数量积的定义及计算课件-高一下学期数学湘教版-1

1.5.1数量积的定义及计算

功是一个什么量？物理中常说力做正功、负功，不做功有怎样的数学含义呢？

F

若拉力F与位移s方向相同，则功等于力和位移大小的乘积，即W=|F||s|=Fs.注意：这里的乘积不表示力的大小和位移大小的乘积，而是将“功”看成是力F与位移s两个向量“相乘”的结果.一、数量积的物理背景

F

由力学知识知道，F可分解为水平和垂直两个方向的分力F1，F2之和，即F=F1+F2.由力学知识还知道，与位移s垂直的力F2做的功F2·s=0.因此

W=F·s=

F1·s.也就是说，合力F做的功W等于水平分力F1做的功.合力F所做的功W等于各分力所做的功之和:W=F·s=(F1+F2)·s=F1·s+F2·s.这说明这种乘积F·s满足对向量加法的分配律.①当0≤α<时，F1与s方向相同，W=|

F1||s|.由图知|F1|=|F|cosα，因而W=|F1||s|=|F||s|cosα.②当<α≤π时，F1与s方向相反，W=－|F1||s|，其中|F1|=|F||cosα|，cosα=－|cosα|<0，因而W=－|F1||s|=－|F||cosα||s|=|F||s|cosα.③当α=时，W=0，F1=0，cosα=0，因而W=|F||s|cosα仍成立.综上所述，在所有情形下都有W=F·s=|F||s|cos

α.我们将其推广到数学中的两个向量相乘功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

|a||b|cos〈a，b〉a⊥ba⊥bOABθ二、向量的数量积1.向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值是正数还是负数完全由cosα决定.2.数量积是一种新的运算，“·”不能忽略不写，也不能写成“×”3.a·b表示数量而不表示向量，与实数a,b不同，a+b,a-b表示向量;4.0·a=0;5.若a·b=0，则a和b中至少有一个零向量或a，b均为非零向量，且a⊥b.6.公式可进行变形，知三求一.数量积：a·b=|a||b|cos<a,b>注

意解：由数量积的定义可知，a·b=|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉=a·b|a||b|=又因此a与b的夹角为例1

已知|a|=12，|b|=9，a·b=－.求a与b的夹角.公式变形，知三求一a·b=|a||b|cos<a,b>

解：当a，b同号，即〈a，b〉=0时，a·b=|a||b|cos0=|a||b|=|a||b|=ab.当a，b异号，即〈a，b〉=π时，a·b=|a||b|cosπ=－|a||b|=－|a||b|=ab.当a=0或b=0时，a·b=0=ab.

因此，在所有情况下都有a·b=ab.例2

已知向量a=ae，b=be，e为单位向量，求数量积a·b.结论：对于共线的两个向量，将其写成同一个单位向量的实数倍后，这两个向量的数量积等于它们对应的实数的乘积.a，b的夹角会有哪些情况？试一试：已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.(1)若θ＝135°，则a·b＝________；(2)若a∥b，则a·b＝________；(3)若a⊥b，则a·b＝________.±60

三、投影

一般地，a与b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的投影｜b｜cos

α的乘积，或b的长度｜b｜与a在b方向上的投影｜a｜cosα的乘积.由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影|b|cosα的公式：若求b在a方向上的投影呢？设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则如下运算律成立:

(1)交换律：a·b=b·a

；

(2)与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b)

；

(3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.四、数量积的运算律由数量积的定义可以直接证明运算律(1)(2).下面我们证明运算律(3).如果a，b，c中存在零向量，易知等式成立.

分配律:

证明：

文字语言：向量a+b在向量c上的投影向量等于向量a，b在向量c上的投影的和.上式的两边同乘|a|，得|a||b+c|cosθ=|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2，即a·(b+c)=a·b+a·c.

例3求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知：如图，四边形ABCD是菱形.求证：AC⊥BD.

发现：向量等式(a+b)·(a－b)=|a|2－|b|2的推导过程与实数的乘法公式(a+b)·(a－b)=a2－b2相同，都是同样的运算律做恒等变形.思考：(a+b)2=

a2+2a·b+b2成立吗？如果a·b=0，得到什么