圆周角定理的五类综合题型（专项训练）-沪科版九年级数学下册【含答案】

微专题03圆周角定理的五大题类综合题型

题型一利用圆周角定理求解

G方法利用圆周角定理求解的方法总结

1.抓定理核心：牢记“同弧所对的圆周角相等”“圆周角等于它所对圆心角的一半”，优先标

注等弧、同弧对应的圆周角与圆心角，快速建立角度等量关系.

2.定弧找角关联：明确待求角或已知角所对的弧，通过弧的传递性（如公共弧、等瓠），

将分散的角度联系起来，转化为可直接计算的角.

3.用特殊推论速解：遇直径时，利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形，结合勾

股定理、三角函数求解边长；遇圆内接四边形，借助“对角互补”推导未知角.

4.构辅助线搭桥：若角度关系不直观，可连接半径、弦或延长线段，构造同弧所对的圆周

角/圆心角，或补全圆内接四边形，打通已知与未知的联系.

核心是“以弧为桥梁，关联角的关系”，灵活运用定理及推论，将几何问题转化为角度计算或

直角三角形问题，高效解题.

（25-26九年级上•浙江宁波•期中）

1.如图，四边形48co内接于OO,若/力OC=100。，则/48C的度数为（）

试卷第1页，共12页

/)

A

A.80°B.100°C.130°D.150°

（25-26九年级上•浙江温州•期中）

2.如图所示，在。。中，弦AB〃CD,连接AC交半径0。于点£,。8平分/ABC,若

48c=38。，则/即。的度数为（）

C

A.38°B.76°C.90°D.95°

（25-26九年级上•浙江嘉兴•期中）

3.如图，点力、8在。。上，点。不与力、8重合，49=70。，则/月C4的度数是

（2025九年级•全国•专题练习）

4.如图，力8为。。的弦，半径。C_L/18,。为。。上一点.若前所对圆心角的度数为

（2025九年级,全国•专题练习）

5.如下图，为0。的弦，?为上一个点，OP〃血NPBA=200.

试卷第2页，共12页

B

（1）求“204的度数.

（2）若石为。。上一个点，AE=PB,求-ER5的度数.

（25-26九年级上•江苏盐城•阶段练习）

6.如图，是。。的直径，C是A4延长线上一点，点。在。0上，RCD=OB,C。延

长线交。。于点E,连接NE,若/4EC=12。，求/E08的度数.

题型二利用圆周角定理证明

G方注利用圆周角定理证明的方法总结

1.明确证明目标：先锁定需证结论（如角相等、线垂直、弧相等），倒推需用到的圆周角

定理核心（同弧对等角、圆周角是圆心角一半）.

2.锚定“弧”为桥梁：找出结论中角或线段对应的同弧、等弧，标注弧所对的圆周角/圆心

角，通过弧的关联性建立侑的等量关系.

3.巧用定理推论：证垂直时，优先找直径，利用“直径所对圆周角为直角”直接推导；证角

互补时，构造圆内接四边形，借助“对角互补”证明.

4.构造辅助线破题：若关系不直观，连接弦、半径或延长线段，补全同弧所对的角，或构

造直径、圆内接四边形，打通已知与结论的逻辑链.

（25-26九年级上•江苏盐城•阶段练习）

7.如图，在。。中，弦48、CD相交于点E,且力.求证：AE=DE.

试卷第3页，共12页

()

D

/J

(25-26九年级上•江苏南京•阶段练习)

8.如图，48为。。的直径，点。在。。上，延长8C至点。，使OC=8C.延长。力与。0

的另一个交点为E，连接力GCE.

(1)求讦：ZD=ZE：

(2)若48=13,8。-力。=7,求"的长.

(2025九年级上•全国•专题练习)

9.如图，在。。中，弦AD=BC,OE上于E,OHJ.BC于H.

(1)求证：AB=CD.

(2)若。。的半径为5,CD=S,BC=4,求O£+O〃的长.

(2025九年级•全国•专题练习)

10.如图，点力，B,C,D在。。上，ACqBD于点、E,过点。作。尸_L8c于点?求证:

(1)△力£3s△。尸c.

试卷第4页，共12页

cFOAD

（2）-----=-----.

FCBC

（25-26九年级上•浙江宁波•阶段练习）

11.如图，在中，AB=AC,以4?为直径的。。分别交于点。E,连接

（2）若EF=4,DF=2,求。。的半径.

（25-26九年级卜.•山东前泽•阶段练习）

12.已知。。是四边形力改?。的外接圆.

