新课标2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件与概率教师用书

第三节随机事务与概率

考试要求：1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性.

2.了解概率的意义及频率与概率的区分.

3.了解两个互斥事务的概率加法公式.

--------、必备知识-回顾教材重“四基”/—

一、教材概念-结论-性质重现

1.确定试验的样本空间

(1)样本点和样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E

的样本空间.一般地，我们用名表示样本空间，用幺表示样本点.

(2)有限样本空间

假如一个随机试验有〃个可能结果0，如,…，％,则称样本空间。={3］，3，…，

3〃}为有限样本空间.

2.事务类型的推断

(1)随机事务

我们将样本空间一的子集称为随机事务,简称事务，并把只包含二仝样本点的事务称为

基本领件.随机事务一般用大写字母人反。，…表示.在每次试验中，当且仅当力中某个

样本点出现时，称为事务月发生.

(2)必定事务

。作为自身的子集，包含了全部的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。

总会发生，我们称0为必定事务.

(3)不行能事务

空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不行能事务.

3.事务的关系

(1)互斥(互不相容)

一般地，假如事务力与事务6不能同时发生,也就是说如应是一个不行能事务，

定义

即in6=2,则称事务/与事务8互斥(或互不相容)

含义月与夕不能同时发生

符号

表示

图形

表示OQ

(2)互为对立

一般地，假如事务力与事务4在任何一次试验中有且仅有一个发生，

定义即4U40,且那么称事务4与事务8互为对立.事务

力的对立事务记为7

含义力与6有且仅有一个发生

符号表示4rl8=0,/2左=Q

图形表示&

4.事务的运算

(1)包含关系

一般地，若事务力发生，则事务6肯定发生我们就称事务8包含事

定义

务力(或事务/!包含于事务而

含义力发生导致N发生

符号表示里/（或AQ_/j）

图形表示

假如事务4包含事务4事务A也包含事务B,即应力且4B,则称

特殊情形

事务力与事务4相等，记作―

(2)并事务(和事务)

一般地，事务力与事务4至少有一个发生,这样的一个事务中的样本点或者在

定义事务月中，或者在事务〃中，我们称这个事务为事务力与事务日的并事务(或

和事务)

含义力与月至少一个发生

符号表示力U/?(或力+而

图形表示

(3)交事务(积事务)

定义一般地，事务力与事务〃同时发生,这样的一个事务中的样本点既在

事务力中，也在事务〃中，找们称这样的一个事务为事务力与事务〃

的交事务(或积事务)

含义力与6同时发生

符号表示或AB)

图形表示050

微提醒■■■

互斥事务与对立事务都是指两个事务的关系，互斥事务是不行能同时发生的两个事务，

而对立事务除要求这两个事务不同时发生外，还要求必需有一个发生.

~~5.概率的基本性质

性质1：对随意的事务4都有次用廿0.

性质2：必定事务的概率为1,不行能事务的概率为0,即P(0)=LA0)=0.

性质3：假如事务力与事务外互斥，那么狄力U0=/([)+亚历.

性质4：假如事务月与事务0互为对立事务，那么性而=.一夕(1),P(力)=1一尸(而.

性质5：假如月G8,那么狄⑷生P⑦.

性质6：设力,4是一个随机试验中的两个事务，我们有P(HU^=产(一+夕(而一产a

C协.

微提醒■■■♦

1.随机事务人〃互斥与对立的区分与联系

当随机事务46互斥时，不肯定对立；当随机事务儿夕对立时，肯定互斥.

2.从集合的角度理解互斥事务和对立.事务

(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事务力的对立事务，所含的结果组成的集合，是全集中由事务/I所含的结果组成的

集合的补集.

二、基本技能-思想-活动阅历

1.推断下列说法的正误，对的打“J”,错的打“X”.

(1)事务发生的频率与概率是相同的.(X)

(2)做机事务和随机试验是一回事.(X)

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(V)

(4)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生.

J)

(5)若46为互斥事务,则PG4)+P(0=1.X)

（6）对立事务仃定是巨斥事务，与斥事务不仃定是对立事务.

（J）

2.（2024•芾田期末）一个不透亮的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的

大小、质地完全相同，采纳不放回的方式从中摸出3个球.下列事务为不行能事务的是（）

A.3个都是白球

B.3个都是红球

C.至少1个红球

D.至多2个白球

A解析：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不行能事情，故A

选项正确.摸出的3个球都是红球是随机事务，故B选项错误.摸出的球至少一个红球是必

定事务，故C选项错误.摸出的球至多2个白球是必定事务，故D选项错误.故选A.

3.（2024•烟台期末）抛掷一枚质地匀称的正六面体骰子，其六个面分别标有数字

1,2,3,4,5,6,视察朝上一面的点数，设事务力=“点数为奇数”，5="点数为4”，则/与

8的关系为（）

A.互斥B.相等

C.互为对立D.相互独立

A解析：事务力与8不行能同时发生，但能同时不发生，故/与8是互斥事务.

