2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题06 统计概率9大题型（解析版）

专题06统计概率9大题型

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：分层随机抽样中有关计算的方法:

该层样本量n该层抽取的个体数

（1）抽样比=；

总样本量N该层的个体数

（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.

知识点2：频率直方图的应用

频率

（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列

组距

式求解；

（2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的

和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；

（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解.

（4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法:

①众数:最高小长方形底边中点的横坐标；

②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

知识点3：平均数、标准差、方差性质

（）若一组数据的平均数为方差为2那么的平均数是

1x1,x2,,xnx,s,mx1a,mx2a,,mxna

mxa,方差为m2s2.

（2）分层方差计算总体方差

若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方

差分别为22记总的样本平均数为，样本方差为2则

m,x,s1;n,y,s2.ws,

mn122

wxy;s2ms2xwns2yw

mnmnmn12

知识点4：百分位数

（1）几个数的百分位数计算方式：

第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数

据；

如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。

（2）频率分布直方图的百分位数计算方式

根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,

其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解.

知识点5：互斥、对立、独立事件的辨别

设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.

①若事件件A与B互斥,则集合AB;

②若事件件A与B对立,则集合AB且AB.

事件的独立性的判断:①定义法:事件A,B相互独立⇔PABPAPB；②由事件本身的性质直接判

定两个事件的发生是否相互影响；

知识点6：相互独立

对任意两个事件A与B,如果PABPAPB成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.

（1）如果A与B相互独立,则A与B，A与B，A与B也相互独立.

（2）与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:

事件A,B相互独立概率计算公式

A,B同时发生PABPAPB

A,B同时不发生P(

AB)P(A)P(B)1PA1PB1PAPBPAPB

A,B至少有一个不发生P1PAB1PAPB

A,B至少有一个发生P1P(AB

)1P(A)P(B)PAPBPAPB

A,B恰有一个发生PP(AB)PAP(B)P(A)PBPAPB2PAPB

【题型01分层抽样】

1．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：

绿色圆粒：绿色皱粒9:3:3:1．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行

研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（）

A．160B．190C．220D．250

【答案】A

316

【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量n30160．

163

故选：A．

2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2:3:5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生

中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（）

A．60B．90C．120D．150

【答案】B

3

【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：30090.

235

故选：B

3．五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，

其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机

抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（）

A．4人B．3人C．2人D．1人

【答案】C

【详解】由题意知，老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，

可得老年人、中年人、青年人的比例分别为3:1:2，

3

故抽取的12人中老年人抽取了126人，

312

2

青年人抽取了124人，则老年人比青年人多2人.

312

故选：C.

4．某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社

区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民

的人数为.

【答案】80

15011

【详解】由题意知，抽样比为，所以样本中男性居民的人数为160080.

160014002020

故答案为：80

1

5．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为6:5:4，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，

3

则该公司青年员工的人数为．

【答案】120

1

【详解】设公司的人数为n，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，

3

1001

可得，解得n300人，

n3

又业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为6:5:4，

6

所以该公司青年员工的人数为300120人.

654

故答案为：120.

6．在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为500、800,700.现按比例分

层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为

92,105,100，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（）

A．101B．100C．99D．98

【答案】B

【详解】由题意得可供参考的总人数为5008002000人，

500800

故三所学校学生数学成绩的总平均数约为100105100，

200020002000

故选：B

【题型02平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用】

7．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为12，样本y1，y2，，y15的平均数为16，则样本x1，x2，

x3，x4，x5，y1，y2，，y15的平均数为（）

A．13.5B．14C．14.5D．15

【答案】D

【详解】由题知：样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为12，

故x1+x2+x3+x4+x551260；

样本y1，y2，，y15的平均数为16，

故y1+y2++y151516240；

所以样本x1，x2，x3，x4，x5，y1，y2，，y15的平均数为：

11

(x1+x+x+x+x+y+y++y)(60240)15，

202345121520

故选:D.

8．把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，

现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样

本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（）

A．若mn6，则方差不变B．若极差不变，则mn6

C．若mn6，则中位数变大D．若平均数不变，则mn6

【答案】D

1

【详解】原数据的平均数为：x123453，

5

122222

原数据的方差为：s213233343532.

x5

对A：若mn3，则满足mn6，

1

此时所得新数据的平均数为：y3563，

7

12222210

方差为：s213233334353，方差变小，故A错误；

y77

m1m2

对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要mn6，故B错误；

n1n1

m3

对C：若mn6，如，则新数据1,2,3,3,3,4,5的中位数是3，

n3

因为原数据1,2,3,4,5的中位数也是3，没变，故C错误；

1

对D：新数据的平均数为：y35mn，

7

1

由35mn3mn6，故D正确.

7

故选：D.

