初中数学专题10一次函数中的四边形问题（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题10一次函数中的四边形问题知识对接考点一、怎样解一次函数中的四边形问题四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形（公式法）；不规则图形（切割法）不含参数问题；含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。专项训练一、单选题1．如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，将线段沿某个方向平移，点、对应的点、恰好在直线和直线上，则当四边形为菱形时点坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出A(0，k)和B(-1，0)，B的对应点N的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A的对应点M更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的横坐标为3，将M点横坐标代入中即可求出M坐标，进而求解．【详解】解：令中y=0，得到B(-1，0)，令x=0，得到A(0，k)∵B的对应点N在上∴N点横坐标为2，故AB往右平移了3个单位∴M点横坐标为3，将x=3代入中解得y=4故M点的坐标为(3，4)又四边形为菱形∴AB²=AM²∴1+k²=3²+(4-k)²，解得k=3∴A(0,3)即AB往右平移3个单位，往上平移了1个单位故N坐标为(2，1)故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形的两边分别交于点，（点在点的上方），连接，，若的面积为，直线的运动时间为秒（），则与的函数图象大致是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B．C． D．【答案】C【分析】当直线l从A开始运动，MN逐渐增大，到经过点MN达到最大值，此时AM=2,故运动时间为2，此时;当直线l从D开始运动，MN保持不变，到经过点B，此时AB=4，故运动时间为2,此时;当直线l从经过B的位置向右开始运动，MN开始减小，到经过点C，MN为0，此时BG=2，故运动时间为2，此时三种情形，确定面积S与t的函数关系式，根据关系式确定图像即可．【详解】解：由题意知AB=AD=CD=BC=4∵∠BAD=60°∴当直线l经过点D时，运动时间为2∴C的横坐标为6如图1，当时更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher轴图像是经过原点，开口向_上的--段抛物线;如图2，当时，MN是定长图像是经过原点，正比例函数上的一段；的比例系数2大于∴面积线段的倾斜度要比的陡；如图3，当时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得∴直线的解析式为∴N坐标为M坐标为图像是开口向下的一段抛物线;

故选：C．【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher3．如图，在平面直角坐标系中，四边形，…都是菱形，点…都在x轴上，点，…都在直线上，且，则点的横坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别过点作轴的垂线，交于，再连接，利用勾股定理及根据菱形的边长求得、、的坐标然后分别表示出、、的坐标找出规律进而求得的坐标．【详解】解：分别过点作轴的垂线，交于，再连接如下图：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在中，根据勾股定理得：即解得：的纵坐标为：，横坐标为，四边形，，，都是菱形，，，的纵坐标为：，代入，求得横坐标为2的纵坐标为：，代入，求得横坐标为5，，，，；，，则点的横坐标是：故选：A．【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列点的坐标，找出规律是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher曲线在第一象限经过点D．将正方形ABCD沿x轴向左平移（）个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上．A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】先求解的长度，如图，过作轴于交反比例函数于证明利用全等三角形的性质与反比例函数的解析式分别求解的坐标，从而可得答案.【详解】解：直线与x轴、y轴分别相交于点A，B令令则如图，过作轴于交反比例函数于四边形ABCD是正方形更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则同理：把代入把代入所以将正方形ABCD沿x轴向左平移个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上．故选：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键.5．如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴正半轴上，四边形是菱形．已知点坐标为，则直线的函数解析式为（）．A． B．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherC． D．【答案】C【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，在Rt△ABH中利用勾股定理得到t，再利用P为OB的中点得到P，然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图∵四边形ABCO为菱形∴OP＝BP，OA＝AB设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t∵点B坐标为（5，）∴BH＝，AH＝5﹣t在Rt△ABH中，（5﹣t）2+（）2＝t2，解得t＝3∴A（3，0）∵P为OB的中点∴P（，）设直线AC的解析式为y＝kx+b把A（3，0），代入得，解得∴直线AC的解析式为y＝x+．故选：C．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了菱形的性质．6．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形OABC是菱形．已知点B坐标为(3，)，则直线AC的函数解析式为（）A．y＝x+ B．y＝x+2 C．y＝﹣x+ D．y＝﹣x+2【答案】D【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，在Rt△ABH中利用勾股定理得到（3﹣t）2+（）2＝t2，解方程求出t，得到A（2，0），再利用P为OB的中点得到P（，），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图∵四边形ABCO为菱形∴OP＝BP，OA＝AB设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t∵点B坐标为（3，）∴BH＝，AH＝3﹣t，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在Rt△ABH中，（3﹣t）2+（）2＝t2，解得t＝2∴A（2，0）∵P为OB的中点∴P（，）设直线AC的解析式为y＝kx+b把A（2，0），P（，），代入得：，解得：∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．