高一数学寒假讲义第十三讲 向量的数量积运算（解析版）

第十三讲向量的数量积运算【知识梳理】一、向量的夹角（1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向.（2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.二、向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则规定:零向量与任一向量的数量积为0.三、向量的投影向量（1）如图（1）,设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.（2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.（3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有四、向量数量积的性质设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则（1）；（2）；（3）；【注】当与同向时,；当与反向时，.（4）；（5）或五、数量积运算的运算律（1）；（2）；（3）题型01简单数量积运算【解题思路】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.【例1】“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．故选：B．【例2】单位向量相互垂直，则.【答案】4【分析】先将原式展开，结合条件以及进行计算.【详解】根据条件有且，所以原式.故答案为：.【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（

）A．对任意向量，都有B．若且，则C．对任意向量，都有D．对任意向量，都有【答案】AD【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】，，可得，故选项A正确；由可得，又，可得或，故选项B错误；,所以不一定成立，故选项C错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；故选：AD.【变式1-2】已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.【变式1-3】已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.【详解】非零向量，，满足，且，对于A，不恒为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不恒为，故C错误；对于D，不恒为，故D错误.故选：B.题型02向量模的有关计算【解题思路】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方.【例3】已知单位向量与单位向量的夹角为，则（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】借助模长与数量积的关系计算即可得.【详解】，故.故选：D.【例4】已知向量满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合向量的数量积和模的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由，可得解得.故选：B.【变式2-1】已知向量，的夹角为，，，则．【答案】【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值.【详解】由题意，向量，的夹角为，，，，故答案为：.【变式2-2】已知单位向量满足，则.【答案】【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可.【详解】因为，所以，所以，则，故.故答案为：【变式2-3】已知向量满足，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由，得，而，则，所以.故答案为：题型03向量夹角的有关计算【解题思路】求向量,的夹角的思路（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.【例5】已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.【详解】结合题意：，，，，．故选：A.【例6】已知向量，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.【详解】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故选：D【变式3-1】已知，且，则向量夹角的余弦值为.【答案】/【分析】将两边平方求解即可.【详解】由可得，即，所以.故答案为：【变式3-2】已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为．【答案】/0.25【分析】根据题意结合数量积运算律可得，代入夹角公式运算求解.【详解】因为，即，则．整理得，又因为，所以．故答案为：.【变式3-3】已知两个单位向量，满足，则．【答案】/【分析】由，得，则，，所以，可求．【详解】两个单位向量，满足，有，得，，，所以，所以．故答案为：题型04向量垂直的有关计算【解题思路】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律.【例7】若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两向量垂直数量积等于0，联立，得，利用两向量的夹角公式计算即可.【详解】因为，，所以，即，化简得，所以．所以．因为，所以．故选：D．【例8】已知向量，不共线，，．(1)若，求的值，并判断，是否同向；(2)若，与夹角为，当为何值时，．【答案】(1)，不同向(2)【分析】（1）依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；（2）根据数量积的定义及运算律求出，由，则，即可求出参数的值.【详解】（1），，，，即．又向量，不共线，，解得，，即，故与反向．（2）因为，与夹角为，所以，又，故，因为，所以，解得，故时，．【变式4-1】对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据投影向量和投影的关系以及投影的计算方法直接求解即可.【详解】由题意得，在上的投影为，同理，在上的投影为，因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量，所以在上的投影互为相反数，所以，则，即.故选：D【变式4-2】已知，，与的夹角是.(1)计算；(2)当k为何值时，？【答案】(1)(2)【分析】根据数量积的计算规则计算.【详解】（1），，与的夹角是，则，即有；（2）由可得，即，即，解得.则当k为时，；、综上，（1），（2）.【变式4-3】已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为.【答案】/【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.【详解】由，所以，即，因为，，所以，设向量的夹角为，所以，所以.故答案为：.题型05投影向量的有关计算【解题思路】将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,且)中计算即可.【例9】已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（