9．有一组样本数据x1，x2，x3，，x10的平均数为3，方差为3，则x1，x2，x3，，x10，3的方差为

（）

33090

A．3B．C．D．

111111

【答案】C

10

2

xi310

【详解】由题可知：i12，

3xi330

10i1

10

22

x333

所以i30.

i1

1111

故选：C

10．（多选）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：

甲6871727282

乙6670727879

则（）

A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数

C．甲组数据的众数等于乙组数据的中位数D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差

【答案】ABC

【详解】根据数据可知，甲组数据的极差为826814，乙组数据的极差为796613，

故甲组数据的极差大于乙组数据的极差，故A正确；

1

甲组数据的平均数为：(6871727282)73，

5

1

乙组数据的平均数为：(6670727879)73，故B正确；

5

甲组数据的众数为72，乙组数据的中位数为72，故C正确；

1

甲组数据的方差为：(6873)2(7173)22(7273)2(8273)222.4，

5

1

乙组数据的方差为：(6673)2(7073)2(7273)2(7873)2(7973)224，

5

55

甲乙两组数据混合后的平均数为737373，

1010

5252

故甲乙两组数据混合后的方差为22.4737324737323.2，小于乙组数据的方差，故

1010

D错误.

故选：ABC.

11．（多选）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据（单位：kg），其样本容

量为49，经计算得，该样本的平均数为60，方差为50.检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据60，

并将一个数据70错记为50，将另一个数据70错记为90.对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样

本的平均数为x，方差为s2，则（）

A．x60B．x60C．s233D．s261

【答案】AC

【详解】设50个数据分别为x1,x2,x3,x50，

其中被漏掉的数据为x160，

且数据x70被错记为，x70被错记为，

2x2503x390

1

则由已知可得xxxx60，

4923450

22

122

x60x60x60x6050，

4923450

5050

2

即xi2800，xi601450，

i4i4

150

则改正后的平均数xx1x2x3xi60，

50i4

50

212222

方差sx160x260x360xi6033，

50i4

故选：AC.

12．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞

机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）

A．ADB．BD

C．ACDD．ABBD

【答案】D

x

【详解】用(x1,x2)表示试验的射击情况，其中1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况，以1

表示击中，0表示没中，

则样本空间0,0,0,1,1,0,1,1.

由题意得，A(1,1)，B(0,0)，C(0,1),(1,0)，D(0,1),(1,0),(1,1)

则AD，ACD，且BD.即ABC都正确；

又BD，AB0,0,1,1.

ABBD.故D不正确.

故选：D.

【题型03百分位数在具体数据中的应用】

13．临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数

据的第80百分位数是（）

A．130B．128C．126D．124

【答案】C

【详解】这组数据从小到大排列为：96，108，117，122，126，130，

60.84.8，故这组数据的第80百分位数是126.

故选：C.

14．一个数学小组的数学成绩为89，99，91，92，93，94，95，96，则这组数据的下四分位数为（）

A．90B．91.5C．94.5D．94

【答案】B

【详解】将这组数据从小到大排列为：89，91，92，93，94，95，96，99，

下四分位数即为第25百分位数，0.2582，

9192

所以第25百分位数为第2和第3个数据的平均数，即为91.5．

2

故选：B．

15．样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为．

【答案】28.5

2532

【详解】因为50.42，所以样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为28.5.

2

故答案为：28.5.

16．一组数据5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23的上四分位数（即第75百分位数）为（）

A．7B．7.5C．18D．19

【答案】D

【详解】数据5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23，

按从小到大的顺序排列得：3，5，7，8，9，10，12，15，18，20，21，23，

1820

因为120.759，所以第75百分位数是第9，10个数的平均数，为19．

2

故选：D.

17．已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（）

A．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93

B．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93

C．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93

D．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93

【答案】D

【详解】上四分位数即75%分位数，根据百分数计算，10075%75，

所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数.

故选：D.

18．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他

们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为3，5，6，8，m，14，15，16，17，18，若该组数据

4

的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是()

5

A．9B．10C．11D．12

【答案】A

4

【详解】由题可得极差是18315，该组数据的中位数是极差的，

5

m+144

列出等式15，解得m10，

25

因为1040％4，

810

故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即9，

2

所以该组数据的第40百分位数是9.

故选：A.

【题型04频率分布直方图的相关计算】

19．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在40,90之间，其

得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）

A．可求得a0.005B．这200名参赛者得分的中位数为64

C．得分在60,80之间的频率为0.5D．得分在40,60之间的共有80人

【答案】B

【详解】选项A：由题意得a0.0350.030.020.01101，解得a0.005，故A正确；

选项B：0.0050.035100.40.5，0.0050.0350.03100.70.5，

所以中位数位于60,70内，且设为x，

则0.0050.03510(x60)0.030.5，解得x63.3，故B错误；

选项C：得分在60,80之间的频率为(0.030.02)100.5，故C正确；

选项D：得分在40,60之间的频率为0.0050.035100.4，

所以得分在40,60之间的共有0.420080人，故D正确.