故选：D．【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及一次函数的待定系数法，熟练掌握菱形的性质和待定系数法，是解题的关键．7．如图，点C、D分别在两条直线y＝kx和上，点A(0，2)，B点在x轴正半轴上．已知四边形ABCD是正方形，则k＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图（见解析），设点B的坐标为，则，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据线段的和差可得，从而可得点D的坐标，代入直线可求出b的值，同理可得出点C的坐标，将其代入直线即可得．【详解】如图，过点D作轴于点F，过点C作轴于点E设点B的坐标为，则，且更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher．四边形ABCD是正方形．在和中，点D的坐标为将代入直线得：，解得同理可得：点C的坐标为将代入直线得：，解得．故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．8．如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B．C． D．【答案】D【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k．【详解】解：由∴∴四边形分成面积可求的直线解析式为设过的直线为将点代入解析式得∴直线与该直线的交点为直线与轴的交点为∴∴或∴∴直线解析式为；故选D．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．9．如图，在直角坐标系中，一正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C在反比例函数的图象上，//轴，//轴，若，，则四边形ABCD的面积为（）A．30 B．24 C．18 D．12【答案】A【分析】设A（a，b），则ab=k1，D（﹣a，﹣b），根据题意B（a，），C（，﹣b），进而可求得AB、CD，根据三角形面积公式和已知求得k1、k2的值，由求解即可．【详解】解：设A（a，b）∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，D两点∴ab=k1，A、D关于原点对称∴D（﹣a，﹣b）∵点B，C在反比例函数的图象上，//轴，//轴∴B（a，），C（，﹣b）又∵，∴k1=﹣2k2，且，又ab=k1解得：k1=16，k2=﹣8，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴=+6=30故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的性质、坐标与图形、三角形的面积公式，解二元一次方程组，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征，会利用坐标与图形间的关系解决三角形面积问题是解答的关键．10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（）A．-2<t<2 B．-2<t<2 C．-2<t<-2或2<t<2 D．以上答案都不对【答案】C【分析】根据条件，可以求得点关于直线的对称点的坐标，再根据在图形中的位置，得到关于的方程组．【详解】解：点在直线上，得到，于是直线的表达式是．于是过点与直线垂直的直线解析式为．联立方程组，解得，则交点．根据中点坐标公式可以得到点点在长方形的内部更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，解得或者．本题答案：或者．故选：Ｃ．【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．二、填空题11．已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点．四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为△ACD内一点，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF，EF，若∠AFE＝30°，则AF2+EF2的值为___．【答案】25【分析】连接CE、CF．证明△CEF是等边三角形以及AF⊥CF，然后利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接、．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，，，在中，四边形是菱形是等边三角形在和中，是等边三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，在中，．故答案为：25．【点睛】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．12．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是______．【答案】①③【分析】设点的坐标为，利用矩形的性质可得到和的坐标，代入反比例中可表示出和的坐标，再求出所在直线的解析式，进而求出的坐标，进而判断四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证出四边形为平行四边形,判断出①；利用四边形面积公式运算可判断出②；利用三角形面积公式列式运算可判断出③；由，可推断出，再求出点的坐标，即可判断出④．【详解】解：设点的坐标为∵四边形为矩形∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵点，在反比例函数上∴，∴直线的解析式为令，则∴∴∴∵∴∵四边形是矩形∴，∴四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形,故①正确∵，故②错误∵，∴，∴，∴解得：(舍去)，，故③正确∵∴∴把代入可得：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∴，∴∴，故④错误故答案为：①③【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，矩形的性质，平行四边形的判断及性质，几何图形的面积公式等知识点，利用代数式求出各点坐标是解题的关键．13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段，若直线与四边形有两个交点，则的取值范围是________________．【答案】或【分析】由得，直线过定点，与四边形有一个交点时，直线分别过点、，求得直线过点、时的取值，结合图像以及一次函数的性质，即可求解．【详解】解：由得，直线过定点将代入得，，即将代入得，，即将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段则、由图像可得，当直线与四边形有一个交点时，有两种情况一是直线过点，一是直线过点，如下图：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher将点代入得：，解得将点代入得：，解得由图像得直线与四边形有两个交点时，直线应该在、之间根据一次函数的性质可得，此时或故答案为：或【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合问题，熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想求解是解题的关键．