2026年高一数学寒假自学课（人教B版）重难点突破02 利用数量积求最值范围（解析版）

重难点突破02利用数量积求最值范围内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：定义法】【题型02：基底法】【题型03：坐标法】【题型04：求数量积的最值范围】【题型05：求夹角的最值范围】【题型06：求模长的最值范围】第二步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点平面向量求最值范围的常用方法：1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。【题型01：定义法】1．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，O，M是其中一个正六边形的顶点，N为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，过作，垂足为，过作，垂足为．当在处时，最小，最小值为；当在处时，最大，最大值为．综上所述，的取值范围是．故选D．2．如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，则为的中点，为的中点，故，，，，过点作直线的垂线，垂足记为，则向量在向量上的投影向量为，所以，如图过点作，，垂足分别为，所以，，观察图象可得，其中与同向，与反向，所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，所以的取值范围是.故选：B.3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示：根据正八边形的特征，可知，又，所以，，则的取值范围是.故选：B.4．如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（

）

A． B．C． D．【答案】C【详解】，由投影的定义知，结合图形得，当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，此时；当P在C或B点重合时，最小为，此时∴故选：C5．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由数量积的几何意义可知：等于与在上的投影的乘积，故当在上的投影最大时，数量积最大，此时点在以为圆心的圆的最上端处，此时投影为，故数量积为，故当在上的投影最小时，数量积最小，此时点在以为圆心的圆的最下端处，此时投影为，故数量积为,故，故选：A

6．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是．【答案】【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大，此时；当C为D或E时，数量积最小，此时.故答案为：【题型02：基底法】7．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，由为的中点，得，在菱形中，，，所以，，所以，故选：D8．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】过点作，垂足为，，又，且共线同向，所以故选：B9．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是．【答案】【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接.，由于，，得：，，因此可得：，如图易知：由于为三角形内一点（包括边界），因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为，当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为，综上可得：，即.故答案为：10．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则：若点为线段上的动点，则的取值范围为．

【答案】/0.25【详解】由题意，又，所以，则，设，可得，而，得到，，设，对称轴是，故在上单调递增，从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为.故答案为：；.11．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.

(1)若，求的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由三点共线，且，可知，在等腰梯形中，由，，可得，又，所以，所以，因为三点共线，所以向量共线，可得，结合，解得，所以.（2）由（1）知，又，则，分别过作的垂线，垂足分别为，

因为等腰梯形中，，所以，可得，又，得，所以，，可得，又是边上一点（含端点），，则，所以.12．如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设.(1)若，用表示；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为，所以，所以均为等边三角形，所以四边形为菱形.所以，因为，所以.（2）设，则，所以，，因为扇形所在圆的半径为1，，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，当或1时，取得最大值，所以的取值范围为.【题型03：坐标法】13．已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，设，则，即，因为，所以，即，所以.因为，则，所以，又因为，即，所以，由可得，则的取值范围是.故选：A.14．在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，.设点.因为点E在线段上，所以设，其中，所以，所以，所以.故选：D.15．在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】建立如图所示坐标系，由题意得：，，，,,则，设，则，，，，，，，对于，的最小值是0，最小值是，对于，的最小值是，最大值是0，所以值域为.故选：A16．直角梯形中，，，，，点O，E为，的中点，F在边上运动（包含端点），则的取值范围为.【答案】【详解】建立平面直角坐标系如图，则，，，，因为点，为的中点，则，，可得，，，又因为点在边上运动(包含端点)，设，则，可得，所以的取值范围为.故答案为：.17．在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为．【答案】【详解】不妨设点靠近点，点靠近点，以等腰直角三角形的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，线段的方程为．由，设，则有，，，，则由二次函数的知识可得．故答案为：18．已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为.【答案】【详解】因为，，，故，所以，故，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，则、、、，设点，其中，则，，所以，，因为，则，故，所以，故答案为：.19．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为．【答案】【详解】因为，以为坐标原点，建立直角坐标系，，因为是线段上的点，所以，设，所以，所以，，所以，故，故，当时，有最大值，当时，有最小值.所以的取值范围是.故答案为：【题型04：求数量积的最值范围】20．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，因为四边形是菱形，所以，由点是的中点，得，由题意得，，所以，因为，所以的取值范围是．故选：D．21．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】正八边形中，，所以，，连接，过点作，交、于点、，交于点，设，中，由余弦定理得，，△OAF中，，所以，解得，，解得，所以，当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为，因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是．故选：A．22．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则；若，，则的取值范围是.【答案】【详解】第一空：因为，所以，又，所以，所以；第二空：因为，所以，所以，，所以，又因为，所以..故答案为：3;[1,3]23．已知边长为2的正内一点（包含边界）满足（其中为任意实数），则的取值范围为．【答案】【详解】记线段靠近点的三等分点为，线段靠近点的三等分点为，因为，所以点在线段上，，．因为点在线段上，所以，所以．故答案为：.