故选：B

20．某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间5,25（单位：百万元）

内，将其分成5组：5,9，9,13，13,17，17,21，21,25，并整理得到如右的频率分布直方图，据此

估计销售员工销售额的平均值为（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【答案】14.52

【详解】由题设(0.02a0.090.030.03)41，可得a0.08，

所以平均值为0.0870.32110.36150.12190.122314.52.

故答案为：14.52

21．某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕

于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚

属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客

对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求x的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，

得数保留两位小数）．

【答案】(1)x0.03

(2)中位数约为86.67．平均数为84.

【分析】

【详解】（1）由图知：100.0050.010.015x0.041，

可得x0.03

（2）因为100.0050.010.0150.30.5

100.0050.010.0150.030.60.5

所以中位数在区间80,90内，令其为m，

20

则0.30.03m800.5，解得m8086.67．

3

所以满意度评分的中位数约为86.67．

由频率分布直方图可知，平均数为

x550.05650.1750.15850.3950.484．

22．某大学为了解学生对A,B两家餐厅的满意度情况，从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100

人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为

2-10分)．根据打分结果按2,4,4,6,6,8,8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅满

意指数在2,4中有30人．

(1)求B餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计A餐厅满意指数和B餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用

该组区间中点值作代表）；

【答案】(1)a0.1，b0.15；

(2)答案见解析.

【分析】

30

【详解】（1）由题设，B餐厅满意指数在2,4中有30人，则2b0.3b0.15，

100

由2b2a0.220.0521，可得a0.1.

（2）A的平均数xA0.05230.15250.2270.1296.4，

22222

所以A的方差为sA0.1(6.43)0.3(6.45)0.4(6.47)0.2(6.49)3.24，

B的平均数xB0.330.250.470.195.6，

22222

所以B的方差为sB0.3(5.63)0.2(5.65)0.4(5.67)0.1(5.69)4.04.

23．某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学

成绩，将成绩分为30,50,50,70,70,90,90,110,110,130,130,150，共6组，得到如图所示的频率分布

直方图.

(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在90,150内的学生中抽取13名，则成绩在130,150内的

学生有几个？

(2)学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过8%，根据样本数据，试估计获得

表彰的学生的最低分数.

【答案】(1)2

(2)134分

【分析】

【详解】（1）由题意有：0.00250.0050.010.015a0.005201，解得a0.0125，

0.005

采用分层抽样在130,150内的学生人数有：132，

0.0050.0150.0125

所以成绩在130,150内的学生有2个；

（2）因为成绩在130,150内的频率为：0.005200.1，

0.10.08

所以最低分数为：13020134，

0.1

所以估计获得表彰的学生的最低分数为134分.

24．为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参

与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩（成绩均在50,100内），按50,60，60,70，70,80，

80,90，90,100分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值；

(2)根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求

获得免费门票的人员的最低分数.

【答案】(1)0.012

(2)75.4

(3)86

【分析】

【详解】（1）100.0080.0240.0360.020a1，解得：a0.012.

（2）频率分别依次为：50,60：0.08，60,70：0.24，70,80：0.36，80,90：0.2，90,100：0.12，

平均分为0.08550.24650.36750.2850.129575.4，

所以平均分为75.4.

（3）1000.220，所以最低分数为第20名分数，

90,100频数为12，80,90频数为20，

8

所以第20名在80,90这一组中，901086，

20

所以最低分为86.

【题型05用样本平均数和样本方差估算总体】

25．（多选）某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，

整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，

成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则（）

22

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m,x,s1;n,y,s2.记样本平均数为，样本

22

22m2n2

方差为s，ss1xs2y.

mnmn

A．a0.004

B．估计该年级学生成绩的上四分位数为85

C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50

【答案】BC

【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，

则2a3a7a6a2a10200a1，解得a0.005，A错误；

对于B，上四分位数为第75%分位数，

前三个矩形的面积之和为2a3a7a10120a0.60.75，

前四个矩形的面积之和为10.10.90.75，

设该年级学生成绩的上四分位数，即第75%分位数为m，则m80,90，

0.750.615

根据百分位数的定义可得m80108085，B正确；

0.90.63

6a2a

对于D，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为859587.5分，D错误，

6a2a6a2a

对于C，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

3212

1287.5851087.59530.25，C正确.

