浙江省杭州某中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

浙江省杭州中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分）

1.下面各式是最简二次根式的是（）

A.V12B.C.V4D.V3

2.下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（）

a-><

c.、.夕D.三一n

3.为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.众数

4.用反证法证明命题“在中，若AR*RC,则24Hze”时，首先应假设（）

A.Z.A=乙BB.AB=BCC.乙B=LCD.Z.A=Z.C

5.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（）

6.关于欠的一元二次方程a/+以+。=0（0工0）的两个实数根分别为2和一3,则分解因式a/+打+。等

于（）

A.(x-2)(%+3)B.(ax—2)(%+3)C.Q(X—2)(x+3)D.(%+2)(%-3)

7.如图，点。是矩形的对角线4c的中点，M是CD边的中点.若4B=8,OM=3,则线段08的长为

()

B.5C.6D.8

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8.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源

汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为X,根据题意，下列方程正确的是（）

A.1210（1-%）2=1000B.1000（14-%）2=1210

C.1000（1+x2）=1210D.1210（1-2%）=1000

9.如图，在矩形48co中，48=旧,4。＞48,保持矩形/BCD四条边长度不变，使其变形成平行四边形

ABC^,且点。1恰好在上，此时△4BDL的面积是矩形A8CD面积的看则40的长度为（）

A.3V3B.2x/3C.375D.2遍

10.如果关于工的一元二次方程。工2+人工+。=09工0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则

称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（）

①方程必—3%+2=0是倍根方程；

②若。-2）（mx+几）=0是倍根方程，则4m2-5mn+n2=0；

③若p、q满足pq=2,则关于x的方程p/+3x+q=0是倍根方程：

④若关于x的方程Q/+bx+c=0是倍根方程，则2b2=9QC.

A.①②B.②③④C.①③D.①③④

二、填空题（共6小题，每小题3分）

11.使式子VF二至有意义，则x的取值范围为.

12.QABCO中，Z4+ZC=130°,则NO的度数是.

13.门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分.如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分

图案.其中乙1,乙2,23,44是五边形48coe的4个夕卜角，若乙1+乙2+/3+44=300。，，贝叱O的度数

是1

图①图②

14.体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为

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95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2:3:5的比例确定最终成绩，则小王的最终成

绩为分.

15.如图，大坝横截面的迎水坡力。的坡比为4:3,背水坡的坡比为1:2,大坝高DE=40米，坝顶宽CD=

15米，则大坝横截面的面积为平方米

16.如图，矩形力BCD中，AD=5,49=7,点E为DC上一个动点，把△4DE沿4E折叠，当点D的对应点

落在乙4BC的角平分线上时，DE的长为.

三、解答题(共8题，共72分)

17.计算题：

⑴(V2)2+J6-3/；

⑵V12^V3-J|xV27

18.解方程：

(1)x2=8%；

(2)2x2—6%+1=0.

19.如图，在△48C中，AB=AC,AO是△力8C的角平分线，四边形AEDC是平行四边形.求证：四边形

是矩形.

20.己知关于x的一元二次方程%2一2%+%-1=0.

（1）已知％=3是此方程的一个艰，求方程的另一个根及k的值；

（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值

21.某中学举办“网络安全知识答题竟赛''，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛,

两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示.

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平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）

C2

七年级a85b）七年级

八年级85C100160

（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？

（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差S七年级2,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.

22.综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.

如图1,有一张长30cm,宽16m的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所

示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）

X

图3

（1）若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去的正方形的边长；

（2）如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发

现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为

412cm2,请计算剪去的正方形的边长.

23.根据所给素材，完成相应任务.

玩转三角板

在某次数学探究活动中，李老师拿出一副

lz\

斜边长都为2的三角板，如图1、图2所

活动背景示，其中乙凡乙4为直角，Z-E=30°,

/-B=45°,要求两直角顶点重合G4与2

D/qBC

重合于点0）进行探究活动.图1图2

第4页

/)E

小聪同学的探究结果如图3所示，DE||

素材1BC,连结80,CE,发现四边形8CE。是区

平行四边形.BgC

图3

D

李老师发现，在上述操作过程中，A008

与△COE的面积比为定值，而且根据。。=

素材2亘

OB,可以通过旋转△COE很快求出这个比

值.BC

图4

解决问题

根据图3帮助小聪同学

任务1（1）证明：四边形BCED为平行四边形.

（2）计算团8CE。的面积.

C

任务2（3）请你根据李老师的分析，直接写出沁.

