角平分线模型教学课件及练习题

角平分线模型教学课件及练习题引言在平面几何的广阔天地中，角平分线如同一条神奇的轴线，串联起诸多重要的性质与定理，也常常是解决复杂几何问题的关键突破口。对角平分线相关模型的深入理解与灵活运用，不仅能够帮助学生快速找到解题思路，更能培养其几何直观与逻辑推理能力。本课件旨在系统梳理角平分线的核心模型，并通过精选例题与练习题，引导学生掌握其内在规律与应用技巧。一、角平分线的定义与基本性质回顾1.1角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。1.2角平分线的基本性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。几何语言：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。1.3角平分线的判定定理定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。几何语言：如图1，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB。*注：上述两个定理是角平分线最核心的性质，也是构建后续模型的基础。在教学中，应引导学生不仅要记住结论，更要理解其证明过程，并能熟练运用几何语言进行描述。*1.4角平分线的尺规作图（简述作图步骤，强调其依据是全等三角形的判定“SSS”，此处略，实际教学中需详细演示）二、角平分线模型的构建与核心思想角平分线模型并非孤立存在的知识点，而是基于角平分线的性质，结合三角形全等、等腰三角形、平行线等知识，经过长期解题实践总结出的具有典型性和代表性的图形结构。核心思想：1.利用角相等：角平分线提供了一对相等的角，这是构建全等或等腰三角形的重要条件。2.构造对称图形：角平分线本身是角的对称轴，因此常常通过翻折（轴对称变换）来构造全等三角形，转移线段或角的位置。3.利用距离相等：角平分线上的点到两边距离相等，常通过作垂线构造直角三角形或全等三角形。三、常见角平分线模型及辅助线作法3.1模型一：角平分线+平行线→等腰三角形条件：如图2，AD平分∠BAC，且DE∥AB交AC于E。结论：△ADE是等腰三角形（AE=DE）。辅助线：（此模型辅助线隐含，即过角平分线上一点作角一边的平行线）证明思路：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。∴∠ADE=∠CAD，∴AE=DE（等角对等边）。变式：如图3，AD平分∠BAC，且DE∥AC交AB于E，则△ADE是等腰三角形（AE=DE）。*此模型的关键在于利用平行线转移角，从而得到等腰三角形，实现角与边的转化。*3.2模型二：角平分线+垂线→全等三角形（“三线合一”雏形）条件：如图4，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于D，延长BD交AC于E。结论：△ABD≌△AED，AB=AE，BD=DE（即AD垂直平分BE）。辅助线：延长垂线BD交AC于E（或过角的一边上的点作角平分线的垂线，与另一边相交）。证明思路：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADE=90°。在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∠ADB=∠ADE，∴△ABD≌△AED（ASA）。∴AB=AE，BD=DE。核心：此模型通过延长垂线，构造了以角平分线为公共边的全等三角形，常用于“截长”或“补短”的情境，将分散的线段集中。3.3模型三：角平分线遇垂直（向两边作垂线）条件：如图5，AD平分∠BAC，点P是AD上一点，过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N。结论：PM=PN（角平分线性质定理直接应用），△PAM≌△PAN。辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线。应用场景：已知角平分线，需要证明线段相等或构造全等时，优先考虑过角平分线上的点向两边作垂线。这是角平分线性质定理最直接的应用，能快速得到一组相等的垂线段和全等的直角三角形。3.4模型四：截长补短法（角平分线背景下）条件：如图6，AD平分∠BAC，AB>AC，点E在AD上。问题：若要证AB-AC=BD-DC或AB+DC=AC+BD等线段和差关系。辅助线作法：*截长法：在AB上截取AF=AC，连接EF（如图6-1）。则可证△AEF≌△AEC（SAS）。*补短法：延长AC至F，使AF=AB，连接EF（如图6-2）。则可证△AEB≌△AEF（SAS）。核心思想：利用角平分线的对称性，在较长的线段上截取等于较短线段的部分，或延长较短线段使其等于较长线段，从而构造全等三角形，将线段的和差问题转化为线段的等量关系。*此模型是解决角平分线相关线段和差问题的利器，关键在于根据题设条件选择“截长”还是“补短”。*四、模型应用策略与解题步骤1.识别模型：仔细审题，观察图形中是否存在角平分线，以及角平分线与其他条件（如平行线、垂线、线段不等关系等）的组合，初步判断可能适用的模型。2.联想辅助线：根据识别出的模型特征，回忆并作出相应的辅助线。辅助线的添加应以构造全等三角形、等腰三角形或利用角平分线性质为目标。3.转化与推理：通过辅助线的添加，将已知条件和待证结论联系起来，运用全等三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等进行推理和计算。4.反思与总结：解题后，反思模型的应用过程，总结关键步骤和易错点，加深对模型本质的理解。五、练习题基础巩固练习1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=3，AB=10，求△ABD的面积。（提示：利用角平分线性质定理，过D作AB的垂线。）练习2：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E。求证：DE=BE。（提示：识别“角平分线+平行线→等腰三角形”模型。）练习3：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF。求证：AD垂直平分EF。（提示：先证DE=DF，再证Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，利用“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”。）能力提升练习4：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD的延长线于E。求证：BD=2CE。（提示：延长CE、BA交于点F，构造“角平分线+垂线→全等三角形”模型，先证△BEF≌△BEC，得到CF=2CE，再证△ABD≌△ACF。）练习5：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C。求证：AB+BD=AC。（提示：方法一（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE，证△ABD≌△AED，再证ED=EC；方法二（补短法）：延长AB至F，使AF=AC，连接DF，或延长CB至G，使BG=AB，连接AG。）练习6：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。（提示：过D作BA、BC的垂线，利用角平分线性质得到两条垂线段相等，再结合AD=CD，证两个直角三角形全等，从而将∠A和∠C转化到同一条直线上。）六、总结与教学建议角平分线模型是平面几何中的重要工具，其核心在于巧妙运用角平分线的性质进行辅助线的构造，实现角、线段的转移与等量代换。在教学过程中，教师应：1.注重概念的本源：从角平分线的定义和基本性质出发，引导学生理解模型的形成过程，避免死记硬背模型。2.强化图形的直观感知：鼓励学生多画图、识图，通过变式训练，让学生在复杂图形中能快速识别出基本模型。3.培养辅助线的添加意识：引导学生思考“为什么这样添加辅助线”，理解辅助线在沟通已知与未知之间的桥梁作用。4.强调一题多解与多题归一：通过典型例题的多角度分析和不同题目间的共性提炼，加深学生对模型本质的理解和灵活运用能力。通过本课件的学习，期望学生能够对角平分线模型有系统的认识，并能熟练运用其解决几何问题，提升几何素养与逻辑推理能力。---解题思路提示与简解（部分）*练习1：过D作DE⊥AB于E。∵AD平分∠CAB，∠C=90°，∴DE=CD=3。S_△ABD=1/2×AB×DE=1/2×10×3=15。*练习4：延长CE交BA延长线于F。∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴CE=EF，即CF=2CE。∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF。在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