（2）如图2,延长。力、CB交于•点、P,求证：PAPD=PBPC；

（3）如图3,连接OP,若点力是产力中点，4。=3,。。的半径厂=4,求OP的长.

题型三半圆（直径）所对的圆周角是直角

方m“半圆/直径所对圆周角是直角解题方法总结

1.抓核心推论：牢记核心逻辑一半圆（或直径）所对的圆周角必为90。，反之，90。圆

周角所对的弦是直径，快速建立“直径/半圆”与“直角”的双向关联.

2.定图形关键元素：先标注图形中的直径、半圆，锁定直径端点与圆上任意一点构成的三

角形，直接判定为直角三侑形（直角在圆上）.

3.灵活运用场景：

试卷第5页，共12页

-证垂直：若需证两线段垂直，可证明它们构成的角是工圆所对圆周角，或证明该角所对的

弦是直径.

-算边长/角度：利用直角三角形性质（勾股定理、锐角互余），结合圆周角定理其他推论，

求解边长、角度或线段关系.

4.构造辅助线：无现成直径时，可连接圆上两点构造直径，或延长线段补全半圆，人为创

造90。圆周角，打通已知与结论的联系.

（25-26九年级上•江苏无期•阶段练习）

13.如图，48是。。的直径，点。，。在。。上，ZDOC=90°,AD=242,8c=2,则。。

c.VioD.V2+1

（25-26九年级上•浙江金华•阶段练习）

14.如图，AB是OO一裹弦,将劣弧沿弦力8翻折，连接力。并延长交翻折后的弧于点C,

连接8C,若AB=66，8c=3,则。。的直径为.

（25-26九年级上•北京密云•期中）

15.已知/、B、C、。是0。上的点，为。。直径，过点。作8。的垂线交BC延长线于

试卷第6页，共12页

(2)若4C〃QE,当//=10,/1C=12时，求OO半径的长.

(25-26九年级上•湖北武汉•期中)

16.如图，力4为的直径，/1E是。。的弦，方=而，DFLAB于点、H,交。0于点

F,连接火交43于点G.

(I)求证：AE=AG,

(2)若BH=3,BD=5,求石尸的长.

(2025九年级上•全国•专题练习)

17.如图，川？为。。的直径，弦CD14B于点E,G是弧4C上一点，延长4G,0c交

于点、尸,连接力。，GD,GD与AB交于点H

(1)若/比1。=。，用含。的代数式表示乙1G。；

(2)如图2,连结力C,CG,若4clG。，求证：DH=CG.

(25-26九年级上•黑龙江哈尔滨•期中)

18.已知：48是。。直役，力C,力。为。。的弦，48平分N。。.

(1)如图1,求证：AC=AD,

试卷第7页，共12页

（2）如图2,点E为砺上一点，连接。旦8£,点G为元上一点，连接力G交CE于点R

若无=靛,求证：4F_CE；

（3）如图3,在（2）的条件下，BHLCE于点、H,连接力E、DE,若ND4E+3NB4E=90°,

CF=2,AF=DE.求线段777的长.

题型四90度的圆周角所对的弦是直径

©方收“90。圆周带所对的弦是直径”解题方法总结

1.抓双向核心逻辑：牢记“90。圆周角一所对弦为直径”的核心推论，同时关联逆用（直径一

所对圆周角为90°）,快速建立“直角”与“直径”的互推关系.

2.锁定关键元素：先标注图形中90。的圆周角，明确其两边与圆的交点，这两点连线即为

待证的直径，聚焦“圆周角顶点在圆上、两边交圆于两点”的前提条件.

3.适配核心场景：

-证弦为直径：直接利用推论，证明圆周角为90。，即可得出该角所对弦是直径.

-构造直径/直角三角形：需用直径时，可在圆上找一点与弦的两端构成90。圆周角，反向推

出弦为直径，进而构造直角三角形.

4.辅助线技巧：无明确90。角时，可连接圆上两点，过一点作垂线构造90。圆周角，或结

合圆内接四边形对角互补推导直角，再应用推论.

（2025・湖北黄石•一模）

19.如图，四边形48C。内接于。0,AC,8。为对角线，8。经过圆心。.若

ZBJC=44°,则/。4。的度数为（）

C.48°D.56°

（24-25九年级下•江西宜春•阶段练习）

20.如图，0c经过原点，并与两坐标轴分别交于力，Q两点，已知。。的半径为1,

/ORA=30°,则的长为.

试卷第8页，共12页

（24-25九年级上•江苏无期•阶段练习）

21.如图，在边长为4的正方形力4C力中，。是CO的中点，连接力P并延长，交8C的延长

线于点歹，作△C7Y*的外接圆。O,连接40并延长交。。于点E,连接即，则石歹的长

为.