24．如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，．(1)若，用，表示；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）如图所示，可知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.所以，因为，则，所以，则；（2）设，则，，所以，，因为扇形所在圆的半径为2，，所以,可知，因为，所以当时，取得最小值，当或1时，取得最大值2，所以的取值范围为．25．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.

【答案】【详解】如图，连接.因为，，所以.因为正八边形内切圆的半径为，，所以.因为，所以，所以，即的取值范围是.

【题型05：求夹角的最值范围】26．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，则，即，所以，解得，因为向量，不共线，则，故，故的取值范围是.故选：B27．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为与均为单位向量，其夹角为，由，可得，所以，所以，所以，由，，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的取值范围是.故选：D.28．已知均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，设即，即对任意的恒成立，所以，解得，又因为，所以，故选：A.29．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，两边平方得，又，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以与夹角的余弦值的最大值为.故选：A.30．已知矩形中，，点分别在边上（包含端点），若，则与夹角的余弦值的最大值是.【答案】/0.8【详解】如图建立直角坐标系，则可设，,，，当时，，当时，由，故,∴,∴,当且仅当时取等号，∴最大值为，∴的最小值为,此时取得最大值为，即与夹角的余弦值的最大值为.故答案为：

31．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设等边三角形的边长为1，以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，所以，所以，则，所以，则.又因为，函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以.故选：C.【题型06：求模长的最值范围】32．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.33．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于所以，由于点在，不妨设，,，其中，,所以，可看作是上的点到点的距离，由于点在线段上运动，故当点运动到点时，此时距离最大，为,当点运动到点时，此时距离最小为0，综上可知：，故选：A

34．已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是.【答案】/【详解】因为平面向量、、满足且，故，，因为，则，即，即，所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.35．已知平面向量，满足，且，则的最大值是.【答案】/【详解】由，得，整理得，则，当且仅当与同向时取等号，解得，因此，所以的最大值是.故答案为：36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为．【答案】【详解】几何法：如图，设，连接，，则，

依题意，是等腰直角三角形，且，由，得向量的终点在以为直径的圆上运动，而点在此圆上，所以的最大值为.代数法：由和是互相垂直的两个单位向量，得，，由，得，即，则或（当且仅当与同向时取等号），所以的最大值为.故答案为：37．设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是.【答案】【详解】如图，在平面直角坐标系中，不妨取，设，则，故，，，可得，∵，则，∴.故答案为：.1．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为与的夹角为，所以，所以，由二次函数性质可知，当时，取得最小值，所以，所以，即的取值范围为.故选：D2．在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系，则，，，，，为边上的点，，；，，，，，，，，解得：，又，，即的取值范围为.故选：C.3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.4．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】连接、、、，则为的中点，由正六边形性质得，，而，因此，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：B5．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知：设，则，，又的最小值为，则的最小值为3，所以当时，有，又，所以.设，则，所以，当时，有最小值为.故选：C6．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】设的夹角为，当与重合时，；当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，，所以，当与重合时，，所以，以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，当在线段（除）上运动时，设，所以，当在线段上运动时，设，所以，当在线段（除）上运动时，设，所以.综上所述，的最小值为.故选：C7．在中，，，，，且与交于点F，则（用表示），若，则的最大值为．【答案】；.【详解】如图：

设，则，且，所以.又因为，所以，.因为三点共线，设，则，即，因为不共线，由平面向量基本定理得，解得所以，.若，设，则，即，，，，又因为，且在上单调递减，所以，故的最大值为.故答案为：；.8．已知点，，不重合，且，，若平面内一点满足，则的取值范围是．【答案】【详解】由，得三点在以为圆心，1为半径的圆上，由，得，即，则线段是圆的直径，，因此