2026年高考数学复习系列（全国）专题2.6 幂函数与指、对数函数（解析版）

专题2.5幂函数与指、对数函数（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1指数的运算】...............................................................................................................................................1

【题型2对数的运算】...............................................................................................................................................2

【题型3幂函数的图象与性质】...............................................................................................................................4

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】...................................................................................................6

【题型5指数、对数函数的图象问题】...................................................................................................................7

【题型6指数、对数函数的单调性问题】...............................................................................................................9

【题型7指对幂数比较大小】.................................................................................................................................11

【题型8解不等式问题】.........................................................................................................................................13

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】.........................................................................................................15

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1指数的运算】

1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若，则的值是（）

���+�

A．45B．752=5,C4．=234D．4

【答案】B

【解题思路】根据指数运算求得正确答案.

【解答过程】.

�+�����22

故选：B.4=4×4=4×2=3×5=75

2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（）

．若，则．若，则

A43B

342

�>0�⋅�=��=2�=2

．若，则．

C11D

4

−12−24

�+�=3�+�=5(2−π)=2−π

【答案】C

【解题思路】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，

利用完全平方A公式即可计算出结果；选项根据平方B开根号必须加绝对值，再利用正负取C绝对值即可判断.

D

【解答过程】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误；

4325

3412

对于：，A，故错误；�>0�⋅�=�≠�A

2

B�=2�=±2B

对于：，所以，化简得

111121

−1−12−2−12−22

C�+�=3�>0,�>0,�>0,�>0,�+�=�+�−2=3�+

，所以，故正确；

1211

−22−2

对�于=：5因为�+�，=所以5C，故错误.

4

4

故选：DC.2−π<0(2−π)=2−π=π−2D

3．（2025·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为.

2

���>0

【答案】

5

4

【解题思路�】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可

【解答过程】

155

22224

�

故答案为：��=⋅�=�=�

5.

4

4．（2025·重�庆九龙坡·三模）已知，则.

��

【答案】3=2,4=3��=

1

2

【解题思路】由指数的运算性质即可得解.

【解答过程】由题意，所以

1.

�����21

3=4=4=2=4��=2

故答案为：.

1

2

【题型2对数的运算】

5．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（）

��−�

2

A．15B．2=3,log5C=．�2D．

53

35−2

【答案】C

【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.

【解答过程】因为，所以，

�

log25=�2=5

又，所以

�.

23

��−��

25

故选2：=C3.2==

6．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速

度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为

�

时，芯片处理T数OP据S的错误率约为（�参=考0数.00据6：+0.2⋅lg384+1）（）128TOPS

A．B．Clg．2≈0.301,lg3≈0.47D7．

【答案】B0.0300.0310.0320.033

【解题思路】由，代入数据即可求解.

�

【解答过程】当�=0.00，6+0.2⋅lg384+1

则�=128

1284

�=0.006+0.2⋅lg384+1=0.006+0.2lg3=0.006+0.22lg2−lg3

.

=故选0.0：06B+.0.22×0.301−0.477=0.031

7．（2025·北京·二模）设，则（）

A．B．�=lg2,�=lg3Clg．15=D．

【答案】B1−��1−�+�1+��1+�−�

【解题思路】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.

【解答过程】由，可得.

故选：B.�=lg2,�=lg3lg15=lg3+lg5=lg3+(1−lg2)=1−�+�

8．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，

例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3

月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年lg�5月=41.28日+我1.5国�汶川发生里

氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（）（注：，）

A．30B．31C．322≈1.41410D≈．33.1362

【答案】C

【解题思路】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案.

�1

�1�2lg�2

【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，

由题意：，�1.�2

lg�1=4.8+1.5×9.0lg�2=4.8+1.5×8.0

于是，

�1

lg�2=lg�1−lg�2=4.8+1.5×9.0−4.8+1.5×8.0=1.5

所以

3.

1

�1.523

�2

故选：C=.10=10=10=1010≈10×3.162=31.62≈32

【题型3幂函数的图象与性质】

9．（2025·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值

22�−3

为（）��=�−�−1�0,+∞�

A．2B．1C．D．

【答案】A−1−2

【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.

【解答过程】因为幂函数在上是增函数，

22�−3

��=�−�−1�0,+∞

所以，解得.