（2021九年级下•江西赣川•专题练习）

22.已知从B,C,。是。。上四点，满足NXC8=90。，40平分OC,点尸是弦8C的中

点，延长。尸交。。于E.求证：AB1CE.

（24-25九年级上•江西宜春•阶段练习）

23.如图为一个含30。角的直角三角形及其外接圆，点。在边8c上且力。为/84C的角平

分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹.

试卷第9页，共12页

（1）在图1中，以点8为顶点作一锐角，使之与互余；

（2）在图2中，过点。作线段44的中点。.

（24-25九年级上•江苏无二•期末）

24.如图，已知,48为。。的直径，弦.CDA.AB于点、B,G是;上一点，连接Z。、DG、

CG,延长力G,ZX?相交于点尸.

备用图

（1）若4G=4,GF=3,求力。的长；

FG

（2）记QG与48的交点为P,若48=10,CQ=8,当"GP为等腰三角形时，求。的值.

DG

题型五已知圆内接四达形求角度

©方法已知圆内接四边形求角度解题方法总结

1.抓核心性质：牢记圆内接四边形“对角互补''（对角和为180。）、“外角等于内对角”，这

是求角的核心依据，优先标注已知角及对角、外角关系.

2.定角度关联：先明确待求角是内角还是外角，若为内角，找其对角（利用互补）；若为

外角，直接对应内对角（相等），快速建立已知与未知的等式.

3.结合圆周角定理：若有弧、弦相关条件，叠加“同弧所对圆周角相等“，推导隐藏的角度

关系，补充已知条件缺口.

4.列方程求解：遇多个未知角，设未知数（优先设待求角或关联角），根据互补、相等关

系列方程，结合三角形内侑和等其他几何性质求解.

（25-26九年级上•浙江宁波•期中）

25.如图，是四边形.48CO的外接圆，CE〃AD交AB于点、E,BE=BC,

NBCD=122°,则。的度数为（）

试卷第10页，共12页

A.106°B.112°C.116°D.126°

（25-26九年级匕四川绵阳•期中）

26.如图，四边形48CD内接于。O,延长CO交。。于点E,连接4E,若N4=100。，NE=60。,

则/OCZ）的大小为。

（25-26九年级上•江苏•阶段练习）

27.如图，在。。的内接科边形48CQ中，AB=AD,/C=110。，点E在48上，则

NE=___

（2025九年级上•浙江•专题练习）

28.如图，四边形48CQ内接于连接力交于点“，延长。。至点£

（I）若力8=/。，猜想/力D8和/4OE的数量关系，并说明理由;

试卷第11页，共12页

(2)若的C=45。,SC=3.求。。的直径.

(24-25八年级下•江苏泰州•期末)

29.如图，在。0中，弦4B=/iD,点上在上.

(I)如图①，若8。是。。的直径，求的度数；

(2)如图②，在弧4。上取一点C,若/。=。(90。<a<180。)，请用含a的式子表示，石的

度数.

(2025九年级•江西•专题练习)

30.【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边

形的一个性质，圆内接四边形的对角互补.

的证明过程：

(1)如图①，已知点儿B,C,。在。。上，求证：NB力D+NBCD=180°.

【解决问题】

(2)如图②，己知点力，B,C,。在。。上，若/比1。=3乙?8,。。的半径为4.

①求BD的长；

②连接。1.若。平分N8CO,如图③，请判断8C,CD,/1C之间有怎样的数量关系,

并说明理由.

试卷第12页，共12页

1.c

【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题

的关键.利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出N4OC的度数，再利用圆内接四

边形对角互补即可求出/ABC的度数.

【详解】解：由圆周角定理得到乙4。。=^//。。=50。，

•••四边形为圆O的内接四边形，

.•.48C+//£>(?=180。，

ZABC=130°f

故选：C.

2.D

【分析】本题主要考查平夕亍线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由

OB平分NHBC可得NOBE=g/力BC=19。,由48〃CQ得/8CQ=N48C=38。，由圆周角

定理得4B0D=2NBC。=76。,再由三角形外角性质可得结论.

【详解】解：・；OB平分N4BC,且45c=38。,

NOBE=L/4BC=T9。,

2

•:AB//CD,

."BCD=/ABC=38。,

•・•丽所对圆心角是/BOO,圆周角是

"BOD=24BCD=16。,

ZBED=NOBE+NBOE=190+76°=95°,

故选：D.

3.35。##35度

【分析】本题考查圆周角定理：”在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等丁

这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可.

【详解】解：•••/O=70。，

.•.ZACB=-^O=35°,

2

故答案为：35。.

