初中数学专题13反比例函数与一次函数的综合（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题13反比例函数与一次函数的综合知识对接考点一、与一次函数的综合确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD专项训练一、单选题1．如图，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，B两点．若将直线AB向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m的值为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9【答案】D【分析】先利用反比例函数解析式求出b，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y＝kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝kx+5﹣m，则直线y＝kx+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．【详解】解：把A（﹣2，b）代入得＝4所以A点坐标为（﹣2，4）把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝所以一次函数解析式为y＝x+5；将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝x+5﹣m根据题意方程组只有一组解消去y得﹣＝x+5﹣m整理得x2﹣（m﹣5）x+8＝0△＝（m﹣5）2﹣4××8＝0，解得m1＝9或m2＝1故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher变换．2．如图，直线与x轴交于点B，与双曲线(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C．且AB=AC，则k的值为（）A．8 B．12 C．10 D．16【答案】D【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，再利用一次函数解析式确定B(4，0)，则可设C(4，)，利用A点的纵坐标为得到A(8，)，然后把A(8，)代入得，从而解关于k的方程即可得到k的值．【详解】解：作AD⊥BC于D，如图∵AB=AC∴BD=CD当y=0时，，解得x=4，则B(4，0)设C(4，)，则A(8，)把A(8，)代入得∴k=16．故选：D．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了等腰三角形的性质．3．如图，反比例函数的图象和正比例函数的图象交于点，．若，则的取值范围是（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】利用函数图像的上下关系求出x的范围．【详解】解：∵∴y1图像在y2的上方．即在交点A的左边和B的左边，y轴右边．∴x＜−1或0＜x＜1．故选：C．【点睛】本题考查用函数图像解不等式，将函数值的大小关系转化成图像的上下关系是求解本题的关键．4．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】根据题意可得B的横坐标为2，再由图象可得当y1＜y2时，x的取值范围．【详解】解：∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点∴A，B两点坐标关于原点对称∵点A的横坐标为2∴B点的横坐标为-2∵y1＜y2∴在第一和第三象限，正比例函数y1=k1x的图象在反比例函数的图象的下方∴x＜-2或0＜x＜2故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．5．如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．反比例函数的解析式是 B．当时，C．一次函数的解析式为 D．若，则【答案】D【分析】根据点(1，5)在反比例函数图象上，可求得反比例函数的解析式，可对A选项作出判断；根据已求得的反比例函数关系式可求得当x=6时对应的函数值，从而可对B选项作出判断；由前面的计算，用待定系数法可求得一次函数的解析式，从而可对C选项作出判断；观察图象可对D选项作出判断．【详解】∵点(1，5)在反比例函数图象上∴即k=5∴反比例函数的解析式是故A错误；在中，当x=6时，故选B错误；∵直线过点(1，5)和∴解得：∴一次函数的解析式为故选项C错误；观察图象知，当1<x<6时，反比例函数的图象位于一次函数的图象的下方，即故选项D正确；故选：D．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了用待定系数法反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的特征，本题的关键是数形结合．6．如图在平面直角坐标系中反比例函数与直线y=-x交于点A，过点A作AE//y轴交x轴于点E，点O关于AE对称点为点B，点C为y轴上一点，且，连接BC与直线OA交于点D，若以AD为边的正方形面积为，则k的值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【答案】A【分析】设点，根据题意以及分别求得的坐标，进而求得的解析式，根据BC与直线OA交于点D，求得交点坐标，从而求得的长度，根据以AD为边的正方形面积为，求得，进而求得的值．【详解】点在上，设点则，，则设直线的解析式为则，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得直线的解析式为BC与直线OA交于点D解得：以AD为边的正方形面积为，则即解得．故选A【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，设点的坐标是解题的关键．7．如图，已知A（1，a），B（b，1）为反比例函数y＝图象上y的两点，动点P在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和最小时，则点P的坐标是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（2，0）【答案】C【分析】先求出A，B的坐标，然后作B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴即为P，此时PA+PB最小，最小值为AB′的长，然后求出直线AB′的解析式，求出其与x轴的交点坐标即可.【详解】解：把A（1，a），B（b，1）代y＝得a＝2，b＝2，则A点坐标为（1，2），B点坐标为（2，1）作B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴即为P，此时PA+PB最小，最小值为AB′的长∵B点坐标为（2，1）∴B′点坐标为（2，﹣1）设直线AB′的解析式为y＝kx+b，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴解得∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+5令y＝0，则﹣3x+5＝0∴x＝∴P的坐标为（，0）故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2【答案】B【分析】不等式kx+b＞的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．【详解】解：∵函数y=kx+b（k≠0）与y=（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（-6，-1）∴不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，