2

�−�−1=1�=2

故选：A2.�−3>0

10．（2025·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）

����

．．．．

A1B1CD1

2−233

【答案】D�=��=��=��=�

【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可.

【解答过程】对于：函数的定义域为，显然不符合题意，故错误；

A1A

2

�=�=�0,+∞

对于：函数的定义域为，显然不符合题意，故错误；

B1B

−21

�

对于C：函数�=�的=定义域为，又0,+∞为奇函数，

33

但是在�=�上函数是下R凸递增�=，故�不符合题意，故C错误；

3

�=�0,+∞

对于：定义域为，又为奇函数，

D11

3

33

�=�=�R�=�

且在上函数是上凸递增，故正确

1D.

3

故选�=：�D.0,+∞

11．（2025高一·上海·专题练习）已知幂函数，且，若，

22−�2

则实数的取值范围是（）��=�−�−5��1>�3�2�>��−3

A．�B．

C．−∞,−3∪3,+∞D．−∞,−1∪3,+∞

【答案】D−∞,−1∪0,3∪3,+∞−3,−1∪0,3∪3,+∞

【解题思路】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解

2

即可.��1>�3�=3�2�>��−3

【解答过程】由为幂函数可知：

22−�

��=�−或�3−，5�

2

�又−�−5=，1故⇒�=在−2单调递减，故，

所以�1>�3，��0,+∞�=3

−1

则��=�或或，

22

22�>0

�2�>��−3⇒2�<�−322�2<�−3

解得或或2�>0�，−3<0�−3<0

实数�的>取3值范0围<是�<3−3<�<−1.

故选：�D.−3,−1∪0,3∪3,+∞

12．（25-26高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数

2�−2

在区间上单调递减，则实数�的�取=值�范围−是5�（+5）����=

��A−．2�−6�B．1,3C．�D．

【答案】C−∞,4−∞,4∪6,+∞6,+∞[4,6]

【解题思路】根据幂函数的定义和奇偶性确定函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求得实数

2

的取值范围.�(�)=�

【�解答过程】因是幂函数，则，解得或，

2�−22

当时，��=�，−其5定�义+域5为�，且为奇�函数−，5�故+舍5去=；1�=1�=4

−1

当�=1时，�(�)=�是上的偶函数{，�|符�≠合0题}意.

2

则�=4�(�)=��，其图象对称轴为直线，

222

由该�(函�)数=在�区−间(2�−上6)单�=调[递�减−，(�可−得3)]−(�−，3)解得.�=�−3

1,3�−3≥3�≥6

故选：C.

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

13．（24-25高一上·河南·月考）函数的定义域为（）

�

A．B．��=C8．−2D．

【答案】CR0,3−∞,3−∞,3

【解题思路】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.

【解答过程】根据题意，函数，

�

则函数，即��=，8−2

��3

所以8−.2≥02≤8=2

故选：�≤C.3

14．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（）

23

�−�−4

A．��B=．2

0,22,+∞

C．D．

11

0,22,+∞

【答案】D

【解题思路】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案.

23

�=�−�−4�≥−1

【解答过程】令，则，当时取等号，

2

2311

�=�−�−4�=�−2−1≥−1�=2

又为R上的单调递增函数，故，即，

23

��−11�−�−41

�=2�=2≥2=2��=2≥2

故函数的值域为，

23

�−�−41

故选：D�.�=22,+∞

15．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）

�2−�

�=�2�−1,2��=lg�−1

A．B．C．D．

【答案】C1,21,41,2∪2,42,4

【解题思路】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得

出关于的不等式�组�，解不等式组即可求出答案.

【解答过�程】由的定义域为，得的定义域为.

�=�2�−1,2�=��−2,4

所以或，

−2≤2−�≤4

�−1>0⇒1<�<22<�≤4

综上，lg�−的1定义≠域0为.

故选：C�.�1,2∪2,4

16．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（）

�+1,�≤0,

��=R�

A．B．loCg．��（+0，21,�）>0D．

【答案】B1,22,+∞0,1∪1,2

【解题思路】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，

的值域取到的�所≤有0值，然�后(�)分和−∞,1两种情况分�(别�)求出的R值域即可得�>解0.�(�)

【解答过程】1当,+∞时，�的>值1域为0<�<，1�(�)

所以要使的�值≤域0为，�(当�)=�+时1，−∞,1

�(�)的值域R需取�到>0的所有值.

