小学六年级数学（苏教版）《表面涂色的正方体》高阶思维复习知识清单

小学六年级数学（苏教版）《表面涂色的正方体》高阶思维复习知识清单

一、核心概念与空间观念建构

本知识清单围绕“表面涂色的正方体”展开，属于小学六年级数学（苏教版）第一单元《长方体和正方体》后的综合与实践内容。其核心在于探索将一个表面涂色的大正方体切割成若干个相同小正方体后，不同涂色面数的小正方体的个数及其隐含的规律。这一过程不仅是对正方体特征（顶点、棱、面）的深度应用，更是对学生空间想象能力、分类计数能力以及归纳推理能力的综合考察。复习时，必须建立“位置决定涂色面数”这一核心空间观念，即小正方体在大正方体中所处的位置（顶点、棱上、面内、中心）直接决定了它有几个面被涂上颜色。这需要从一维（棱）、二维（面）、三维（体）的维度进行逐步深入的思考，摒弃死记硬背公式的机械学习，转而追求对模型生成过程的深刻理解。

二、基础知识图谱与规律推导【基础】

复习的起点是牢固掌握正方体的基本特征：正方体有8个顶点，12条棱，6个面。这是后续所有规律推导的几何根基。当我们将一个棱长被平均分成n份的大正方体切割后，得到的小正方体总个数为n³。根据涂色面的数量，我们可以将小正方体分为四类：三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色（各面均无色）。其数量规律完全由其原始位置决定。

（一）三面涂色的小正方体【基础】【高频考点】

三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处。由于大正方体有且仅有8个顶点，因此无论将棱平均分成多少份（n≥2），三面涂色的小正方体永远是且只有8个。这是一个不变的定值，也是解决此类问题的逻辑锚点。

（二）两面涂色的小正方体【基础】【高频考点】

两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，但需要排除位于两个顶点上的三面涂色小正方体。因此，在每条棱上，两面涂色的小正方体个数为（n-2）。大正方体共有12条棱，所以两面涂色的小正方体总个数为：12×（n-2）。

（三）一面涂色的小正方体【基础】【高频考点】

一面涂色的小正方体位于大正方体的面内，且不能接触棱（即排除掉位于棱上和顶点的小正方体）。在每个面上，剩下的部分是一个边长为（n-2）的正方形网格，因此每个面上的一面涂色小正方体个数为（n-2）²。大正方体共有6个面，所以一面涂色的小正方体总个数为：6×（n-2）²。

（四）没有涂色的小正方体【基础】【高频考点】

没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，它们被完全包裹，不与任何外表面接触。剥离掉大正方体的外表皮（即所有能接触表面的小正方体）后，内部剩下的是一个棱长为（n-2）的小正方体。因此，没有涂色的小正方体总个数为：（n-2）³。

三、数学思想与方法论深度剖析【重要】

本课题不仅是计算，更是重要的数学思想方法的载体。在复习中，需要重点体悟以下方法论：

（一）化繁为简的策略

当直接面对一个复杂的大正方体（如n=10）时，直接计数是困难的。复习时应强化“从简单情形入手”的策略。即从n=2,3,4等最简单的数据开始观察、操作（利用魔方或学具）、记录，通过列表对比，发现数据变化的规律。n=2是特殊情况（此时n-2=0，导致两面、一面涂色均为0），n=3是基础模型，n=4是验证和延伸。

（二）分类讨论的思想【重要】

“分类”是解决本问题的关键。必须清晰地按照涂色面数（3面、2面、1面、0面）对小正方体进行分类。分类的依据是空间位置（顶点、棱上、面中、中心）。这种基于空间位置的分类思想，是解决所有立体几何计数问题的通用方法。

（三）归纳推理与模型意识【非常重要】

通过对n=2,3,4,5等具体数据的观察，引导学生从特殊实例中归纳出一般的规律，即用含n的字母表示各类小正方体个数的通用公式。这个过程就是数学建模的雏形。最终建立起“表面涂色正方体”的数学模型，并能够灵活运用该模型解决变式问题。

四、高频考点与经典题型解析【高频考点】

在各类考试中，本知识点通常以填空、选择或操作探究题的形式出现，考查学生对规律的理解和应用。

（一）正向应用：已知份数，求个数

这是最基本的考查方式。

题型示例：把一个棱长5厘米的大正方体表面涂色，再切成棱长1厘米的小正方体。请问：三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个？