故选B．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为，则k（）A．2 B．6 C． D．1【答案】A【分析】由直线平移性质求出一次函数解析式，再求出A的坐标，再代入反比例函数解析式可得．【详解】y=x向上平移1个单位长度可知直线l为y=x+1，因为点A(a，2)在y=x+1上，所以a+1=2，解得a=1.即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数的得，解得k=2．故选A【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数．理解反比例函数和一次函数一般性质是关键．10．函数与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherC、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数图象综合，解题的关键是熟知两函数的图象与性质特点．二、填空题11．如图，已知直线交轴于点，交反比例函数于点，过点作交反比例函数于点，若，则的值为___．【答案】4【分析】证明△BMC∽△ANB，则，进而求解．【详解】过点B作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，设直线AB交y轴于点D，如图．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher令x=0，=1∴D（0，1）∴OD=1令y=0，=0，解得x=-2∴A（-2，0）∴OA=2在Rt△ANB中，tan∠BAN＝=在Rt△ABN中，设BN＝t，则AN＝2t∵∠CBM＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠BAN＝90°∴∠CBM＝∠BAN而∠BMC＝∠ANB＝90°∴△BMC∽△ANB∵BC＝AB则△BMC和△ANB相似比为1：2则则CM＝t，BM＝t则点B、C的坐标分别为（−2＋2t，t）、（−2＋2t−t，2t）∵点B、C在反比例函数上，故（−2＋2t）×t＝（−2＋2t−t）×2t，解得t＝2则点B的坐标为（2，2）则k＝2×2＝4，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形相似．当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像有唯一交点，若直线与反比例函数的图像没有公共点，则b的取值范围是________．【答案】【分析】根据双曲线的性质、结合图象解答即可．【详解】∵直线与反比例函数的图像有唯一公共点，双曲线是中心对称图形，

∴直线与反比例函数的图像也有唯一公共点，

∴当时，直线与反比例函数的图像没有公共点．

故答案为：-2＜b＜2．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握双曲线是中心对称图形是解题的关键．13．如图，一次函数的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点和点F．则不等式的解集是___________．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】＜或【分析】把点分别代入两函数解析式，分别求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式，求出直线和双曲线的交点坐标，利用数形结合思想解题．【详解】解：由题意得：，解得：，∴一次函数解析式为：反比例函数解析式为：联立：解得：∴点F的坐标为：由题意得：当＜或时，故答案为：＜或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，能够求出函数的解析式和点的坐标是解题的关键，注意数形结合的运用．14．如图，已知，点在反比例函数图像上，点在轴正半轴上，，，直线与反比例函数的图像只有一个公共点，则______．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】12【分析】设A点坐标为（m，n），然后分别求出直线AB和反比例函数的解析式，然后联立两个解析式，利用一元二次方程根于系数的关系求解即可．【详解】解：由题意可知B（4，0），设A点坐标为（m，n）∴设直线AB的解析式为解得∴直线AB的解析式为设反比例函数的解析式为∴∴设反比例函数的解析式为联立∴∵直线AB与反比例函数的图像只有一个公共点∴,更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得∴解得∴故答案为：12．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15．如图，点A，B在反比例函数y第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____．【答案】【分析】先求出反比例函数的解析式，根据为的中点，由中点坐标公式可计算出，同理可求出点，再求出直线的方程，联立求出点，根据即可求解．【详解】解：点A，B在反比例函数y第一象限的图象上将代入上式解得：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher设点为的中点由中点坐标公式可得：将代入解得：即由勾股定理得：设即解得：故设直线的方程为解得两点代入其中得：解得：联立解得：或由图可得：，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由故答案是：，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求函数的解析式．三、解答题16．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．（1）求点P的坐标；（2）若OA=OB，则：①∠P的度数为．②求出此时直线AB的函数关系式；．（3）如果直线AB的关系式为，且，作反比例函数，过点（0，1）作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+ON的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P（2，2）；（2）①22.5°；②y＝−x＋4−2；（3）故不存在k的值，使得MN＋QN的和始终是一个定值d．【分析】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC＝PD，再根据反比例函数的解析求得P点坐标；