、ACOE

24.如图，平行四边形力BCD中，E为8C边上的一个动点（不与8、C重合），过点E作直线48的垂线，垂足为

F,FE与DC的延长线相交于点G.

（1）若E为BC中点，求证：BF=CG.

（2）若AB=5,BC=10/8=60。，当点E在线段BC上运动时，尸G的长度是否改变，若不变，求FG；若

改变，请说明理由

（3）在（2）的条件下，”为直线4D上的一点，设=若力、B、E、，四点构成平行四边形，请用含x

的代数式表示8H.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：A、V12=2V3,不是最简二次根式，故选项A不符合题意；

B、［=，，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；

C、V4=2,不是最简二次根式，故选项C不符合题意；

D、V5是最简二次根式，故选项D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；

B.是中心对称图形，故选项B符合题意；

C.不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

D.不是中心对称图形，故选项D人符合题意：

故答案为：B.

【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图

形叫做中心对称图形.据此对各个选项进行判断即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解；众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的统计量是众数.

故答案为：D.

【分析】众数是数据中出现次数最多的数，即可得解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论

为/A土NC,所以用反证法证明命题首先应假设NA=NC.

故答案为：D.

【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛

盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种

证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A、•••80。+110。H180。，.•.四边形不是平行四边形，不符合题意；

B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，小符合题意；

C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；

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D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意.

故选：C.

【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•关于式的一元二次方程a/+b%+c=o(aHO)的两个实数根分别为2和一3,

**•——=2+(—3)=—1»即2=1,=2x(—3)=-6

Q''a«

***ax2+bx+c=a[x2+/+£)=^(x2+x-6)=a(x+3)(x-2).

故答案为：C.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得2=1,£=-6,然后将多项式先提取二次项系数a后整体代

aa

入，进而再利用十字相乘法分解因式即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：：。、M分别是04、CO的中点

•••AD=20M=6

•••四边形ABCD是矩形

・••ABAD=90°

・•・BD=>jAD2+AB2=心+82=10

1

OB=5BD=5

乙

故答案为：B.

【分析】先由三角形中位线定理求得AD等于OM的2倍等于6,再由矩形的每个角都是宜角，可利用勾股

定理求得对角线BD的长，由于矩形的对角线互相平分，则OB等于BD的一半.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：设月平均增长率为，根据题意列方程得：1000(1+%)2=1210

故答案为：B.

【分析】平均增长率问题常列方程：Q(l+x)2=b,其中Q和b分别代表起始数据和终止数据.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：的面积是矩形面积的看

9

•-IXAB*D1B=IAB-AD,

第7页

7

：.D1B=^AD,

AB=JD]A2-D[B2=^-AD=V15»

-*-AD=38，

故答案为：A.

【分析】根据面积求出然后根据勾股定理求出AB长解题即可.

KJ

10.【答案】D

【解析】【解答】解：①x2-3x-2=(%-1)(%-2)=0

=1、%2=2

故结论①正确；

②•••(x-2)(?nx+n)=0是倍根方程

/=2、x2=—亲且mH0

若第1=2丫2，贝U九=一小：

4m2-5mn+nz=4m2+5m2+m2=10m2*0

若％2=2%I，则九=-4?n；

•••4m2-Smn4-n2=4m2+20m2+16m2=40m2丰0

故结论②错误；

③设p/+3%+q=0的两个根分别为勺、x2

3q

AXi+%2=-X2=

pq=2

:•q=一

2

•••%1•%=

2PZ

•0•%=一"、x2=一亮故结论③正确；

④设Q%2+bx+c=0的两个根分别为％1、%2，且=2工2

bc

•••X1+X2=3X2=--.X^X2=2孙/=-

“卜给=白啮

lab2=9a2c

2b2=9ac,故结论④正确

第8页

故答案为：D.

【分析】①解方程得两根符合倍根关系；

②先解方程。一2)(机工+几)=0,再把两根分别代入到4/一5瓶几十/2=o中看等式是否成立；

③先设口无2+3工+9=0的两个根分别为修、外，再用根与系数的关系和pq=2可分别求出两根；

④设。/+以+。=0的两个根分别为必、外，且不=2外，再利用根与系数的关系进行验证即可.

11.【答案】x>2

【解析】【解答】解：式子77,有意义，

Ax-2>0,解得疟2,

故答案为：x>2.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。

12.【答案】115°

【解析】【解答】解：•.•四边形ABCD是平行四边形

•*乙4+=180°、乙4=ZC

:,24+NC==130°

.*4力=65°

zD=180°一乙4=180°-65°=115°

故答案为：115。.

【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补.