）A．60° B．120°C．135° D．150°【答案】B【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解.【详解】因为在上的投影向量为，所以，即，解得，由知，.故选：B【例10】已知向量，满足，，且和的夹角为.(1)求；(2)求在上的投影向量的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）求模先求平方，将转化为，，的运算，再由已知向量的模与夹角可求；（2）借助数量积的几何意义，将投影向量的长度转化为数量积与模的运算.【详解】（1）；（2）.所以在上的投影向量的长度为.【变式5-1】已知，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据进行求解，得到答案.【详解】因为，，所以在上的投影向量为.故选：D【变式5-2】已知．(1)求与的夹角；(2)若在方向上的投影向量为，求的值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得；（2）先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可.【详解】（1），，即，，，.（2），.【变式5-3】已知，，且，则在上的投影向量为.【答案】【分析】利用平方的方法求得，进而求得投影向量.【详解】由两边平方得，，所以在上的投影向量为.故答案为：题型06几何与数量积运算【解题思路】一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知）【例11】等边边长为，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由是边长为的等边三角形，且，可得，所以.故选：D.【例12】如图，在中，，且，点满足，则.

【答案】【分析】先利用基底法求出，再利用数量积的运算法则即可得解.【详解】因为，所以，因为，，所以，则.故答案为：.【变式6-1】（多选）已知矩形的面积为，则（

）A．5 B．3 C． D．【答案】AD【分析】设，由题意可得，从而可求出，再运用向量数量积的运算律可求得结果.【详解】设，则，解得，或，所以，所以当时，，或当时，，故选：AD

【变式6-2】（多选）在菱形中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据菱形的性质结合向量的运算逐个分析判断【详解】对于A，因为是菱形，所以，，所以，所以A正确，对于D，因为是的中点，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，因为，所以，所以C错误，对于D，过作于，因为，所以∥，因为是的中点，所以为的四等分点，所以，所以D正确，故选：ABD

【变式6-3】向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则＝.【答案】【分析】设出互相垂直的两个单位向量，表示出，利用数量积的运算律求解即可【详解】设网格中方向向右，向上的单位向量分别为，且，，则，则，则.故答案为：课后作业一、单选题1．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据向量垂直的条件，向量数量积的定义及运算可得结果.【详解】因为两个单位向量与的夹角为，且，所以，即，故选：C.2．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，然后再利用夹角公式计算即可.【详解】由得，设又，所以，由于，所以与的夹角为.故选：C.3．已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，故，故选：D4．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得.【详解】与的夹角为钝角，，又与的夹角为，所以，即，解得，又与不共线，所以，所以取值范围为.故选：D5．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】借助题目条件可得，再根据向量模长与向量平方的关系计算即可得.【详解】由题意可得，又，故，则.故选：D.6．已知向量，满足，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】根据向量数量积的运算性质，可得答案.【详解】因为，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.故选：D.二、多选题7．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的是（）

A．++B．（）·C．（+）·=·+·D．|+|=|+|【答案】BC【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断．【详解】对于A，，故A错误，对于B，，而，而，故B正确，对于C，由平面向量数量积的运算律知C正确，对于D，，而，，故D错误，故选：BC8．已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ACD【分析】根据向量的计算求，判断选项A;利用数量积的运算，判断选项B；求出，求解，判断选项C;根据投影向量计算公式，判断选项D.【详解】对于选项A，是夹角为的单位向量，则，故，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，所以，又，所以，故选项C正确；对于选项D，在上的投影向量为，故选项D正确.故选：ACD9．设向量满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量数量积公式，将平方后，即可判断A；由已知变形得，平方后即可求，即可判断B；利用向量模的数量积公式即可判断C；根据向量数量积的夹角公式，即可判断D.【详解】将平方得，由，，得，故A正确；由平方得，得，所以，故B不正确；因为，所以，所以，所以，即，故C正确；由选项C可得，，与C同理可得，，，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题10．已知圆O的圆心在原点，半径为1，点A，B，C是圆O上的三个点，且满足，则.【答案】【分析】由可求出，将其平方可求出，利用向量的减法把和用，，表示，进而计算的值.【详解】由得，则，即，因为