【解题步骤】

1.确定份数n：因为切成棱长1厘米的小正方体，所以n=大正方体棱长÷小正方体棱长=5÷1=5。

2.套用公式：

三面涂色：8个。

两面涂色：12×（n-2）=12×（5-2）=12×3=36个。

一面涂色：6×（n-2）²=6×（5-2）²=6×3²=6×9=54个。

没有涂色：（n-2）³=（5-2）³=3³=27个。

3.验证：总数为5³=125，将四类数量相加：8+36+54+27=125，结果一致。

（二）逆向应用：已知个数，求份数或棱长【难点】

这类题型更具挑战性，要求考生逆向运用公式。

题型示例1：将一个表面涂色的大正方体切成棱长1厘米的小正方体，其中两面涂色的有36个，求大正方体的体积。

【解题步骤】

4.设未知数：设大正方体的棱长被平均分成了n份。

5.找等量关系：根据两面涂色公式，12×(n-2)=36。

6.解方程：n-2=36÷12=3，所以n=5。

7.求棱长：因为切成棱长1厘米的小正方体，所以大正方体棱长=n×1厘米=5厘米。

8.求体积：大正方体体积=5³=125立方厘米。

题型示例2：把一个表面涂色的大正方体切开，得到的小正方体中，只有一面涂色的有150个，那么没有涂色的小正方体有多少个？

【解题步骤】

9.设未知数：设棱被平均分成n份。

10.找等量关系：6×(n-2)²=150。

11.解方程：(n-2)²=150÷6=25，所以n-2=5（n为正整数，取正值），则n=7。

12.求没有涂色个数：代入公式（n-2)³=5³=125个。

（三）复合应用：求特定位置或比例

题型示例：在一个棱长为8的大正方体（表面涂色）中，去掉一个角上的小正方体后，剩余部分的表面积是多少？

【解题思路】此题结合了表面积计算。去掉一个角（三面涂色的小正方体）后，虽然少了一个小正方体，但又露出了三个原来在内部的、同样大小的正方形面。因此，剩余部分的表面积等于原大正方体的表面积。这考查了对面和体关系的深刻理解。

五、易错点与难点突破【难点】【易错点】

（一）位置与数量的混淆

【易错点】学生常常记不清哪类涂色小正方体在哪个位置，导致公式错乱。例如，将两面涂色与一面涂色的位置混淆。

【突破方法】必须建立“顶点-8，棱-12，面-6”的强关联。通过绘制平面展开图或在脑海中构建三维模型，理解“减2”的意义是为了去掉顶点或棱上的小正方体。对于一面涂色，要理解（n-2）²是一个面内中间部分的行和列的数量。

（二）对n值的误判

【易错点】当大正方体棱长不是小正方体棱长的整数倍时，或者当“切成若干个同样大的小正方体”时，对“份数”n的判断错误。

【突破方法】审清题目，明确n是指“每条棱被平均分成的份数”，而不是大正方体的具体长度。n=大正方体棱长÷小正方体棱长。

（三）忽略特殊情况（n=2）

【易错点】在套用（n-2）公式时，容易忽略当n=2时，两面、一面涂色均为0的情况，错误地计算出负数。

【突破方法】n作为份数，最小值为2。在使用公式前，先判断n的具体数值，理解公式的适用范围。

（四）空间想象的断层

【难点】对于内部没有涂色的小正方体，学生往往难以想象其存在形态。

【突破方法】采用“剥皮法”想象：想象将大正方体的表面一层（三面、两面、一面涂色的小正方体）全部剥离掉，剩下的内部核心部分就是一个小一号的正方体，其棱长就是（n-2）。

六、高阶思维拓展与变式探究

作为顶尖的复习清单，必须引导学生跳出基本模型，进行思维拓展，以适应更灵活的题目情境。

（一）变式1：不同切割方式

如果题目不再是平均分成棱长1cm的小正方体，而是指定了具体的切割尺寸（例如把一个棱长6cm的大正方体切割成棱长2cm的小正方体），我们需要先求出n=6÷2=3，然后按照n=3的规律进行计算。

（二）变式2：部分面涂色

如果大正方体不是六个面全涂色，而是只涂部分面（如只涂上面和四周，底面不涂）。【高级思维】【热点】

解题思路：此时不能直接套用原始公式。需要回归到“位置决定涂色面数”的根本原理。例如，只涂五个面时，顶点处的小正方体可能只涂了2个面或3个面（因为底面的顶点没涂），需要根据新的涂色情况，重新对顶点、棱、面上的小正方体进行分类计数。这需要更强的空间分类讨论能力。

（三）变式3：长方体的涂色问题【重要拓展】

将知识迁移到长方体。对于一个长、宽、高被分成a、b、c份（对应长度方向小正方体个数）的长方体，其涂色问题公式会相应变化。

1.三面涂色（顶点处）：永远是8个（只要a,b,c都大于1）。

2.两面涂色（棱上）：分别计算四条长棱、四条宽棱、四条高棱上的两面涂色个数。总数为：4×(a-2)+4×(b-2)+4×(c-2)=4×(a+b+c-6)。

3.一面涂色（面内）：分别计算前后、左右、上下六个面中一面涂色的个数。总数为：2×(a-2)(b-2)+2×(a-2)(c-2)+2×(b-2)(c-2)。

4.没有涂色（内部）：位于长方体内部，个数为(a-2)(b-2)(c-2)。

【考查方式】通常出现在拓展题或附加题中，检验学生对公式来源的深刻理解，而非机械记忆。

七、解题策略与答题规范

1.审题三步走：第一步，明确大正方体的棱长被平均分成的份数n（或通过给定的条件求出n）。第二步，判断问题要求的是哪一类或哪几类小正方体。第三步，根据空间位置选择对应的公式或方法计算。

2.数形结合：遇到复杂问题，尤其是变式问题，务必在草稿纸上画出示意图（平面图或立体轮廓图），标出顶点、棱、面，帮助进行空间想象和分类。

3.分类验证：在求出各类个数后，养成用总个数（n³）减去各类涂色个数之和是否等于没有涂色个数的方式，或反过来用加法验算总数，来检验计算结果的正误。

4.规范表达：在解答题中，应清晰写出分类过程。例如：“因为三面涂色的在顶点处，有8个；因为两面涂色的在棱上，每条棱中间有（n-2）个，共12条棱，所以两面涂色的为12×(n-2)=...”。

5.单位意识：在最后结果中，注意检查是否需要带单位，尤其是涉及体积计算时。

八、数学文化与学习价值

“表面涂色的正方体”不仅是一个数学知识点，它还承载着丰