13.【答案】120

【解析】【解答】解：如图，zl+z2+z3+z4=300°,

AZDEA+ZEAB+ZABC+ZBCD=180°x4-(N1+N2+N3+N4)=420°,

・•・ZD=180°x(5-2)-420°=120°.

【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出NDEA+NEAB+NABC+NBCD的度数，再结合多

边形的内角和公式，即可求出ND的度数.

14.【答案】93.7

【解析】【解答】解：小王的最终成绩为90'2*鳖处95-5=937分,

乙i"O"iD

故答案为：93.7.

【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加息求和得到总和，冉利用总和除以权重的总和即可得到该数组的

加权平均数，从而得出答案.

第9页

15.【答案】2800

【解析】【解答】解：•••DE_L4B、CFLAB

DE||CF.乙DEF=90°

•••DC||AB

四边形CDEF是矩形

4

-CF1

3BF=2

wX3

4=30、BF=2CF=80

A8=HE+EF+8/=30+15+80=125

S梯形48co=jDE(DC+AH')=«-x40x(15+125)=2800

故答案为：2800.

【分析】由于大坝的横截面是梯形，因此四边形CDEF是矩形，所以EF等于CD,DE等于CF,再分别解

Rt△D£4和Rt△CFB求出AE和BF,则底边AB可求，再利用梯形面积公式计算即可.

16.【答案】|或名

【解析】【解答】解：如图，连接过D彳乍MN148,交48于点M,CO于点N,作D,P1BC交8c于点P

矩形48co中：/-ABC=90°,MN工AB,DPIBC

四边形MBPD为矩形，

•.•点。'在448C的角平分线上，MN1AB,DP1BC

:,MD'=PD',

.•.矩形MBPD为正方形，

MD'=D'P=PB=MB,

设MD'=x,则PD'=x,

-AB=7,

•••AM=7-x,

VAD=5

第10页

・・•由折叠得性质可知:m=5,

在RtZiAMO,中，由勾股定理得；

X2+(7-%)2=25,

解得％=3或4,

MD'=3或4.

在RtAENO'中，设EO'=Q,则EN=4—Q,

①当MD'=3时，AM=4,D'N=2，

22

:.a=Z+(4-Q)2,

解得a=今，即OE=募

②当M0'=4时，AM=3,D'N=l，EN=3-a,

2

a=M+(3-Q)2,

解得Q。，即OE。.

故答案为：狎g.

【分析】

连接BA,过D作M/V14B,交力B于点M,CD于点N,作D,P_LBC交BC于点P,利用三个角是直角可得四边

形MBPD为矩形；利用角平分线得性质得到：M»=P),即可得到邻边相等的矩形MBPD为正方形，从而

得到MD'=D'P=PB=MB,设MD'=x,表示出尸》,AM,再利用勾股定理求出MD',再分两种情况讨

论：利用勾股定理即可求出0E.

17.【答案】(1)解：原式=2+3=5

(2)解：原式=V5-g=2-3=-l

【解析】【分析】(1)利用算术平方根的意义化简运算即可；

(2)利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可.

18.【答案】⑴解:x2-8%=0

x(x-8)=0

*,•%1=0、%2=8

(2)解：Q=2,b=—6,c=1

:.△=b2-4ac=(-6产-4x2x1=28>0

_6±A/28_6±25/7_3±77

'x=2x2=-4-=-3-

3-773+"

：•xi=-2-'%2=-2-

第11页

【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若等号两边有公因式，可先移项，再提公因式，从而化一元二次方

程为一元一次方程；

（2）解一元二次方程时，若各项系数比较简单时，可利用公式法求解，求解时先利用根的判别式验证方程

是否有实数根，即若△<（）,则方程无实数根；反之，直接利用求根公式写出方程的两个根，并进行化简.

19.【答案】证明：•••△ABC中：AB=AC.AD平分

AD1BC>BD=CD

・••乙ADB=90°

••・四边形ACDE是平行四边形

AE||CD、AE=CD

AE||BD、AE=BD

.•.四边形AEBD是平行四边形

•••Z.ADB=90°

•••040BE是矩形

【解析】【分析】先由等腰三角形三线合一知AD是△48C底边BC上的高和中线；由平行四边形的对边平行

且相等，结合等量代换得AE与BD平行且相等，则四边形ADBE是平行四边形，又其一个角乙408是直

角，则平行四边形ADBE是矩形.

20.【答案】（1）解：•.”=3是此方程的一个根，，代入方程得：9-6+k-l=0,

解得:k=-2,

・•・原方程为：x2-2x-3=0,

解得：Xi=3,X2=-1,

，方程的另一个根是一1.