44

故选：BC

26．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96

分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是分2．

【答案】100

xxx

【详解】设甲班50人的成绩为x,x,,x，则其平均成绩x125076，

125050

y1y2y40

设乙班40人的成绩为y1,y2,,y40，则其平均成绩y85，

40

则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为

xxxyyy50x40y50764085

z1250124080；

50409090

2

设甲班50人成绩的方差为s1，所以

1222

s2xxxxxx

1501250

12222

x1x2x502x1x2x50x50x

50

12222

x1x2x5050x

50

22222

则x1x2x5050s1x，

222222

设乙班40人成绩的方差为s2，则y1y2y4040s2y，

设甲乙两班全部90人成绩的方差为s2，则

212222222

sx1x2x50y1y2y4090z

90

122222

50s1x40s2y90z

90

1

5096762406085290802100

90

故答案为：100.

27．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；

乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是分，方差

是.

470

【答案】80

3

72509040

【详解】甲､乙两班全部90名学生的平均成绩为80分，

5040

504054470

方差为90(7280)260(9080)2154160.

50405040993

470

故答案为：80；

3

28．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它

们的尺寸（单位：mm），并将数据分为92,94,94,96,96,98,98,100,100,102,102,104,104,106七组，

其频率分布直方图如图所示．

(1)求x值；

(2)根据频率分布直方图，求400件样本中尺寸在98,100内的样本数；

(3)已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为1

和2，平均值分别为93和94.5，求抽出数据的均值和方差．

参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：

222212222

m,x,s1；n,y,s2记总的样本平均数为，样本方差为s，则sms1xns2y．

mn

【答案】(1)x0.12；

(2)72件；

13

(3)均值、方差分别为94、.

6

【分析】

【详解】（1）由图知(0.020.04x0.090.10.070.06)21，可得x0.12；

（2）由图知400件样本中尺寸在98,100内的样本数为4000.09272件；

（3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个，

493894.5

所以抽出数据的均值为94，

12

12213

抽出数据的方差为4193948294.594.

126

29．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了m名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）

分成0,4，4,8，8,12，12,16，16,20，20,24六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分

布直方图，在样本中，运动时长在0,4内的学生比在12,16内的学生少10人．

(1)求a，m的值；

(2)求样本学生运动时长的中位数；

(3)若在8,12，12,16内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在8,16内

的样本学生运动时长的方差．

【答案】(1)a0.0375，m200

(2)11.2

(3)7.25

【分析】

【详解】（1）运动时长在0,4内的频率：0.02540.1，运动时长在4,8内的频率：0.0540.2，运动

时长在8,12内的频率：0.062540.25，运动时长在16,20内的频率：0.0540.2，运动时长在[20,24]内

的频率：0.02540.1，

由频率之和为1知，运动时长在[12,16)内的频率为：10.10.20.250.20.10.15，

0.15

故a0.0375，

4

运动时长在0,4内的学生人数为：0.1m，运动时长在12,16内的学生人数为：0.15m，

依题意，0.15m0.1m10，解得m200.

综上，a0.0375，m200.

（2）前两组0,4和4,8的频率之和为0.10.20.30.5，前三组0,4，4,8，8,12的频率之和为

0.10.20.250.550.5，

故样本学生运动时长的中位数出现在第三组8,12，设为x，

则0.3(x8)0.06250.5，解得x11.2.

综上，样本学生运动时长的中位数为11.2.

（3）在8,12内的样本数为0.2520050，在12,16内的样本数为0.1520030，

5010301492023

所以在8,16内的样本学生运动时长的平均数为11.5，

5030802

根据公式，在8,16内的样本学生运动时长的方差为：

5030

[5(1011.5)2][1(1411.5)2]0.6257.250.3757.257.25.

50305030

【题型06事件关系的判断】

30．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和

4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1“第一次摸到红球”，R“两次都摸到红球”，G“两

次都摸到绿球”，M“两球颜色相同”，N“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（）

A．R1RB．RG

C．RGMD．MN

【答案】A

【详解】由事件R1“第一次摸到红球”，R“两次都摸到红球”，则RR1，A选项错误；

事件R“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则RG，且RGM，B

选项正确，C选项正确；

由M“两球颜色相同”，N“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知MN，D选项正确；

故选：A.

31．（多选）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件A“两人都中奖”；B“两人

都没中奖”；C“恰有一人中奖”；D=“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（）

A．BCDB．AC

C．CDD．BDB

【答案】ACD

【详解】对于A，事件BC为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，

所以BCD，故A正确；

对于B，事件AC表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，

所以AC，故B错误；

对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，

所以CD，故C正确；

对于D，由C选项可知BD，所以BDB，故D正确.

故选：ACD.

32．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有()

A．ABB．ABC．ABD．A与B之间没有关系

【答案】C

【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，

其中事件A{（正，正）}，事件B{（正，正），（正，反），（反，正）}，

所以AB.

故选：C.

33．掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积

是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论：

(1)A与B的关系；

(2)A与C的关系；

(3)A、B、D之间的关系