�若(�)=l，og则��+21,+∞的值域为，

所以�>只1须�(�)=，lo解g�得�+2,，�>0log�2,+∞

所以当log�2≤时1，的�值≥域2为；

若�∈1，,2则�(�)R的值域为，

此时0<�的<值1域不�可(�能)=取l到og��+2的,�所>有0值，−∞,log�2

综上，�(�实)数的取值范围是1,+∞.

故选：B.�2,+∞

【题型5指数、对数函数的图象问题】

17．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（）

22

��=�−5−5ln4−�

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.

【解答过程】首先：，

2222

所以函数为偶函�数−，�图=象关−于�轴−对5称−，5故ln排4除−C−D.�=�−5−5ln4−�=��

又��，故排除B.�

故选�1：A=.−ln3<0

18．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（）

2

ln(�+1+�)

�−�

�(�)=e+e

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确.

�(�)�+∞�(�)

【解答过程】恒成立，故2的定义域为R，

ln�+1+�

2�−�

�+1+�>0�(�)=e+e

−1

222，

ln�+1−�ln�+1+�ln�+1+�

−���−��−�

�故−�为=奇函e数+e，BD=错误e；+e=−e+e=−��

当�趋(�)向于时，的增长速度远大于的速度，

�−�2

�+∞�=e+e�=ln�+1+�

故2趋向于0，C错误，A正确.

ln�+1+�

�−�

故选�(�：)A=.e+e

19．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（）

A．B．

22

��=ln�+1+���=ln�+1−�

C．D．

22

【答案】�B�=ln�+1+���=ln�+1−�

【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据时，排除A.

【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所�以>该0函数为�奇�函>数0，

中，，，不相等，所以C选项错误；

2

��=ln�+1+�中，�2=ln5+2,�−2=ln5−2，−�2，�−2不相等，所以D选项错误；

2

�对�于=ln�+1−��2，当=ln5−时2，,�−2=l，n与5+图2象不−�符2，故�排−除2A.

2

故选：��B.=ln�+1+�)�>0��>0

20．（2025·甘肃·一模）函数的图象大致为（）

�−�

�=2+2⋅ln�

A．B．

C．D．

【答案】B

【解题思路】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C.

【解答过程】记，函数的定义域是−1<�<，1�≠0��<0

�−�

��=2+2，⋅所ln以�函数为偶函数，�其∣�图≠像0关于轴对称，故D错误；

−��

�当−�=2+且2ln�时=，��，��，即，图像�在轴下方，故A，C错误．

�−�

故选−1：<B�.<1�≠02+2>0ln�<0��<0�

【题型6指数、对数函数的单调性问题】

21．（2025·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（）

2

�−2�

A．B．��=3C．D．

【答案】C−∞,0−1,00,11,+∞

【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.

【解答过程】令，则，

2�

由复合函数的单�调=性�可−知2：��=3

的单调递减区间为函数的单调递减区间，

2

�又�函数�=�−2�，

2

即函数�(−为�)偶=函(数−，�)−2−�=�(�)

结合图象�(�，)如图所示，

可知函数的单调递减区间为和，

2

即的单�=调�递−减2区�间为和−．∞,−10,1

故选��：C．−∞,−10,1

22．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范

22

围是（）�=ln�−2��−3�1,+∞�

A．B．C．D．

111

−∞,3−∞,1−1,3−1,0∪0,3

【答案】C

【解题思路】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即

22

得参数范围.��=�−2��−3�1,+∞

【解答过程】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，

22

可得��=ln�在0,+∞上单调递增且�恒=成ln立�，−2��−3�1,+∞

22

��=�−2��−3�，解1得,+∞，��>0

�≤11

2−1<�<3

即�实1数=的1−取2值�范−围3�是>0.

1

�−1,3

故选：C.

23．（2025·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（）

2

−2�+��

A．B．��=3C．1,4D．�

−∞,44,1616,+∞16,+∞

【答案】A

【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【解答过程】设，，则在上单调递增.

�2�

因为��=在区3间�=−内2�单调+递��减，所�以�函=数3−∞,+∞在区间内单调递减，

2

−2�+��2

结合二��次函=数3的图象和性质(，1,4可)得：，解得4.�=−2�+��1,4

�

4≤1�≤

故选：A.