4.25°

答案第1页，共3()页

【分析】本题考查了圆周为定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件

并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

连接04，根据垂径定理可得启=启，从而可得念所对圆心角的度数为50。，进而可得

乙4。。=50。，然后利用圆周角定理进行计算，即可解答.

【详解】解：连接。4,

为。。的弦，半径OC_L/8,

；C=康，

■:BC所对圆心角的度数为50。，

二元所对圆心角的度数为50。，

.••4。。=50。，

:.NADC=-Z/1OC=-x50°=25°,

22

故答案为：25°.

5.(1)140°

(2)ZEPB的度数为20。或60°

【分析】(1)先由平行线的性质得NOPB=NP84=20。，再由等腰三角形的性质得

4)BP=/OPB=20。,即可求解；

(2)分两种情况，由圆的对称性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理求解即可.

【详解】(1)解：•.•。夕〃48,/.AOPB=^PBA=20°.

•••OP=OB,:"OBP=NOPB=20°,

/.NPOB=180°-20°-20°=140°.

(2)解：分两种情况讨论：①延长PO交OO于点E,连接力E,如图所示.

答案第2页，共30页

由圆的对称性可知，AE=PB.

•••OP"AB、:.PE//AB,=4PBA=20°；

②如图，连接。力，在。。上作出4E关于。力的对称线段力汇,再连接尸

则AE,=AE=PB/E'AO=Z.EAO.

OA=OE/OEA=APBA=20°,

Z-E'AO=Z.EAO=ZOEA=20°,

/.ZE'AE=40°,NE'PE=40°,

/."78=40。+20°=60。.

综上所述，NE尸8的度数为20。或60。.

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆心角、等腰三角形的性质、对称的性质

等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

6.72°

【分析】本题考查了圆的认识、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质

等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.连接利用圆周角定理

和等腰三角形的性质求得/。=24。，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角和“可得/E4O的度数，从而利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接0。，

CD=OR=on

.•.NE4O=N4EC+/C=12°+24°=36。，

:"EOB=24OAE=T2?.

7.见解析

答案第3页，共30页

【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题

的关键.根据圆周角定理得到/力=ND,NC=ZB,证明“E2DEB(ASA)即可得到结论.

【详解】证明：由圆周角定理得N4=N。，/C=NB,

vAB=CD

-AB=CD

-AB-BC=CD-BC

•■AC=BD

:.AC=BD

.,.△AECmDEB(ASA)

AE=DE.

8.(1)证明见解析

⑵12

【分析】本题考查了圆的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是

利用圆的直径所对圆周角为直角、线段垂直平分线的性质结合勾股定理进行求解.

(1)由力4为。0的直径，易证得4C/A。，又由OC=C5,根据线段垂直平分线的性质,

可证得力。=/8,/B=ZD,又因为同弧所对的圆周角相等，NB=NE,即可得

NO=NE；

(2)首先设8C=x,则/C=x—7,根据在Rt2\48C中，AC2+BC2=AB2,可得方程：

-2=132,解此方程即可求得C5的长,继而求得CE的长.

【详解】(1)证明：为。。的直径，

/.ZJCZ?=90°,即4c_£肛

DC=CB,

二4C是线段8。的垂直平分线.

AD=AB.

NB=/D.

又••.同弧所对的圆周角相等，NB=NE,

「•/D=NE；

(2)解：设8C=x,

答案第4页，共3()页

BC-AC=7,

AC=X-7.

在RtA4BC中,根据勾股定理4。2+8。2=4炉，已知45=13,则有：

(^-7)2+x2=132,

解得玉=12,/=-5(线段长度不能为负，舍去)，

二.BC=12,

由(1)知NO=/E,

CD=CE,

又DC=CB,

CE=CB=\2.

9.(1)见解析

⑵3+5

【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是

解题的关键.

(1)由题意易得益=而，进而问题可求证；

(2)连接08,由勾股定理，得OE=3.根据垂径定理可进行求解.

【详解】(1)证明：•••4O—4C,

二益=2，AB+BD=CD+BD^

即初=①，

:.AB=CD.

(2)解：连接08,

毛"

•：AB=CD=8,0ELAB,

AEB=4.

答案第5页，共30页

:・OE二=3,

同理可得。，=&1，

：・0E+0H=3+后.

10.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用圆周角定理得出月E=/CO产，进而得出△力七6“△。产C；

（2）根据（1）中相似三角形的性质得到坐=罢，再根据圆周角定理得到NQ=/3CE,

OFFC

/DAE=NCBE,推出A/DEsaBCE,根据相似三角形的性质即可得到结论.

