2026年高考数学二轮复习模块三 平面向量（天津）（解析版）

模块三平面向量

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知向量a1,2，b1,y，若a//b，则y的值为（）

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】D

【详解】由a//b，则1y21，解得y2.

故选：D.

2．已知a3，b2，a与b夹角的大小为120，则ab（）

A．3B．3C．3D．3

【答案】B

1

【详解】因为ababcosa,b32cos120323.

2

故选：B

3．如图，在ABC中，D是边AB上一点，且BD2AD，点E是CD的中点．设ABa，ACb，则AE

可以表示为（）

1111

A．abB．ab

2662

1111

C．abD．ab

2662

【答案】B

1111

【详解】由题设，AEACCEACCDAC(CAAD)ACAB，

2226

11

所以ab.

AE62

故选：B

4．如图，在四边形ABCD中，ABBDDC4，ABBDBDDC0，ABBDBDDC4，

则ABDCAC的值为（）

A．2B．22C．4D．42

【答案】C

【详解】

ABDCBD4,ABDC2

由解得，

ABDCBD4.BD2

因为ABBDBDDC0，所以ABBD，BDDC，

结合图象可得AB与DC方向相同，所以ABDCABDC，

2

所以ABDCACABDCACcosCABABDC4.

故选：C.

5．已知抛物线y22pxp0的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，

PB

B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（）

BF

A．1B．2C．3D．3

【答案】B

ppp

【详解】抛物线y22px的焦点F(,0)，准线l:x，D(,0)，

222

22

由对称性，不妨令点A在第一象限，设A(2pt1,2pt1),B(2pt2,2pt2)(t1t20)，

pp

则DA(2pt2,2pt),DB(2pt2,2pt)，由B在线段AD上，

121222

pp1p

得2pt(2pt2)2pt(2pt2)，整理得tt，而P(,2pt)，

21212212421

p

则FP(p,2pt),FB(2pt2,2pt)，由P，B，F共线，

1222

2p2133

得2pt1(2pt2)p2pt2，整理得2t1t2t1t2，解得t,t，

221226

p|PB||PB||PF|2p

于是P(,3p)，过B作BEl于E，所以2.

2|BF||BE||DF|p

故选：B

6．若O为ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为（）

A．等腰△直角三角形B．直角三角形C．等腰△三角形D．等边三角形

【答案】B

【详解】在ABC中，OBOCOBOC2OA，

所以CBOBOAOCOA，

所以ABACABAC，即(ABAC)2(ABAC)2，

222

即AB22ABACACAB2ABACAC，

可得4ABAC0，因AB与AC均为非零向量，

则ABAC，即BAC90，ABC是直角三角形.

故选：B.

7．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足OA=OBOAOB2，则点集

P|OPOAOB,1,,R所表示的区域的面积是（）

A．22B．23C．42D．43

【答案】D

OAOB1

【详解】由题意知OAOBOAOB2，可得cosOA,OB，

OAOB2

π

因为OA,OB[0,π]，所以OA,OB，所以△OAB是等边三角形，

3

不妨设A3,1，B3,1，且OP(x,y)

因为OPOAOB，可得OPOAOB(3(),)，

31

xxy

62

即(x,y)(3(),)，所以3，解得，

31

yxy

62

又因为1,,R，

31313131

xy0xy0xy0xy0

62626262

可得或或或，

31313131

xy0xy0xy0xy0

62626262

此时，可得可行域为矩形ABCD及其内部的区域，

其中，区域的面积为22343.

故选：D.

2

8．平面四边形ABCD中，AB2，AC23，ACAB，ADC，则ADAB的最小值为（）

3

A．3B．23C．1D．2

【答案】D

【详解】由AB2，AC23，ACAB，

ACπ

可得tanABC3，故ABC，

AB3

2

又ADC，所以ADCABCπ，

3

以BC为直径作圆，则A，B，C，D四点共圆，

2π

如图所示，故点D的轨迹是以AC为弦，圆周角为的劣弧（不含A，C两点），

3

则ADAB|AD||AB|cosBAD2|AD|cosBAD，

又|AD|cosBAD表示AD在AB上的投影，

由图可知，|AD|cosBAD[1，0)，

故ADAB2（此时点D在劣弧AC的中点位置），

即ADAB的最小值为2．

故选：D．

②|AD|cosBAD看作是AD在AB上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围.