14．已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)，直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为__．【答案】【分析】根据矩形中心对称的性质，也就是过对角线交点的直线把矩形分成的两个部分的面积相等几何知识可求得矩形中心的坐标为，把它代入直线解析式，可得．【详解】解：直线将四边形分成面积相等的两部分直线必经过矩形的中心对称点更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher根据矩形中心对称，可知，将它代入中得：，即．【点睛】本题考查矩形中心对称的性质，也就是过对角线交点的直线把矩形分成的两个部分的面积相等．15．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为________________．【答案】【分析】设C（a，﹣3a），B（b，kb），由正方形的性质AB＝BC，BC//AD，可得﹣3a＝kb，b﹣a＝kb，求出b＝﹣2a，即可求k的值．【详解】解：设C（a，﹣3a），B（b，kb）∵四边形ABCD是正方形∴BC//x轴∴﹣3a＝kb∵BC＝AB∴b﹣a＝kb∴b﹣a＝﹣3a∴b＝﹣2a∴﹣3a＝﹣2ak，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴k＝故填．【点睛】本题主要考查正方形的性质及一次函数的综合运用，根据题意设出点坐标、再根据正方形的性质明确线段间的关系是解答本题的关键．三、解答题16．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为（1）求的值及一次函数的表达式．（2）求四边形的面积；（3）在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标_______________．【答案】（1）n＝2，y＝3x−1；（2）；（3）（0，5），（0，−1＋），（0，−1−）（0，）【分析】（1）由y＝x＋1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），n的值；由一次函数y＝kx＋b的图象经过点B（0，−1）与D（1，2），即可求出k，b的值，进而即可求解；（2）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD＋S△COD；（3）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：当BD＝P1D；当BD＝BP2时；当BP4＝DP4时，分别求出p的值，确定出所求即可．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：（1）把（1，n）代入y＝x＋1得，n＝1＋1＝2；∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点B（0，−1）与D（1，2）∴，解得∴一次函数的表达式为y＝3x−1；（2）连接OD∵D（1，2）∴直线BD的解析式为y＝3x−1∴A（0，1），C（，0）∴S四边形AOCD＝S△AOD＋S△COD＝×1×1＋××2＝；（3）如图所示，设P（0，p）分三种情况考虑：当BD＝P1D时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（0−1）2＋（p−2）2解得：p＝5或p＝−1（舍去），此时P1（0，5）；当BD＝BP2时，可得（0−1）2＋（−1−2）2＝（p＋1）2解得：p＝−1±此时P2（0，−1＋），P3（0，−1−）；当BP4＝DP4时，可得（p＋1）2＝（0−1）2＋（p−2）2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得：p＝，即P4（0，）综上，P的坐标为（0，5），（0，−1＋），（0，−1−）（0，）．故答案是：（0，5），（0，−1＋），（0，−1−）（0，）．【点睛】此题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法，四边形的面积公式，等解本题的关键掌握分类讨论和数形结合的思想方法．17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点A（0，-2），与直线CD交于点B（m，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P沿A-B-C的折线运动，当△APC的面积等于△ABC面积的时，求点P的坐标；（3）点E是射线CD上一动点，过点E作EFy轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）y=x-2；（2）点P的坐标为（1，3）或（1，-1）；（3）点E的坐标为（1，3）或（5，-1）【分析】（1）把B（m，1）代入y=-x+4求出m，再根据待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）先求出△ABC的面积，设点P的横坐标为a，根据三角形面积公式列出关于a的方程，求出a，分情况讨论即可求解；（3）设E的横坐标为x，分别表示出E、F的坐标，根据平行四边形的性质得到CO=EF，列出方程求出x，故可求解．【详解】解：（1）∵点B在直线y=-x+4上∴-m+4=1，解得m=3∴点B的坐标为（3，1）．设直线AB的解析式为：y=kx+b把A（0，-2），B（3，1）代入解析式得，解得∴直线AB的解析式为y=x-2．（2）由题意得：点C的坐标为（0，4），∴AC=OC+OA=4+2=6∴，∴设点P的横坐标为a，，∴a=1．①当点P在线段BC上时，-a+4=3，∴点P的坐标为（1，3）．②当点P在线段AB上时，a-2=-1∴点P的坐标为（1，-1）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综上：点P的坐标为（1，3）或（1，-1）．（3）设E的横坐标为x∴E（x，-x+4），F（x，x-2）∴EF==∵以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴CO=EF∴=4解得x=1或x=5∴点E的坐标为（1，3）或（5，-1）．【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式、一元一次方程的求解及平行四边形的性质．18．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求的值；（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．