三角形知识点总结

三角形知识点总结一、三角形的基本概念（必记）（一）定义由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。三角形有3个顶点、3条边、3个内角，且三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（核心判定条件，易错点）。补充：三条线段若在同一直线上，或首尾无法顺次组成封闭图形，均不能构成三角形；若已知三角形两边长为a、b（a＞b），则第三边c的取值范围为：a-b＜c＜a+b。（二）三角形的表示方法用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。其中，边可表示为AB、BC、AC（或a、b、c，通常顶点A对边为a，顶点B对边为b，顶点C对边为c）；内角可表示为∠A、∠B、∠C。（三）三角形的分类（两种分类方式，不重复、不遗漏）1.按角分类（核心分类，高频考点）：（1）锐角三角形：三个内角都小于90°（即三个内角均为锐角）的三角形；（2）直角三角形：有一个内角等于90°（即一个直角）的三角形，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边（斜边是直角三角形中最长的边）；（3）钝角三角形：有一个内角大于90°且小于180°（即一个钝角）的三角形。补充：一个三角形中，最多有1个直角或1个钝角，最少有2个锐角，三个角不可能全是钝角或直角。2.按边分类：（1）等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形，等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60°（等边三角形是特殊的等腰三角形）；（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角（等腰三角形的两个底角相等）；（3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形，其三个内角也都不相等。二、三角形的内角和与外角性质（核心重点）（一）三角形的内角和定理任意一个三角形的三个内角和都等于180°，与三角形的形状、大小无关。应用：已知三角形两个内角的度数，可求出第三个内角的度数（例如：△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°）；可用于判定三角形的类型（例如：一个三角形两个内角和为80°，则第三个内角为100°，该三角形为钝角三角形）。（二）三角形的外角性质（高频易错）1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（一个三角形有6个外角，两两相等，实际常用3个外角）；2.核心性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（核心性质，必考）；（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；（3）三角形的三个外角和等于360°。易错提醒：外角仅等于“不相邻”的两个内角和，与相邻的内角互补（和为180°），不可混淆“相邻”与“不相邻”。三、三角形的重要线段（基础考点，图形与性质结合）三角形有三条重要线段：中线、角平分线、高，它们均是线段，且相交于一点（分别称为重心、内心、垂心）。（一）三角形的中线1.定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线；2.性质：（1）三角形的三条中线相交于一点，该点叫做三角形的重心（重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心）；（2）重心把每条中线分成2:1的两段（靠近顶点的线段长度是靠近中点线段长度的2倍）；（3）三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形（因为两个三角形等底等高）。（二）三角形的角平分线1.定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线；2.性质：（1）三角形的三条角平分线相交于一点，该点叫做三角形的内心；（2）内心到三角形三条边的距离相等（内心是三角形内切圆的圆心，这一性质常用于距离计算）；（3）角平分线平分三角形的一个内角，将其分成两个度数相等的小角。易错提醒：三角形的角平分线是“线段”，而非射线（角的平分线是射线，三角形的角平分线限定为顶点到对边交点的线段）。（三）三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高（简称高）；2.性质：（1）三角形的三条高相交于一点，该点叫做三角形的垂心；（2）高与对边所在直线垂直，构成两个直角三角形；（3）不同类型三角形的高的位置不同（易错点）：①锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心也在三角形内部；②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，垂心与直角顶点重合；③钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，垂心在三角形外部。四、等腰三角形与等边三角形的专项性质（重点难点）（一）等腰三角形的性质与判定1.性质（等边对等角，核心）：（1）等腰三角形的两腰相等，两底角相等（即“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”，仅针对顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的中线与高不重合）；（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。2.判定（等角对等边，核心）：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（即“等角对等边”）；（3）有一条线段既是三角形的顶角平分线，又是底边上的中线、底边上的高，那么这个三角形是等腰三角形。（二）等边三角形的性质与判定1.