9．ABC是等腰直角三角形，其中ABAC∣,AB∣1，P是ABC所在平面内的一点，若CPCACB

（0,0且22），则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是（）

22

A．0,B．,1C．1,2D．2,2

22

【答案】B

【详解】设CQ2CA，CPCACB（0,0且22），

则CPCQCB（0，0且1），

22

则P在线段QB上，如图所示，

当P与Q重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最大值，最大值为|CA|1；

12

当P与B重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最小值，最小值为|CB|；

22

2

则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是,1．

2

故选：B.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

1

10．在ABC中，点D在边BC上，且BDBC，E为线段AD的中点.已知ABa，ACb，则BE

3

34

（用a，b表示）；若a3，b4，且BEAD，则BAC.

9

21

【答案】BEab/60

363

【详解】由条件可知，

1111121

BEBABDBABCABACABABAC,

2262636

21

所以BEab；

36

11

由BDBC，得ADABACAB，

33

2121

得ADABACab，

3333

212134

所以BEADabab，

36339

4211234

得aabb，且a3，b4，

99189

41134

所以934cosBAC16，

99189

1π

得cosBAC,BAC0,π,所以BAC.

23

21π

故答案为：ab，.

363

11．若正方形ABCD的边长为1，中心为O，过O作直线l与边AD，BC分别交于P，Q两点，点M满足

13

OMOAOBR．（ⅰ）当时，OM；（ⅱ）PMQM的最小值为．

224

7

【答案】5

816

【详解】由于OAOB，则OAOB=0，

22

222222

222

11212221，

OMOAOBOAOB=

224242228

2

33

32215

（ⅰ）当，则2445，故OM，

4OM8

864

2

（ⅱ）PMQMOMOPOMOQOMOMOPOQOPOQ,

由于OP,OQ为相反向量，故OPOQ0，

22

所以PMQMOMOP，

2

11

2

211

由222124，故当时，OM取最小值，

OM216

84

221

而OP的最大值为OB，

2

2222117

因此当OP取最大值，OM取最小值时，PMQMOMOP取最小值，故最小值为，

16216

7

故答案为：5，

816

π1

12．如图，在平行四边形ABCD中，BAD,|AB|3,|AD|2，点E为BC中点，CGCD，点F为

33

1

边AD上的点．若点F满足AFAD，且EFABAD，则；若点F为线段AD上的

4

动点，则EFFG的取值范围为．

5

【答案】12,5

4

111

【详解】由题意EFABADEBBAAFADABADABAD

244

15

所以1，

44

设AFAD,0,1，

11

EFEBBAAFADABADABAD，

22

2

FGFDDGAB1AD，

3

12

EFFGABADAB1AD

23

221254

AB1ADABAD，

3233

2312

645441112,0,1，

22

11

设y421112,0,1，对称轴是1，

8

故y421112,0,1单调递增，

从而当点F为线段AD上的动点时，EFFG的取值范围为12,5.

5

故答案为：；12,5.

4

13．在ABC中，AB3，AC2，M，N分别为边AB，AC的中点，若点E在线段MN上，且NM3EM，

x

BExAByAC，则.若BAC

60，点P为线段MN上的动点，则BPCP的最小值

y

为.

11

【答案】4

14

11

【详解】依题意BEBMMEBMMNBMANAM

33

111121

ABACABABAC，

232236

2

x

3x

又BExAByAC，且AB、AC不共线，所以，所以4；

1y

y

6

313

如图建立平面直角坐标系，则B3,0，C1,3，所以M,0，N,，

222

3

所以MN1,，

2

因为点P为线段MN上的动点，所以设MPMN，0,1，

3333

则MP1,,，则P,，

2222

3313

所以BP,，CP,3，

2222

3133

所以BPCP3

2222

2

72137111

，

4244714

111

所以当时BPCP取得最小值，最小值为；

714

11

故答案为：4；

14

14．如图，在ABC中，点D，E在边BC上，且BDDEEC，点F，M分别在线段AB，AD上，且

uuuruuuruuuuruuuur

AF2FB,2AMMD，直线FM交AE于点G，且AGAE，则．若直线MC交AE于点N

且MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC．

22

【答案】/0.4

95

uuuur1uuur1uuuruuur1uuur1uuur1uuur1uuur1uuur

【详解】由题设AMAD(ABBD)(ABBE)(ABAEAB)

3332322

1uuuruuur1uuur1uuur

(ABAE)AFAG，

646

112

又F,M,G三点共线，则1，可得，

469

如下图，延长FG交AC于H，

222121111

由AGAE(ADDE)(ADDC)(ADAC)ADAC，

999292299

11

若AHAC，则AGAMAH，而M,G,H三点共线，

39

1111

所以1，即AHAC，

3966

1151

由MHMAAHMAACMA(MCMA)MAMC，

6666

分别过H,M,F作HI//ML//BC，交AE于I,L，

若BDDEEC6a，则ML2a，HIa，

HIHG1MLMN

所以HGMG，NC3MN，

MLMG2ECNC

21

即MGMH，MNMC，

34

35294

综上，MGMAMN，则MAMGMN，MNG为边长为1的正三角形，

26355

361618162

所以MAMCMGMNMNMN.