24．（2025·天津·模拟预测）已知函数且在上单调递增，则a

的取值范围为（）�(�)=log��+log(�+1)�(�>0�≠1)(0,+∞)

A．B．

5−15−1

0,2∪(1,+∞)2,1∪(1,+∞)

C．D．

5−1

【答案】A2,1(1,+∞)

【解题思路】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关

于的不等式即�可>求1解.0<�<1

【解�答过程】当时，根据对数函数的性质可知：函数且在

上单调递增，符�合>题1意；�(�)=log��+log(�+1)�(�>0�≠1)(0,+∞)

当时，由换底公式可得

lg�lg�11

0<�<1�(�)=log��+log(�+1)�=lg�+lg�+1=lg�+lg�+1lg�

，

2

lg�+lg�+1lg�+�

因=为lg�函lg数�+1lg�=lg�lg�+1lg�在上单调递增，且函数在上单调递增，所以

�(�)=log��+log(�+1)�(0,+∞)�=lg�(0,+∞)

2.

lg�+�

又lg�lg�+1>0，所以，，所以，所以，即，解

222

0<�<1lg�<0lg�+1>0lg�+�<0�+�<1�+�−1<0

得.

5−1

0<�<2

综上，a的取值范围为.

5−1

故选：A.0,2∪(1,+∞)

【题型7指对幂数比较大小】

25．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（）

−11

�=e�=ln2�=log23

A．B．C．D．

�<�<��<�<��<�<��<�<�

【答案】B

【解题思路】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解

【解答过程】由，，，

−101

0<�=e<e=1�=ln2<ln1=0�=log23>log22=1

所以.

故选：�<B.�<�

26．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（）

0.70.3

A．�=0.3,�B=．0.7,�=log0.70.3�,�,�

C．�>�>�D．�>�>�

【答案】�A>�>��>�>�

【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.

【解答过程】由幂函数为增函数，得；�,�,�

0.70.70.7

由指数函数为�减=函�数，得�=0.3<0.7；

�0.70.30

由对数函数�=0.7为减函数，0得.7<�=0.7<0.7=1.

所以�=.log0.7��=log0.70.3>log0.70.7=1

故选：�>A.�>�

27．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，

�1

��=�⋅e�=�log35�=−�log32

，则a，b，c的大小关系为（）

�=�A．ln3B．C．D．

【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.

【解答过程】，定义域为，关于原点对称，�=�(log32)

�

且��=�⋅eR，所以函数为奇函数，

−���

所以�−�=−�⋅e=−�⋅e=−��，��=�⋅e

11

333

又�=−�log2=，�−log2=�log2

�

任取��=�⋅e,�>0，且，则，则，

�1�2

故�1在,�2∈0,+上∞单调递0增<，�1<�20<e<e��1<��2

又由��对数函0,数+的∞单调性可得，

所以log32<，log即35<1<.ln3

�log32<�log35<�ln3�>�>�

故选：D.

28．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（）

��

A．B．4=6,6=4,�C=．ln2D．

����

【答案】D�<��>�log��>log��log��<log��

【解题思路】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可.

【解答过程】，，�,�,�，

��

∵4=66=4∴，�=log46,�=log64，，

∵1=log44<log46<log416=，2所以0=log，61<log64<log66=10=ln1<ln2<lne=1

∴对�于∈A(，1,2),�∈(0,1),�∈(0在,1)�单>调�递增，，故A错误；

���

对于B，∵�=�,�∈(0,1)在(0,+上∞单)调递减，∴�>�，故B错误；

���

对于C，∵�=�,�∈(0,1)R在单调∴递�减<，�，故C错误；

对于D，∵�=log� �,�∈(0,1)在(0,+∞)单调递增，∴log� �<log� �,

又∵�=log� �,�∈在(1,2)(0单,+调∞递)减，∴log� �<log�, 1=0

∵�=log� �,�，∈故(0D,1)正确(0.,+∞)∴log� �>log� 1=0

∴故l选og：� �D<.log� �

【题型8解不等式问题】

29．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（）

−�

e−1,�≤0,

��=��2�+��−3>0

A．B．C．1−e,�>0,D．

【答案】A−∞,11,+∞−∞,−3−3,+∞

【解题思路】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.

【解答过程】当时，，，；

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