【答案】（1）b=6；（2）M；（3）N点坐标为或【分析】（1）根据OD=BE，可得点E（6，8-b），将E代入解析式，即可求解；（2）由（1）知：一次函数的解析式为：，OD=6，AE=2，根据△ODM的面积与四边形OAEM更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的面积之比为1：2，可得，可得到，设点M的横坐标为m，则，即可求解；（3）分两种情况：若以OD为对角线，得到菱形OMDN；若以DM为对角线，得到菱形ODNM，讨论，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形∴轴，轴∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE∴OD=BE=b∵点B的坐标为（6，8）∴AB=8，点E的横坐标为6∴AE=AB-BE=8-b∴点E（6，8-b）将点E代入，得：，解得：；（2）由（1）知：一次函数的解析式为：，OD=6，AE=2∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2∴∵∴设点M的横坐标为m，则即解得：将代入，得：∴M；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN，则MN垂直平分OD，M和N关于y轴对称∵OD=6∴点M的纵坐标均是将代入，得：，解得：∴点M∴点N；如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重合设点M的横坐标为a，则纵坐标为∴即解得：或（舍去）∴点M设点N，由（1）知：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得：∴点N综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或．【点睛】本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题，主要考查了矩形的性质，一次函数的性质，菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得M的坐标是解决本题的关键．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点D（5，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为直线CD上一点，点N为抛物线上一点，若以B，C，M，N为顶点，以线段BC为边的四边形是平行四边形，求点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）点M的坐标为（﹣3，﹣5）、（6+2，4+2），（6﹣2，4﹣2）．【分析】（1）将A点和D点坐标代入y＝ax2+bx﹣2解得；（2）求出CD的表达式，设出点M的坐标，表示出N的坐标，代入二次函数关系式解得．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解；（1）由题意得：∴∴y＝x2﹣x﹣2；（2）∵C（0，﹣2），D（5，3）设直线CD的表达式是：y＝kx+b∴∴∴直线CD的表达式是：y＝x﹣2∵B是抛物线与x轴的交点∴x2﹣x﹣2=0，即解得或（舍去）∴B（4，0）设M（x，x﹣2），N（m，n）若MN∥BC，MN＝BC∴或（平行四边形对角线互相平分，中点坐标相同）∴或∴N（x+4，x）或（x﹣4，x﹣4）①（x+4）2﹣（x+4）﹣2＝x∴x1＝﹣3，x2＝0（舍去）∴M1（﹣3，﹣5）②（x-4）2﹣（x﹣4）﹣2＝x﹣4，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴x3＝6+2，x4＝6﹣2∴M2（6+2，4+2），M3（6﹣2，4﹣2）综上所述：，以线段BC为边的四边形是平行四边形时点M的坐标为（﹣3，﹣5）、（6+2，4+2），（6﹣2，4﹣2）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为．（1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________；（2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”．①当点N的坐标为时，求四边形的面积；②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围．【答案】（1）；（2）①4；②【分析】（1）如图中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上，因此能够成为点M、P的“极好菱形”顶点；（2）①先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点；（2）①如下图：∵∴∵四边形是菱形∴菱形是正方形．∴②如下图：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∴，

∵四边形MNPQ的面积为8，

∴，即∴∵四边形MNPQ是菱形∴作直线，交x轴于A∵∴OM=∴OE=2∵M和P在直线上，

∴∠MOA=45°∴△EOA是等腰直角三角形∴EA=2，

∴A与N重合，即N在x轴上同理可知：Q在y轴上，且由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定、新定义问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher21．如图，四边形OABC是平行四边形，反比例函数的图象经过点A，已知B(－3，2)，C(－5，0)．（1）求的值；（2）求直线AC的解析式；（3）点P()在直线AC和反比例函数图象的下方、轴上方的区域内，且、是整数，直接写出符合条件的点P的个数．【答案】（1）；（2）AC解析式为；（3）符合条件的点P共有5个．【分析】（1）由四边形OABC是平行四边形，可得OC=BA，AB∥OC，根据，可求点A（2，2），由点A在反比例函数图像上，可得求解即可；（2）设AC解析式为，代入坐标得解方程组即可；（3）求出反比例函数的边界点，与一次函数的边界点，找出点P可取（-1，1），（0，1），（1，1），（2，1），（3，1）即可．【详解】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形∴OC=BA，AB∥OC∴解得∴点A（2，2）点A在反比例函数图像上∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得；（2）设AC解析式为，代入坐标得解得AC解析式为；（3）当时，＞1，当时，；当时，＞1∴点P可取（-1，1），（0，1），（1，1），（2，1），（3，1）符合条件的点P共有5个．【点睛】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质构建点坐标关系，待定系数法求一次函数解析式，区域内整点问题，正确理解题意、掌握以上知识是解题关键．22．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为．直线：与直线相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求直线的解析式；（2）若点D是y轴上一点，且的面积是面积的，求点D的坐标；（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）存在，，，【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点C的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）由（1）中求得的解析式，可求得点A的坐标，过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，设点D的坐标为(0，y)，根据面积关系则可得关于y的方程，解方程即可求得y的值，