2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题02 均值不等式求最值8大题型（原卷版）

专题02均值不等式求最值8大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：直接法求最值①积，和和平方和三者之间的不等式关系：②求最值时要求“一正、二定、三相等”知识点2：配凑法求最值将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.知识点3：商式求最值利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。知识点4：“1”的代换求最值①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用均值不等式求解最值.知识点5：消元法求最值从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用均值不等式求解注意所保留变量的取值范围知识点6：两次均值不等式求最值注意两点:一是由均值不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用均值不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可.知识点7：等式有积有和求最值寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。【题型01直接法求最值】1．函数的最小值为（

）A． B． C． D．2．若，且，则的最大值为（

）A．6 B． C．7 D．3．函数的最大值是

4．设、．已知，则的最大值为．5．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知正数满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．4【题型02配凑法求最值】7．已知，，则，之间的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定8．已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．19．已知，则的最小值为.10．已知，则的最大值为.11．已知实数，若，则的最大值为.12．设，则（

）A． B．C． D．13．已知正实数，满足，则的最大值为.【题型03商式求最值】14．已知，求的最小值；15．已知且，则的最大值为．16．函数的值域为．17．已知，则的最小值为.18．函数的值域是．【题型04“1”的代换求最值】19．已知实数，，满足，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．220．两个正实数x，y满足，的最小值为（

）A． B． C． D．21．函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．4922．已知，且，则的最小值是（

）A．49 B．51 C．53 D．5523．已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．224．已知，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．25．设a，b为正数，且，则的最小值为．【题型05消元法求最值】26．已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．27．已知实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．28．若正数、满足，则的最小值为（）A． B．C． D．29．已知，若，则的最小值为．30．若正实数，满足，则的最小值为.【题型06两次均值不等式求最值】31．若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．432．已知，都为正实数，则的最小值为.33．已知，当取到最小值时，．【题型07等式有积有和求最值】34．若正数，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．35．已知，则的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．136．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为937．若，则的最小值为（

）A． B． C．20 D．40038．（多选）设实数，满足，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【题型08均值不等式的恒成立问题】39．设，，且恒成立，则n的最大值为.40．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．41．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（

）A．8 B．16 C．24 D．3642．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．43．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是.44．已知，且，恒成立，则实数的最大值为.一、单选题1．下列结论表述正确的是（

）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．若，则2．若，且，则的最大值（

）A． B． C． D．3．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（

）A． B．3 C． D．4．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C．0 D．15．设，则取最小值时，的值是（

）A． B． C． D．二、多选题6．设为正数，且，则下列选项中正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为2C．的最小值为9 D．的最小值为67．已知正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最大值为1C．的最小值为4 D．的最小值为三、填空题8．已知，，且，则xy的取值范围是