第5节一次方程(组)及其应用

第二章方程(组)及不等式(组)[学习目标]1．掌握等式的基本性质，理解方程的意义．2．掌握各方程与不等式(组)的解法；能在解一元一次方程的基础上，探究二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式的解法，体会转化思想．3．会应用方程(组)与不等式解决实际问题，建立模型观念．4．进一步理解化归转化思想及数形结合思想，提高计算能力及数学建模意识．第5节一次方程(组)及其应用一、等式的性质b±cbc定义只含有_________个未知数(元)，未知数的次数是_________，且等号两边都是整式的方程叫作一元一次方程一般形式ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)一12．解一元一次方程的一般步骤及注意事项步骤具体做法依据注意事项去分母方程两边同乘各分母的最小公倍数等式的性质2不要漏乘不含分母的项去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律，去括号法则括号前面有负号，去括号时括号里面的各项均要变号移项将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边等式的性质1移项时要变号步骤具体做法依据注意事项合并同类项把方程化为ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则系数相加，字母及其指数不变系数化为1方程两边同除以未知数的系数或同乘未知数系数的倒数等式的性质2分母、分子的位置不要颠倒三、二元一次方程(组)及其解法1．定义含有_________个未知数，并且含有_____________的次数都是1的_________方程叫作二元一次方程．把含有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起就构成了二元一次方程组．两未知数的项整式2．二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组的两个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解．消元四、列一次方程(组)解应用题的一般步骤审审清题意，分清题中的已知量、未知量设设其中某个量为_________，并注明单位，对含有两个未知量的问题，需设两个未知数列弄清题意，找出_________，根据_________，列方程(组)解解方程(组)检检验结果是否_________答写答案(不要忘记单位)未知数等量关系等量关系符合题意√2．(2025·西宁三模)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为(

)A．9x＋11＝6x＋16 B．9x－11＝6x－16C．9x＋11＝6x－16 D．9x－11＝6x＋16√√5．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需6小时，乙单独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成？考点一等式的性质及二元一次方程(组)的相关概念√√考点二二元一次方程组的解法考点三一次方程(组)的实际应用√2．(2025·渭南三模)中国剪纸艺术是一种古老的民间艺术形式，以其镂空的艺术手法和独特的视觉效果而闻名．张阿姨裁剪了A，B两种剪纸作品共8个，共用了1500平方厘米的彩纸．已知裁剪1个A种剪纸作品需要用300平方厘米彩纸，裁剪1个B种剪纸作品需要用150平方厘米彩纸，那么张阿姨裁剪了多少个A种剪纸作品？解：设张阿姨裁剪了x个A种剪纸作品，则裁剪了(8－x)个B种剪纸作品，根据题意得300x＋150(8－x)＝1500，解得x＝2．答：张阿姨裁剪了2个A种剪纸作品．√5．(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？解：设种植甲作物m亩，则种植乙作物(10－m)亩，由题意得，5m＋6(10－m)≤55，解得m≥5，所以m的最小值为5．答：至少种植甲作物5亩．数学文化√2．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀和燕的重量各为多少斤？√√√4．(2025·益阳模拟)在古代，算筹是中国传统的计算工具．《孙子算经》中有这样的记载：某工坊制作两种类型的算筹盒，大算筹盒和小算筹盒．已知2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，且每个大算筹盒比小算筹盒多容纳4根算筹．设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则可列方程为(

)A．2(x＋4)＋3x＝48 B．2x＋3(x＋4)＝48C．2(x－4)＋3x＝48 D．2x＋3(x－4)＝48解析：由题意知每个大算筹盒能容纳(x＋4)根算筹，则2(x＋4)＋3x＝48．√√9．(2025·西安一模)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为________．

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8√解析：嘉嘉的方程：设圭的长度为x尺，则表的长度为(x－5)尺，根据题意，圭和表的长度之和为21尺，故方程为：x＋(x－5)＝21；淇淇的方程：设表的长度为y尺，则圭的长度为(y＋5)尺，根据题意，圭和表的长度之和为21尺，故方程为：y＋(y＋5)＝21．综上，两人所列方程均正确．

运往A村的物资/吨运往B村的物资/吨东仓库x

西仓库

运往A村的物资/吨运往B村的物资/吨东仓库x15－x西仓库18－xx－3(2)调运结束之后，结算运费时发现，支付给东、西两个仓库的运费相差220元，求x的值．解：由题意知：支付给东仓库的运费为60x＋20(15－x)＝(40x＋300)元，支付给西仓库的运费为40(18－x)＋30(x－3)＝(630－10x)元．若40x＋300－(630－10x)＝220，解得x＝11；若630－10x－(40x＋300)＝220，解得x＝2．2＜3，不符合题意，应舍去．所以x的值为11．(3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在(2)的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？解：方案一获得利润：4000×15＋7000×2＝