BF=CF,/-COF=/LBOF=-/LBOC,

2

/BAE=NCOF.

又AC工BD,OF1.BC,

:"AEB=/OFC=9QQ,

XAEBsXOFC.

（2）证明：由（1）知AAEBs丛OFC,

AEEBAEOF

---=---,即an...----.

OFFCEBFC

由圆周角定理，得ND=NBCE,ZDAE=Z.CHE,

.."DESABCE,

ADAE

/.---=——,

BCBE

.FOAD

'~FC~~BC'

【点睛】此题主要考查r相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，熟练利用圆周先定

理得出相等的角是解题关谑.

U.⑴见解析

答案第6页，共30页

(2)5

【分析】本题考杳了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用

相关性质和定理进行推理与计算.

(1)通过等腰三角形的性质得到角相等，进而推出同位角相等，证明两宜线平行，再结合

直径所对圆周角为直角得出垂直关系；

(2)利用垂径定理得到罚=所，设的半径为广，则2,再根据勾股定理列方程求

解.

【详解】(1)证明：•••AB=ACQB=OD,

：.ZABC=NC/ABC=NODB

NC=NODB

OD//AC；

(2)解：48为OO的育祥.

二ZAEB=90°,

:"0FB=N4EB=90。,

OD1BE,

BF=EF=4,

设的半径为八则。尸=一2,

在RtABOF中，vBF2।OF1=OB1,

/.(r-2)2+42=r2,

解得厂=5,即。0的半径为5.

12.(1)见解析

(2)见解析

(3)。P=后

【分析】(1)由题意得41=NC=90。，再由勾股定理即可证明；

(2)由“圆内接四边形对角互补”可以证明NE18=NC,ZPBA=ZD,进而证明两个三角

形相似，再用相似三角形的性质求解即可；

(3)设PO与。。交于点E,P。的延长线与。。交于点尸，由(2)中结论得到

4二。二2石二/，再代入解方程即可.

【详解】(1)证明：=。在8。上，「.BO是00的直径，

答案第7页，共3()页

...Z/i=ZC=90°.

在Rt△川?。中，由勾股定理，BD2=AB-4-AD2»

在RtABC。中，由勾股定理，BD2=BC2+CD2,

:.AB2+AD2=BC2+CD2.

(2)证明：是四边形488的外接圆，

ZC+ZD^5=180°,

NP44+NO/18=180。，

/./PAB=NC,

同理可得NP历1=/。，

；qPABsdPCD,

P4PR

即PAPD=PBPC.

PA=AD=3,PD=2AD=6.

由(2)中的结论，有PAPD=PEPF.

其中尸E=。尸一广，PF=OP+r,

.-.3x6=(OP-r)(OP+r),

解得OP=A(负值舍去).

【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质、勾股定理以

及相似三角形的判定与性质.熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互

补”是解题关键.

13.C

【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长。。交O。于E,作EF工CB交

C8的延长线于凡连接BE、EC,证明△EB/是等腰直角三角形，即可推出

EF=BF=2,,再利用勾股定理求出EC,即可解决问题.

答案第8页，共30页

【详解】解：如图，延长。。交。。于£作交C3的延长线于E连接£。,

•••ZAOD=ZBOE,

二花二前，

AD=BE=2V2»

•:乙皿=(CCE=90。,0=O=CE,

：.AOCB=(CEC、Z.CBE=ZO.

："CBE=1(360°-90°)=135°,

："EBF=45。,

是等腰直角三角形，

：.EF=BF=2,

••.CF=4,

在RaECE中，EC=4EF+CF?=2后，

•••△OCE是等腰直角三角形，

：.oc=^=M.

故选：C.

14.9

【分析】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相

关定理及性质是解答本题的关键.延长4c交于点小过点4作8，/力。于点“，连接

BD,先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等“，得到病=而，即

BC=BD=3,然后根据直径所对的圆周角是直角，得到乙48。=90。，利用勾股定理求出AD

的长，由此即得答案.

【详解】解：延长力。交。。于点。，过点4作4〃//。于点〃，连接4。，

答案第9页，共3()页

BC=BD=3,

vAD是直径,

...480=90°,

AD=>/AB-+BD2=+32=9.

故答案为：9.

15.(1)见解析

喧

【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理,

对于(1),连接CO,根据直径所对的圆周角是直角得NQ8C+N8QC=90。,

再根据同角的余角相等得=然后根据同弧所对的圆周角相等得/8OC=24,

即可■得出答案；

对于(2),连接04,先说明BO_L4C,再根据垂径定理得4〃=6,然后根据勾股定理求

出8〃=8,最后根据勾股定理得出方程，求出解即可.