（2）①由等三角形的外角定理求得∠BAD的度数，再由角平分线求得∠PAD和∠POA的度数，进而由三角形外角定理求得结果；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

②过P作PD⊥y轴于点D，由角平分线得PH＝PD，进而求得OH，OA，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得AB的解析式；

（3）由已知点P的坐标，根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN＋NQ的解析式，根据解析式的特点进行解答便可．【详解】解：（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1

∵AP和OP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，

∴PC＝PE＝PD，

设PC＝a，则P（a，a），

把P（a，a）代入中得，a2＝4，

∴a＝＝2，

∴P（2，2）；

（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

∴∠BAD＝135°，

∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，

∴∠PAD＝67.5°，∠POA＝45°，

∴∠APO＝∠PAD−∠POA＝22.5°，

故答案为：22.5°；

②解：过P作PD⊥y轴于点D，如图2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

∵OA＝OB，OP平分∠AOB，

∴OP⊥AB，

∵AP平分∠BAD，

∴PH＝PD，

由（1）知P（2，2），

∴PH＝PD＝OD＝2，OP＝2，

∴OH＝2−2，

∴OB＝OA＝OH＝4−2，

∴A（0，4−2），B（4−2，0），

设直线AB的解析式为：y＝mx＋n（m≠0），则

，

解得，，

∴直线AB的解析式为：y＝−x＋4−2；

（3）把y＝1代入中，得x＝4，

∴M（4，1），

把y＝1代入中，得x＝−n，

∴N（−n，1）．

把x＝−n代入y＝kx＋n中，得y＝−kn＋n，

∴Q（−n，−kn＋n），

∴MN＋QN＝（4＋n）＋|−kn＋n−1|，

当MN＋QN＝4＋n−kn＋n−1＝−kn＋2n＋3＝（−k＋2）n＋3时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