性质（特殊的等腰三角形，兼具等腰三角形所有性质）：（1）三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于60°；（2）等边三角形的三条顶角平分线、三条底边上的中线、三条底边上的高相互重合（即“三线合一”，且三条线完全相等）；（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（每条边上的中线、高，每个内角的平分线所在直线都是对称轴）；（4）等边三角形的重心、内心、垂心重合于一点（即中心）。2.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形（易错点：必须强调“等腰三角形”，单独一个角为60°的三角形不一定是等边三角形）。五、直角三角形的专项性质（高频考点）（一）核心性质1.直角三角形的两个锐角互余（即两个锐角的和为90°，由三角形内角和180°推导得出）；2.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（重点应用，可用于边长计算）；3.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半（即斜边中点到三个顶点的距离相等，可用于证明线段相等）；4.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²，必考，用于边长计算、判定直角三角形）；5.直角三角形的面积公式：S=（直角边1×直角边2）÷2，也可表示为S=（斜边×斜边上的高）÷2（可用于求斜边上的高）。（二）直角三角形的判定1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三角形；3.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边a、b、c满足a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形（c为斜边，对应的角为直角）；4.一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（中线所在的边为斜边）。六、三角形的全等（核心难点，几何证明必考）（一）全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形（全等三角形的形状、大小完全相同，对应边相等、对应角相等）。补充：全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应角平分线、对应高均相等；全等三角形的面积相等、周长相等。（二）全等三角形的判定定理（重点，5种判定方法）1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等（适用于已知三边长度的三角形全等判定）；2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（易错点：“夹角”是指两条对应边之间的角，而非其中一条边的对角）；3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；4.AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；5.HL（斜边、直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（非直角三角形不可用HL判定）。（三）全等三角形的证明思路（易错点汇总）1.证明全等时，必须找准“对应边”“对应角”，避免对应关系错误；2.不能用“SSA”（两边和其中一边的对角）、“AAA”（三个角对应相等）判定三角形全等（SSA可能出现两种不同的三角形，AAA只能判定相似，不能判定全等）；3.证明过程中，可利用三角形的中线、角平分线、高、等腰三角形性质、外角性质等，推导所需的对应边、对应角相等；4.全等三角形的应用：证明线段相等、角相等、两直线平行、垂直等（先证明三角形全等，再利用全等三角形的对应关系推导结论）。七、三角形的相似（拓展重点）（一）相似三角形的定义对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（相似三角形的形状相同，大小不一定相同，对应边的比叫做相似比）。（二）相似三角形的判定定理1.两角对应相等的两个三角形相似（AA，最常用，由三角形内角和推导得出）；2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS，与全等的SAS类似，强调“夹角”）；3.三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）；4.直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（与HL类似）。（三）相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例；2.相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比等于相似比；3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（高频易错点：面积比是相似比的平方，而非相似比）。八、易错点汇总（高频必考，规避丢分）1.三角形三边关系易错：忽略“两边之差小于第三边”，或计算第三边取值范围时，忘记“不包含等号”（a-b＜c＜a+b，不可写成a-b≤c≤a+b）；2.三角形外角性质易错：混淆“相邻”与“不相邻”，误将外角等于相邻两个内角和；3.三角形重要线段易错：误将角平分线、中线、高当作“射线”，或忽略钝角三角形的高在外部；4.等腰三角形易错：“三线合一”仅适用于顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的线段不适用；判定等边三角形时，忘记强调“等腰三角形”（一个角为60°的三角形不一定是等边三角形）；5.直角三角形易错：30°角所对的直角边是“斜边”的一半，而非另一条直角边；勾股定理逆定理应用时，误将最长边当作直角边；6.全等三角形易错：用SSA、AAA判定全等；对应边、对应角找错；7.相似三角形易错：面积比误记为相似比，而非相似比的平方；8.三角形内角和易错：忽略“任意三角形内角和