【详解】(1)证明：连接8,

fi

•；BD为OO直径

.•"CD=90。，

:.NDBC+/BDC=90°,

•••BDtDE,

=9。°,

答案第10页，共30页

ZDZ?C+ZE=90°,

："BDC=NE,

■:NBDC=NA,

•*•Z-E—NA；

(2)解：连接CM,

A

："BHC=/BDE=90°,

BDA.AC,

•••8。为。。直径，JC=12,

AH=6,

在Rt△力〃8中，AB=10t

:.BH=8,

设OO的半径为x,O〃=8-x,

••OH1iAll2=O/,

.-.(8-X)2+62=X2,

25

解得x=3,

4

25

.••00的半径为弓.

4

16.(1)见解析

39

(2)^F=—

J

【分析】(1)由垂径定理得防=/，AD=AFfFH=DH,等量代换得益=应)=如，

等弧所对的圆周角相等得//=/见》\得E尸||8。，从而得NAGE=/B,由：D=；F得

N8=N£,等量代换得NB=N£,等边对等角即可得出4?=4G；

(2)连接彳。交于连接。。，设。0的半径为，，先由勾股定理求出。〃=4,即

答案第11页，共30页

可得修=4,在RSOQ〃中由勾股定理列方程可得出圆的半径为得彳8二?，再证明

63

△FHG沿GHB'%Z、得FG=BD=5,GH=BH=3,进而得力G长，由为。。的直

径，

得4。3=90。，即ADA.BD,^EF)\8。得力。J.所，由三线合一得GE=2GM,由七用|8。

得A/GA/S△44。，根据相似比求出GM长，可得GE长，最后由E〃=GE+bG即可得出.

【详解】(1)证明：•.F8为。。的直径，且DF上AB于点”,

二防=版AD=AFfFH=DH，

DE

''DE=BD=BFf

•••N/=Z.BDF,

.♦.EF||BD,

••"AGE=NB,

vAD=AFf

•••N4=NE,

••"AGE=NE,

AE—AG；

(2)解：连接4。交E/于M,连接OO,设。。的半径为〃，如图所示：

•••OB=0A=0D=r,AB=2r>

vDFLAB,BH=3,BD=5,

.•.在RtA8D〃中，由勾股定理得：DH=dBD,-BH?=A，

:,FH=DH=4,

二在中，O£)=r,OH-OB-BH=r—3,DH=4,

答案第12页，共30页

由勾股定理得：OD-=OH-+DH\

即r=(-3)2+42,

25

解得：，•=§，

6

AB=2r=g,

在AFHG和2HB中,

NF=Z.BDF

FH=DH,

NFHG=ZDHB=9。。

cFHGjDHBgA),

:・FG=BD=5、GH=BH=3,

257

..AG=AB-GH-BH=--3-3=-,

33

•.F6为O。的直径，

.'.ZADB=90°,即4。18。，

XvEFIIBD,

•••ADJLEF,

由(1)的结论得：AE=AG,

:.GM=EM,即GE=2GW,

­：EF\\BD,

•••△AGA4s“BD,

GMAG

:.-----=------.

即

7

:.GM=—,

14

:.GE=2GM=y,

1439

：,EF=GE+FG=—+5工.

55

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，相似三角形判定和性质等，熟练掌握圆

答案第13页，共3()页

的性质及相似三角形判定和性质是解题的关键.

17.(l)90°-<z

(2)见解析

【分析】(1)因为力〃为。。的直径，则乙408=90°,所以/8/。+/48。=90。，因为

ZBAD=at则=可表示；；

(2)由4C_LG。得NaG+N4GO=90°,由(1)得N4GD=90。-。，故

/GAC=/BAD=a，有垂径定理可知公=益，则力C=.4。，再通过圆周角定理的推论证得

4CG=ZADH,则可证明“GCaAHD,即可证得题目.

【详解】(1)解：连接/)

•.F8为。。的直径，

404=90。，

;.NB4D+N4BD=90。,

,//BAD—a,

AZABD=900-a

ZAGD=ZABD=90°-a；

(2)证明：-.-ACLGD,

...NC4G+N4GO=90。，

由⑴得4GQ=900-a,

4JAC=a,

答案第14页，共30页

•••48为。。的直径，弦CD14B,

AC=AD»

:.AC=AD,

ZACG=ZADH,

"GC知AHD,

DH=CG.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧，弦，圆心角关系定理，全等三角形的

判定与性质，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键.

