8.3实数及其简单运算第1课时无理数、实数的概念（导学案）（解析版）初中数学人教版（2024） 七年级下册

8.3实数及其简单运算（第1课时，无理数、实数的概念)（导学案）（1）理解无理数的定义，能准确识别无限不循环小数为无理数，明确无理数与有理数的本质区别；掌握实数的概念，能熟练对实数按定义和大小进行分类，规范书写分类形式。（2）经历无理数的探究、发现过程，感受数系扩充的必要性，培养抽象概括、分类讨论的数学思想，提升数感。（3）结合实例辨析易错点，养成严谨的数学思维习惯。重点是:无理数的概念及特征识别；实数的概念及两种正确分类方式，实数与数轴的一一对应。难点是：理解无理数无限不循环的本质特征；辨析带根号的数、无限小数是否为无理数，突破认知误区；理解实数分类的依据，规范分类表达，理解实数与数轴上点的关系。第一环节自主学习温故知新：复习提问：什么是有理数？有理数可以分为哪几类？有理数都能表示成什么形式的小数？情境探究：已知边长为1的正方形，根据勾股定理，其对角线的长度是多少？（学生得出：）提出问题：是有理数吗？它能表示成有限小数或无限循环小数吗？【学法指导】新知自研：自研课本第52-54页的内容【学法指导】自研课本P52-54页内容，（一）无理数的本质探究把下列有理数写成小数的形式。你发现了什么？讨论发现：上面的有理数都可以写成有限小数或无限环小数的形式。总结归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来、任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。通过前两节的学习、我们知道、很多数的平方根、立方根是无限不循环小数.计算体验：让学生用计算器计算，观察结果：1.414213562…，追问1：这个数有什么特征？这个小数位数无限，且没有循环的数字规律。追问2：下列一组数有什么特征？（相邻两个1之间0的个数依次加1）.这些数都是无限小数，且小数部分不循环。总结归纳：从上面的讨论可知。无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小数又叫作无理数.其核心特征：无限、不循环。像有理数一样，无理数也有正负之分、例如，是正无理数，是负无理数。（二）实数的概念溯源我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”.追问1：有理数和无理数共同组成了什么数集？师生：有理数和无理数统称实数。问题：类比有理数，怎样对实数进行分类？引导学生类比有理数的分类方法，自主尝试对实数分类，教师巡视指导，后补充完善并规范板书两种分类方式.追问2：不同的分类标准分类的结果不同，实数分类有几种？按定义分、按大小分.追问3：按定义怎样分类？追问4：怎样按大小分类？（三）实数与数轴问题：如何用数轴上的点表示无理数？与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度。下面，我们来探究，看一看如何在数轴上表示无理数.思考问题1.以单位长度为直径画一个图，它的周长等于，如图，从原点开始，将这个图沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点O'对应的数是多少?从图中可以看出：的长是这个圆的周长，所以点O'所表示的数是.问题2.以单位长度为边长画一个正方形(如图)，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与正半轴和负半轴交点表示什么数？与正半轴交点就表示，与负半轴交点就表示.追问1：当有理数扩充到实数后，数轴上的点与实数之间有什么关系？总结归纳：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，因此实数与数轴上的点是一一对应的关系.追问2：数轴上点表示的数的大小如何？与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.【自研自探】自研课本P52-54页内容典型例题例1：判断下列说法是否正确，说明理由，①所有带根号的数都是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④分数都是有理数，π不是分数，所以π是无理数；【分析】判断一个数是否为无理数，关键看是否满足“无限不循环”，与是否带根号、是否是小数形式无关。【详解】解：①错误，如是有理数；②错误，无限循环小数是有理数，如；③正确，无理数的本质是无限不循环；④正确.例2：将下列六个数的序号填入相应的括号内．①，②7，③，④，⑤，⑥整数集合{…}；分数集合{…}；负有理数集合{…}；无理数集合{…}．【分析】根据有理数的分类，即可得出答案．【详解】解：∵整数包括正整数，0和负整数，∴整数有7，-15，∵分数包括循环小数，有限小数，∴分数有，-0.01，-3.2020020002，∵负有理数包括负整数和负小数，∴负有理数有-0.01，-3.2020020002，-15，∵无理数为无限不循环小数，∴无限不循环小数有，故答案为：②⑤；①③④；③④⑤；⑥．例3．数轴上的点A、B依次表示两个实数．（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数．【分析】（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置．（2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算．【详解】解：（1）如图：（2）设点C表示的数是x，则：|x+|＝2．∴x＝或﹣3．∴点C表示的数是或﹣3．第二环节合作探究1.讨论什么是无理数？无理数的核心特征是什么？2.讨论什么实数？如何进行分类？3.讨论实数与数轴上点之间的关系？如何用数轴上点比较实数大小？拓展提升：1.在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来．，，0，，．【详解】解：，如下图，．课本课堂练习1、2、3.；参考答案：1.（1）错误；（2）正确；(3）错误；（4）错误;(5）正确.2.，，，，，，是有理数；，，，，，，，，，，，，，，是无理数.3.数轴表示略，.1．（2025•遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+10．（填“＞”“＝”或“＜”）【解答】解：观察数轴可知，m＜0且|m|＞1，∴m＜﹣1，∴m+1＜0．故答案为：＜．2．（2025•湖南）下列四个数中，最大的数是（）A．3.5 B． C．0 D．﹣1【解答】解：∵，∴，∴选项中的四个数中最大的数是3.5，故选：A．3．（2025•江西）下列各数中，是无理数的是（）A．0 B． C．3.14 D．【解答】解：0是整数，3.14是有限小数，是分数，它们不是无理数，是无限不循环小数，它是无理数，故选：B．4．（2025•扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10，∴123，则数轴上点A表示的数可能是，故选：C．5.把下列各数分别填入相应的横线上．、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）（1）整数：______________________________________________．（2）分数：______________________________________________．（3）无理数：______________________________________________【详解】解：，，（1）整数：{、0、、、…}（2）分数：{、、、、…}（3）无理数：{、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）、…}知识总结：（1）两个概念：无理数（无限不循环小数）、实数（有理