(2eq\r(2)＋2eq\r(6))__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②)),(例7题图))Ｂeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例8题图）))【例8】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)解：eq\f(1,2)×(2×3)×3＝9(cm)，eq\r(122＋92)＝eq\r(125)＝15(cm).∴需要爬行的最短路程是15cm.命题角度5互逆命题(定理)的识别交换命题的条件部分与结论部分，则得到的新命题与原命题为互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，而互逆定理一定是互逆命题．【例9】下列说法正确的是(A)A．每个命题都有逆命题B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题D．假命题的逆命题是假命题【例10】下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°高效课堂教学设计1．掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理．2．了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义．▲重点掌握直角三角形的性质定理及判定定理、勾股定理及判定定理的证明方法、会识别互逆命题、互逆定理．▲难点勾股定理及其逆定理的证明．◆活动1创设情境导入新课(课件)出示填空．(1)每个命题都是由__条件__、__结论__两部分组成，命题“对顶角相等”的条件是__对顶角__，结论是__相等__；(2)“对顶角相等”是__真__命题；“我们是小学生”是__假__命题；(填“真”或“假”)(3)把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式：__如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等__；(4)直角三角形的两个锐角__互余__；有两个角互余的三角形是__直角三角形__；(5)说出你知道的勾股数，勾股定理的内容是：__直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方__．◆活动2实践探究交流新知【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？性质定理1：直角三角形的两个锐角互余．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°.性质定理1逆定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三角形．证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．【探究2】勾股定理及其逆定理问题1：直角三角形的三条边有什么样的数量关系？问题2：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？性质定理2：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图①，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))分析：要从边的关系推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt△A′B′C′(如图②)，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC，则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理).∵AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＝B′C′2，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等).因此，△ABC是直角三角形．【探究3】互逆命题和互逆定理观察下面三组命题，它们的条件和结论之间有什么关系？(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(如果两个角是对顶角，那么它们相等．,如果两个角相等，那么它们是对顶角．))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧．,如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．))(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一个三角形中相等的边所对的角相等．,一个三角形中相等的角所对的边相等．))想一想：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗？互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．◆活动3开放训练应用举例【例1】若a，b，c能构成直角三角形，则它们的比可能为()A．2∶3∶4B．3∶4∶6C．5∶12∶13D．4∶6∶7【方法指导】勾股定理逆定理的运用．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，选项C中，52＋122＝132，所以答案是C.答案：C【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．【方法指导】给出△ABC是直角三角形，同时给出两边的长，我们会想到利用勾股定理来解题，再利用面积作为桥梁，求CD的长．解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，∴由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(502－302)＝40.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\f(30×40,50)＝24.【例3】(1)写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题，并判断这个逆命题是真命题还是假命题；(2)写出定理“对顶角相等”的逆命题，并判断其是否是原定理的逆定理．【方法指导】(1)该命题的条件与结论很清楚，只要将条件与结论互换即可得逆命题，然后判断其真假；(2)此定理的条件与结论都是略写的形式，要注意写出的逆命题必须是完整的，不能简单地说成“相等是对顶角”．解：(1)逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题．(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．这个命题是假命题，所以它不是原定理的逆定理，即原定理没有逆定理．◆活动4随堂练习1．已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为__5或eq\r(7)__cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形AB