4.（多选题）口袋里装有：红，2白，3黄共6个形态相同的小球，从中取出2球，事务

M=”取出的两球同色”，“取出的两球中至少有一个黄球”.S="取出的两球至少有一

个白球"，T="取出的两球不同色"，H="取出的两球中至多有一个白球”则（）

A.”与7互为对立B.内与S互斥

C.S与〃互斥D.、与，不互斥

AD解析：对于选项A,羿务.—“取出的两球阿色”，片”取出的两球不同色”，明显

不行能同时发生，且也不行能都不发生，所以M和7是对立事务.故选项A正确.对于选项

B,假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以内和S不是互斥

事务，故B选项错误.对于选项C,假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则S和〃

同时发生，所以S和//不是互斥事务，故C选项错误.对于选项D,假如“取出的两个球为

一个白球和一个黄球”，则川和〃同时发生，所以N和〃不是互斥事务，故D选项正确.

5.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表:

分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

频数234542

则样本数据落在区间口0,40）的频率为_________.

0.45解析：落在［10,40）的频率为2+2+,=o.45.

6.一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放问的条件卜，再摸

出1个白球的概率是________.

2

7解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上.就是其次次摸到白

□

2

球的概率.因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为二.

5

、关键能力•研析考点强“四翼’7

考点1随机事务的关系一一基础性

「典例引领」

例U,⑴（多选题）（2024・枣庄期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有

2个红色球（标号为1和2）,2个^色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2

个球，每次摸出一个球.设事务用=”第一次摸到红球“，仁“两次都摸到红球”，G="两

次都摸到绿球”，加一“两球颜色相同”，川一“两球颜色不同”，则（）

A.RSRB.RCG=。

C.RUG=¥D.J/=N

BCD解析：由题意知，R=”两次都摸到红球"，R\="第一次摸到红球”，所以生心

故选项A错误.

因为人“两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”，两个事务没有公共的基本领件，

所以"nG=。，故选项B正确.

因为传“两次都摸到红球”，A“两次都摸到绿球”，.仁“两球颜色相同”，故"或G

表示摸的两个球的颜色相同，所以"UG=M故选项C正确.

因为.g“两球颜色相同”，A-“两球颜色不同”，由对立事务的定义可知，.Q彳，故

选项【）正确.

（2）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事

务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”的关系是（）

A.既不互斥也不对立

B.既互斥又对立

C.互斥但不对立

D.对立

C解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1

张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”不能同时发生：但能同时不发生,

所以事务“甲分得红牌•”与事务“乙分得红牌.”的关系是打斥但不对立.

故选C.

解题通法

推断互斥事务、对立事务的两种方法

(1)定义法：推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为

互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互

斥事务.

(2)集合法；①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥.

②事务A的对立事务所含的结果组成的集合,是全集中由事务A所含的结果组成的集合

的补集.

「多维训练」

1.同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事务是()

A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”

C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”

C解析：在A中，”至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且

“至少有1枚正面朝上”不发生时，”2枚都是反面朝上”肯定发生，故A中的两个事务是

对立事务.在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，】枚反面朝上时，”至少有1枚正面朝

上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事务不是互斥事务.在C中，“恰

有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有

可能发生也有可能不发生，故C中的两个事务是互斥而不对立事务.在D中，当2枚硬币同

时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两

个事务不是互斥事务.故选C.

2.口袋里装有6个形态相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个.从中取出

两个球，事务/="取出的两个球同色“，8="取出的两个球中至少有一个黄球”，仁“取

出的两个球中至少有一个白球”，〃=”取出的两个球不同色”，片“取出的两个球中至多有

一个白球”.下列推断中正确的序号为.

①力与〃为对立事务：②4与。是互斥事务：③。与〃是对立事务：④尸(OJQ=1；⑤

P(囱="(0.

®®解析：明显力与〃是对立事务，①正确：当取出的两个球为一黄一白时，B与C

都发生，②不正确：当取出的两个球中恰有一个白球时，事务。与6都发生，③不正确；C

4Q

U£'为必定事务，夕(CU£)=1,④正确；P1母=二,尸(。=?⑤不正确.

00

考点2随机事务的频率与概率一一基础性

「典例引领」

例❷♦如图，1地到火车站共有两条路径〃和现随机抽取100位从力地到达火车站

的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择的人数612181212

选择〃的人数0416164

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率：

(2)分别求通过路径A和乙所用时间落在上表中各时间段内的频率:

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允

许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解：(1)由已知共调查了：00人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=

44(70,

所以用频率估计相应的概率p=—=0.44.