55555

22

故答案为：，

95

4

15．在平行四边形ABCD中，cosBAD，DC4EC，BCCF，四边形ABCD的面积为6，则EAFA

5

的最小值为；当AB在AD上的投影向量为AD时，EAFA.

43

【答案】10620

8

23

【详解】由条件可知，43，

sinBAD1,SABCDABADsinBADABAD6

555

4

所以ABAD10，所以ABAD108，

5

3

EADADEADAB，FAFBBA2ADAB，

4

32325

EAFAADAB2ADAB2ADABABAD，

442

232322

2ADAB2022ADAB2010620，

44

23

当2ADAB时等号成立，

4

所以EAFA的最小值为10620；

4

AB在AD上的投影向量为AD，则ABcosBADAD，即ABAD,

5

4252

因为ABAD10，所以AB10，得AB，AD22，

52

23243

则EAFA2ADAB20.

48

43

故答案为：10620；.

8

三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

x2y23

16．（14分）已知椭圆1ab0的焦距为23，离心率为.

a2b22

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点M0,2且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A、B，点O在以线段AB为直径的圆外（O为

原点），求k的取值范围.

2

x233

【答案】(1)y1(2)2,,2

422

【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则2c23，得c3，

c3

又离心率为，解得a2，ba2c21，

a2

x2

故椭圆的方程为y21.（5分）

4

（2）

设直线的方程为ykx2，Ax1,y1，Bx2,y2，

ykx2

由2，得14k2x216kx120，

x2

y1

4

23

由Δ16k41214k20，得k2，

4

16k12

则xx，xx

124k21124k21

因为点O在以线段AB为直径的圆外，所以AOB为锐角，

因A,B,O不共线，所以cosAOB0，

故OAOB0，即x1x2y1y20，

2

因y1y2kx12kx22kx1x22kx1x24

2

所以x1x2y1y21kx1x22kx1x24

22

12k116k2k44k

40

4k214k214k21

解得k24，

233

因为k，则得k2，

42

33

解得2k或k2，

22

33

故实数k的取值范围为2,,2.（14分）

22

17．（15分）如图，在ABC中，已知AB2,AC5,BAC60,BC,AC边上的两条中线AM，BN相交于

点P．

(1)求中线AM的长；

(2)求MPN的余弦值；

(3)求ABP面积．

3949153

【答案】(1)(2)(3)

2916

11

【详解】（1）因为M为BC的中点，AMABAC，

22

21122139

AM(ABAC)2AB2ABACAC425225cos60，

4444

39

|AM|.（4分）

2

1

（2）因为BNACAB

2

2

21122121

BNACABACACABAB2525cos604,

2444

21

|BN|，

2

11

AMBN(ABAC)ACAB491

cosMPNcosAM,BN22.（10分）

AMBN

AMBN91

（3）P为中线的交点，P为ABC重心，

22

|AP||AM|,|BP||BN|，

33

75

MPN(0,π)，sinMPN1cos2MPN，

91

153

S|AP‖BP|sinMPN.（15分）

ABC26

18．（15分）已知向量a3,4，b1,x，c1,2．

(1)若ab，求b的值；

(2)若c∥a2b，求向量a2b与a的夹角的余弦值．

5115

【答案】(1)(2)

425

3

【详解】（1）由ab，得34x0，解得x，

4

2

3235

b1,，则b1．（5分）

444

（2）由题意a2b1,42x，

又c∥a2b，12142x0，解得x1，

2222

则a2b1,2，a2b125，a345，

a2ba1324115

cosa2b,a，

a2ba5525

115

即向量a2b与a的夹角的余弦值为．（15分）

25

19．（15分）在直角坐标系中，点P到两点M0,3、N0,3的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，

直线ykx1与C交于A、B两点．

（1）求曲线C的方程；

（2）若OAOB，求k的值．

y21

【答案】（1）x21；（2）k.

42

【详解】（1）因为点P到两点M0,3、N0,3的距离之和等于4，

所以结合椭圆定义易知，点P的轨迹是以点M、N为焦点且2a