（2）解：:关于x的一元二次方程炉一2第+攵-1=0有两个相等的实数根，

b2—4ac=4—4（k—1）=0,

解得:k=2.

【解析】【分析】

（1）利用方程解的概念将x=3代入方程中可得到关于k的一元一次方程，求出k可再解这个一元二次方程，

即可得出另一个解；也可利用根与系数的关系直接得出另一个解；

（2）由于方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0从而得到关于k的一元一次方程，再解方程即可.

（1）解：•.”=3是此方程的一个根，

・••代入方程得：9-6+/T-1=0,

解得：k=-2,

第12页

，原方程为：X2-2X-3=0,

解得：X1=3,%2=-1，

・・・方程的另一个根是一1.

(2)解：•・•关于x的一元二次方程/—2x+k—1=0有两个相等的实数根，

b2—4ac=4—4(k—1)=0,

解得：k=2.

21.【答案】(1)85,85,80；

(2)答：山表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，

故七年级决赛成绩较好；

(3)解：S2+年锵=~~~~口(~~~~=70('^2),S工年级vsji年级

七年级5

・•・七年级代表队选手成绩比较稳定.

【解析】【解答】(1)解：七年级的平均分a=75+80+^+85+100=&5,众数b=85,

八年级选手的成绩是：70,75,80,100,100,故中位数。=80：

故答案为：85,85,80；

【分析】

(1)平均数直接按照公式计算即可；求中位数先要对全部数据按照从小到大的顺序排列，再取最中间的一个

数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多

个；

(2)由于平均数相同，可比较中位数的大小进行说明；

(3)根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可.

(1)解：七年级的平均分a=75+80+*+85+100-&5,众数b=85,

八年级选手的成绩是：70,75,80,100,100,故中位数c=80；

故答案为：85,85,80；

(2)由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，

故七年级决赛成绩较好；

(3)S2匕年级=(75-85)2+(80-85)2+：(85-85)2+(100-85)2=7o(分2),

c2<c2

，匕年级“,八年级

・••七年级代表队选手成绩比较稳定.

22•【答案】(1)解：设剪去的小正方形的边长为xcm,由题意列方程得：(30-2%)(16-2幻=240

x<8

整理方程得：x2-23%4-60=0

第13页

解得：%i=3、%2=20（舍去）

•••x=3

答：剪去的正方形的边长为3cm.

（2）解：设剪去的正方形的边长为ycm,由题意列方程得：2y（苧+y）+412=30xl6

整理得：y2+15y-34=0

解得：=2、y2=-17（舍去）

y=2

答：剪去的正方形的边长为2cm.

【解析】【分析】（1）设剪去的正方形的边长为%cm,则纸盒的西边分别为30-2%和16-2刈则xV8：再

由等量关系”纸盒的底面积为2406?”列方程并解方程即可；

（2）由于折成了一个有盖的盒子，则剪去的矩形的边长等于30的一半，由等量关系”表面积为412cm2”列

方程，即长方体的表面积等于原纸片的面枳与阴影部分面积的差，再解方程即可.

23.【答案】（1）证明：•・•DE||BC、DE=BC

••・四边形BCDE是平行四边形

（2）解：如图所示，过。作OM_LD£\ON1BC,垂足分别为M、N.

=30。、乙ODE=60。、DE=2

S—xR

OE=yjDE2-OD2=,22-12=73

:.SAODE=：OMDE=：OD・OE

OD-OE73

•••R£Zk80C中：Z.BOC=90°.Z.OBC=LOCB=45°.BC=2

第14页

ON=^BC=1、OB=oc=

四+2

~^T~

•••WED=MN.FC=^tlx2=V3+l

⑶*

【解析】【解答】(3)如图所示：旋转△COE使OE在BO的延长线上.

BC

V。。=1、OE=如、OB=0C=短

：S,BOD%OD,OB0D小

S〉COE^OE-OC0E3

【分析】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(2)过点O分别作DE、BC的高OM、ON,可利用含30度角的直角三角形的性质先求出。D,再运用勾股

定理求出OE,再利用等面积法求出OM,ON可利用直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半求得，由于

DE平行BC,因此M、O、N在三点共线，即MN的长可求，即平行四边形的高MN可知，则面积可求；

(3)旋转△COE使OC、OD互为反向延长线，贝l」OB、OE也互为反向延长线，即此时BE与CD互相垂

直，则△DOB与^COE的面积比等于OD与OE的比等于空.

24.