(2)选择A的有60人，选择介的有4()人，

故由调查结果得频率为

所用时间(分)10〜2020〜3030〜4040〜5050〜60

选择L、的频率0.10.20.30.20.2

选择乙的频率00.10.40.40.1

⑶设4,《分别表示甲选择A和点时,在40分钟内赶到火车站;R,《分别表示乙选

择乙和乙时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知PU)=0.1+0.2+0.3=0.6,

尸(4)=0.1+0.4=0.5.

因为2(4)＞户(册,所以甲应选择A

同埋，m)=0.1-1-0.2+0.3+0.2=0.8,

m)=0.1+0.44-0.4=0.9.

因为〃(团〈尸(艮)，所以乙应选择乙

解题通法

1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通

常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计

值.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

2.随机事务概率的求法

利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重处试验，事务发生的频率会渐渐趋

近于某一个常数，这个常数就是概率.

提示：概率的定义是求一个事务概率的基木方法.

「多维训练J

1.在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上

的频率为（）

A.49B.0.5C.0.51D.0.49

C解析•：由题意，依据事务发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为总=0.51.

2.某学校共有教职工12。人，对他们进行年龄结构和受教化程度的调查，其结果如下

表：

本科探讨生合计

35岁以下403070

35〜50岁271340

50岁以上8210

现从该校教职工中任取】人，则下列结论正确的是（）

A.该校教职工具有本科学历的概率低于60%

B.该校教职工具有探讨生学历的概率超过50%

C.该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

D.该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率超过10%

755

I）解析：对于选项A,该校教职工具有本科学历的概率夕=e=凄=62.5%>60%,故A

1/Uo

453

错误.对于选项B,该校教职工具有探讨生学历的概率,=赤=1=37.5斌50%,故B错误.对

IZUo

于选项C,该校教职工的年龄在50岁以上的概率〃=线=3~8.3%410叫故C错误.对于

选项D,该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率夕=/=：=12.5%>10%,

IZUo

故D正确.故选D.

考点34斥事务与对立事务的概率一一综合性

「典例引领」

考向1互斥事务的和事务

例❸♦某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超

市购物的100名顾客的相关数据，如表所示.

一次购物量（件）1-45〜89〜1213〜1617及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间（分钟/人）11.522.53

已知这100位顾客中的•次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）求x,y的值.

（2）求顾客•次购物的结算时间超过2分钟的概率.

解：（1）由已知得25+y+10=55,30=45,所以彳=15,y=20.

（2）记J：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；

4：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟：

左；该顾客一次购物的结莫时间为3分钟.

将频率视为概率可得P（加="（4）+尸（4）=需+益=0・3.

考向2“至多”“至少”型问题的概率

例0・经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如卜.:

排队人数012345及以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：（1）至多2人排队等候的概率:

⑵至少3人排队等候的概率.

解：记“无人排队等候”为事务力，“1人排队等候”为事务员“2人排队等候”为事务

。，“3人排队等候”为事务〃“4人排队等候”为事务£；“5人及5人以上排队等候”为事

务E则事务4B,C,D,E,尸彼此互斥.

⑴记”至多2人排队等候”为事务G,则G=/l+4+C,所以P（6）=P（力+/?+。=f（冷

+P（/+P（O=0.1+0.16+0.3=056.

⑵（方法一）记“至少3人排队等候”为事务//,则/-〃+£+凡所以PUD=PgE+

。I&aIP6=0.3I0.1I0.04=0.44.

（方法二）记“至少3人排队等候”为事务//,则其对立事务为事务G,所以WZI=1-

^（6）=0.44.

解题通法

求困难互斥事务概率的两种方法

（1）干脆法：将所求事务分解为一些彼此互斥事务的和，运用互斥事务概率的加法公式

计算.

（2）间接法：先求此事务的对立事务，再用公式汽冷=1一义7）求得，即运用逆向思维

（正难则反），特殊是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便.

提示：应用互斥事务概率的加法公式，肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥，然

后求出各事务发生的概率，再求和（或差）.间接法体现了“正难则反”的思想方法.

-考向3与其他学问的综合

例©•某中学的学生主动参与体育熬炼，其中有96%的学生喜爱足球或游泳，60%的学

生喜爱足球，82%的学生喜爱游泳，则该中学既喜爱足球乂喜爱游泳的学生数占该校学生总

数的比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

C解析：记“该中学学生喜爱足球”为事务儿“该中学学生喜爱游泳”为事务属则

“该中学学生喜爱足球或游泳”为事务力+8,“该中学学生既喜爱足球又喜爱游泳”为事务

AB,

则〃（a=0.6,，（面=0.82,〃（/+劣=0.96,

所以巩AB=P（A）+P（身-P{A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.

解题通法

概率综合问题求解须要明确概率类型，从而选择相应概型公式求解.特殊留意“至

多……至少……”"不少于……”等语句的含义，可利用对立事务的概率快速解决.

「多维训练」

1.抛掷一个质地匀称的骰子的试验，事