18.(1)见详解

(2)见详解

⑶777=6

【分析】(1)连接。。，交力8于点。，由题意易得前=砺，然后根据垂径定理的推论可

得力8垂直平分线段C。，进而问题可求证；

(2)连接力E,由题意易得/8/E+乙48E=90。，ZCAG=Z.BAE,然后可得

ZCAG+ZACF=90°,进而问题可求证；

(3)连接CGIG,由(2)可知：AF1CE,CG=BE,即CG=E8,由题意易得四边形

BGFH是矩形,则有GF=BH,FH=GB,然后可得EH-CF-2,/F=FH,根据角的和

差关系可得乙4CE=NC4E,设4F=FH=i,则

EF=2+t,AE=CE=CF”H+EH=4+t,进而根据勾股定理可建立方程进行求解.

【详解】(1)证明：连接。，交AB于点Q,如图所示：

♦：AB平，｝ZCAD,

："BAC=/BAD,

・•・前=前),即点8为3力的中点,

是。O直径，

答案第15页，共30页

ABA.CD,CQ=DQ,

•••加？垂直平分线段CO,

AC=AD；

（2）证明：连接力E,如图所示:

B

••・48是。。直径，

."AEB=90。，

：・NBAE+NABE=90。,

'-CG=BE^

ZCAG=ZBAE,

•••NABE=Z.ACF,

.•.NG4G+/力。尸=90。，即NA%=90。，

:.AFICE；

（3）解：连接CG,AG,如图所示：

由（2）可知：AF\CE,CG=BE>HPCG=ER.

••・44是。。直径，

.•.4G8=90。，

vBH±CE,AFLCE,

NGFH=/BHF=90°=/AGB,

••・四边形5GFH是矩形，

:.GF=BH,FH=GB,

答案第16页，共30页

:.RLC/GgRs£〃8（HL）,

EH=3=2,

,a=阮'前=丽,

-BC-CG=BD-BE^即前=访，

••.BG=DE,ZDAE=ZBAG,

,：AF=DE»

••.AF=FH,

由NDAE+3NB4E=90。可设NO4G=NBAE=x,则NDAE=90°-3x=ZBAG,

；"ABE=90°-x=Z/1CE/CAE=NCAG+/BAG+ZBAE=90°-x,

:"ACE=/CAE,

二AE=CE.

设”=FH=t,^EF=2+t,AE=CE=CF+FH+EH=4+t,

在Rl△力广E中，由勾股定理可得：（2+/）2+-=（4+/f,

解得：i=6（负根舍去），

FH=6.

【点睛】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆

周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、

圆周角的相关性质是解题的关键.

19.B

【分析】本题考杳了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是90。是解题的关键.由8。

经过圆心。，即80是0。的直径，可得N8CQ=90。，再根据圆周角定理可得

NBDC=NBAC=44°,即可求出NO8。的度数.

【详解】解：•「3。经过圆心O,即8。是。。的直径,

/./BCD=90。,

又「NBDC=ZBAC=44o,

Z.DBC=90°-ZBDC=90°-44°=46°.

故选：B.

20.6

答案第17页，共30页

【分析】如图，连接力。，根据圆周角定理得到则力。为直径，即C点在4。上，

4DO=NOB4=30。,然后根据含30。角的直角三角形边的关系求出04的长，再利用勾股

定理即可求出。。的长.

【详解】解：如图，连接力。，

vZJOZ)=90°,

二力。为直径，即C点在力。上，

•••。。的半径为1,/。口=30。，

AD=2,400=NO%=30°,

OA=—AD=—x2=1,

22

•­OD=ylAD2-OA2=V22-l2=V3，

即O。的长为6.

故答案为：75.

【点睛】本题考查同弧或等瓠所对的圆周角相等，90。的圆周角所对的弦是直径，含30。角

的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：90°的圆周角所对的弦是直径.

21.部

【分析】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定等知识点，熟练

掌握相关定理及性质是解题关键.

先根据正方形和中点的性质证得△”"△用力，进而求得。尸、8b长，根据勾股定理求出

pcBP

BP.然后再证明"CPs/E”可列出比例式后二言，最后将相关数据代入计算即可.

EFBF

【详解】解：•••四边形48CQ是正方形，

:.NABC=/PCF=90。,CD//AB,

•••尸是C。的中点，CD=AB=BC=4,

•.C尸=2,

Vrc〃AB,

答案第18页，共30页

:gFCPs^FBA,

CFCP1

:.---=---=—,

BFAB2

:.BF=8,

?.CF=8-4=4,

由勾股定理得：8P="2+2?=2右，

,•,四边形N8CQ是正方形，

:"CP=4PCF=9Q0,

二巴7是直径，

:.4E=900=ZBCP,

,：NPBC=ZEBF,

^BCP^ABEF,

PCBP

•**二,

EFBF

2_2>/5

•-=----9

EF8

故答案为：士叵.