∵0＜n＜2，

∴当k＝2时，MN＋QN为定值，定值d＝3．（∵k＜0，不合题意，舍去）；

当MN＋QN＝4＋n＋kx−n＋1＝kn＋5时，

∵0＜n＜2，

∴当k＝0时，MN＋QN为定值，定值d＝5．（∵k＜0，不合题意，舍去）；

综上，不论k为何值时，MN＋NQ都不能为定值．

故不存在k的值，使得MN＋QN的和始终是一个定值d．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，反比例函数的图象与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，第（2）题关键是求出OA的长度，第（3）题关键是用k、n的代数式表示MN＋NQ．17．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点．正方形的边长为，且顶点和顶点在轴上，顶点在直线上，顶点在双曲线上，过点向轴作垂线，垂足是的中点．（1）求直线与双曲线的解析式；（2）求点的坐标；（3）在范围内，总有不等式，请直接写出此时的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或【分析】（1）根据点M（-3，-2）在反比例函数的图象上，可求出反比例函数关系式，根据正方形的边长为2更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher可得点C的纵坐标为2，进而确定点C的横坐标，确定OA的长，确定点B更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的坐标，利用待定系数法求出直线的关系式即可；（2根据为的中点，可求出点N的横坐标，再代入直线表达式，即可求解；（3）由两个函数的图象可知：当或时，不等式成立，再根据，，即可求出a的取值范围．【详解】解：（1）把点代入，得解得∴∵正方形的边长为，顶点在双曲线上∴可设点，则，，把点代入，得解得点．把和代入，得解得即；（2）由（2）知：OA=1为的中点∴OE=2当时，；（3）根据图象得：当或时，不等式成立∵，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当时，有，即当时，有，即．∴的取值范围是或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，求出交点坐标是解决问题的前提，掌握一次函数与反比例函数的交点坐标与不等式的解集之间的关系是正确解答的关键．18．如图，点A为双曲线（）上一点，轴且交直线于点B．（1）若点B的纵坐标为2，比较线段AB和OB的大小关系；（2）当点A在双曲线图像上运动时，代数式“”的值会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由．【答案】（1）；（2）不会发生变化，值为4【分析】（1）根据题意求得A、B点的坐标，即可求得AB和OB的长，即可比较线段AB和OB的大小关系；（2）设A（a，b），则B（−b，b），ab＝2．所以利用两点间的距离公式可以求得线段AB、OA的长度；然后可以的值．【详解】解：（1）∵点B的纵坐标为2，轴∴，∴，∵∴；（2）代数式不会发生变化．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher理由：设，∵A为双曲线上一点∴∵轴且交直线于点B∴点B纵坐标为b，∴∴∴代数式“”的值恒定不变．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，利用点A的横坐标表示出点B的坐标是解题的关键．19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，D两点，与x轴，y轴分别交于A、两点，如果的面积为6．（1）求点A的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．【答案】（1）点；（2），【分析】（1）由三角形面积求出OA＝4，即可求得A（−4，0）．（2）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，进而求得C点的坐标，把C点的坐标代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式；【详解】（1）∵点，点∴，∴，∵的面积为6∴∵，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴点；（2）把点，点代入，得解得∴一次函数的解析式为把点代入得，∴点，∵点C在反比例函数的图像上，∴∴反比例函数的解析式为．【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积，函数图象上点的坐标特征，注意数形结合的思想运用．20．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°，AB=AC，A(-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．（1）求d的值：（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．【答案】（1）−6；（2）y1＝，y2＝−x＋6；（3）0＜x＜6或x＞12【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；（3）直接从图象上找出y1＞y2时，x的取值范围．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）作CN⊥x轴于点N∵A(-4，0)、B(0，2)、C(d，4)∴CN＝4，AO＝4，OB=2在Rt△CAN和Rt△AOB中∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL）∴AN＝BO＝2，NO＝NA＋AO＝6又∵点C在第二象限∴d＝−6；（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位则C′（−6＋c，4），则B′（c，2）又点C′和B′在该比例函数图象上把点C′和B′的坐标分别代入y1＝得−24＋4c＝2c解得c＝12即反比例函数解析式为y1＝此时C′（6，4），B′（12，2）设直线B′C′的解析式y2＝mx＋n代入C′、B′得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∴直线C′B′的解析式为y2＝−x＋6；（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（6，4），B′（12，2）若y1＞y2，则0＜x＜6或x＞12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．21．如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y交于点A、D，过D做DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标．【答案】（1），（2）点C（2，0）．【分析】（1）根据题意求出点B，继而求得S△ODE＝6，再设D（xD，yD）可列得S△ODE，整理即可求解；（2）根据题意求得A（-2,6），将点A代入直线y＝kx+3易得直线解析式，令，即可求解点C坐标．【详解】（1）∵直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C当，即B（0，3）∵A（﹣2，n），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴S△OAB=∵S△OAB：S△ODE＝1：2．∴S△ODE＝6∵点D在反比例函数y图象上则设D（xD，yD）∴S△ODE∵∴S△ODE∴∴∴（2）∵点A（﹣2，n）在反比例函数图象上∴即A（-2,6）将点A代入直线y＝kx+3，得：解得：∴当时，∴即点C（2，0）【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特点，利用数形结合的思想．22．如图，一次函数（≠0）的图象与反比例函数（≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（，4）和点B（8，）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

（1）分别求出和的值；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．【答案】（1