5

22.见解析

【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理，9()度的圆周角所对的弦是

直径，同弧所对的圆周角相等，设4。与。。的交点为方，连接口，CD,BE,由三角形中

位线定理可得尸〃〃。8,则可证明=进而得到C,D,F,“四点共圆，进

一步可证明NC历1=N4)E=N/13E,再证明力8是。。的直径，则由垂径定理的推论可得

AB1CE.

【详解】证明：设力。与。。的交点为“，连接尸〃，CD,BE,

•.•力。平分OC,

•••点H是。。的中点，

•:F和H分别是CB与0c的中点，

是力。。的中位线，

.-.FH//OB,

:,4DH卜.=4DAB,

答案第19页，共30页

又•••NDCB=NDAB,

:./DHF=4DCB,

••CD,F,"四点共圆,

・•・Z.OCB=ZHCF=4HDF=ZADE,

•：OC=OB,

/OCB=NCBO=4CBA,

：.ZCBA=NADE=/ABE.

vZJC5=90°,

••.4?是O。的直径，

ABICE.

23.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)延长4。交圆于点£,连接4月即可求解：

(2)延长力C,BE交于点F,连接尸。交力〃于点。即为所求.

【详解】(1)如图所示，/力即为与互余的角.

vZC=90°

.F8是圆的直径

.-.ZE=90°

•••N"C=30。

.-.ZBAC=60°

•.•力。为/8/C的角平分线

:.NBAD=Z.CAD=-NBAC=30°

2

:./ABE=180°-/BAE-z£=60。

.'.ZABE+ZABC=90°

答案第20页，共30页

NABE即为与NABC互余的角;

（2）如图所示，点。即为所求.

.•.点D在线段AB的垂直平分线上

-ZCAB=ZABE=60°

.•.△”歹是等边三角形

•••AF=BF

，点尸在线段力8的垂直平分线上

二。Q垂直平分力4

:.AO=BO,即点。是力8中点.

【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中90。所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，

垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识

点.

24.⑴4）=24

⑵怒的值为4或1或孚.

AC：AD

【分析】（1）证明人。得出条=写，代入数据求出结果即可：

ADAF

（2）连接。D8Q,8C,根据垂径定理得出。E=CE=；CO=4,根据勾股定理得出

BC7BE"+CE，=7?7^=2石，根据等腰三角形的性质得出尸E=8E=2，DC平分

EV**'1

ZBDP,证明aCG/s“GZ）,得出寸=K，分三种情况：①当月P=4G时，

DGAG

②当/G=GP时，③当月尸=G。时，分别求出结果即可.

【详解】（1）证明：•••”G=4,G'尸=3,

答案第21页，共30页

：.AF=/1G+GF=7,

•••48是。。直径，AB1CD,

:.AD=AC^

:.NAGD=NADC,

v/DAG=NDAF,

:.AADGsAAF。,

AGAD

••布一万’

：•AD1=AG-AF=4x7=28♦

•*-AD=>/28=25.

(2)解：连接

A

48是(DO直径，ABLCD,

B

：.DE=CE=-CD=4f

vJ5=10,

:.OE=y/52-42=3»

BE=OB-OE=2,

/.BD=BC=>JBE2+CE2=V22+42=25/5•

AD=LE?+DE'=4也；

①当月尸=4G时,

;2AGP=NAPG=/DBA=ZDPB,

;.DP=DB,

又•.•力BIC力，

答案第22页，共30页

:.PE=BE=2,0c平分N8QP,

:.AG=AP=AB-PE-BE=1。-2-2=6,CG=BC，

:.CG=BC=2后,

丁四边形ADCG是圆的内接四边形，

.­.ZAGC+ZCDA=\SO0,

•••4GC+NCGE=180°,

NCGF=ZADC,

同理得：NGCF=ND4G,

由（1）可知4GO=N4。。，

ZCGF=ZAGD,

:.ACGFS"GD,

FGCG2y/5亚

----=-----=------=——.

DGAG63

②当/G=GP时，

：.NG4B=NGPA,

•:NBDG=/GAB,

:"BDG=NGPA,

vZBDG=ZBDC+ZCDG,ZAPG-ZDAB+ZADG,/DAB七/BDC,

ZADG=ZCDG,

-AG=CG^

:.AG=CG,

由①可知：ACGFS"GD,

FGCG,

:.-----=------=1;

DGAG

③当力P=