三角函数-高考二轮数学专项复习

专题二三角函数与解三角形

微专题1三角函数

［考情分析］1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函

数的单.调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查,

难度为中等或偏下.

考点一三角函数的运算

1.同角关系：si/a+cos2a=1,空之tan。三+/nr,kEZ).

cosa\2J

2.诱导公式：在"a,k£Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±^)=sinwcos'土cosQsin[i\

(2)cos(a±/?)=cosQCOS[i+sinasinft；

⑶tan®坳书些吗.

''、f/l+tanatan/?

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sin«cosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2«-1=1-2sin2«；

⑶.2a事•

例1(1)(2024・新课标全国I)已知cos(a+/0=〃?，tanatan尸=2,贝Ucos®/)等于()

D.3〃?

答案A

解析由cos(a+fi)=m得cos«cos夕-sin«sinP=m.①

由tanwtanp=2得吗一2,

'cosacos。②

由①@喘渭雷二或

所以cos(«-^)=cos«cos夕+sinasin0=-3m.

(2)已知a,B，7均是锐角，设sinacos夕+sin"cosy+sinycosa的最大值为tan(),则sin0(sin火cos〃)等于

()

A.V3

答案B

解析由基本不等式可得

22

.z.^sina+cos/?

sinQCOS/W-----------------

siM/Hcos2y

sin/ycosyW

,siMy+cos2a

sin7cosaW

三式相加，可得sinacos£+sin.cos>+sinycosaW，当且仅当人y均为:时等号成立,

所以tan吟，

>i.八/•八，八、sinO(sinO+cosO)taMe+tan。15

贝mUsin伏sm介cos。)一面好神—taMs+i一4

［二级结论］(1)若。£(0,9，则sin«<a<tana.

(2)由(sinoicosa)2=l±2sinacosa次「，sina+cosa,sina-cosa,sinacosa三者知一可求二.

跟踪演练1(1)(2024•辽宁实验中学模拟)已知aE(0,3，3sn2a=cos2«+1,贝Utan2a等于()

A.V2B.V3

JD5

答案C

解析由3sin2a=cos2a+l,

得6sinacosa=2cos2a,

而。£(0，j),BPcosa>0,贝(Jtana=^,

J

rrcpig2tana2x§3

所以3

(2)已知y(x)嗫展，x£(o,9,则函数产4x)的最小值为

答案4V2

解析由题意知，ZU)32—2(si-)

八/sinxcosxsmxcosx

令Z=sinx+cosx=V2sin(x+,

由0<吗，得:叫岑，

所以?<sin(x+：)Wl,

则ywVl

由r=sinx+cosx,

得产=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,

所以sinxcosx=—^~,

则原函数可化为加一套一老一匕，

"2"f

显然函数产《在（1,&］上单调递增，

故当k加时，取得最大值?，此时g（/）取得最小值4鱼，即函数尸=及丫）的最小值为4企.

考点二三角函数的图象与解析式

由函数尸sinx的图象变换得到j=/fsin（5+8）（月>0,刃>0）图象的步骤

［函数尸inx的图象

横坐标伸长（0<3<1）或缩

沿工轴向左3>0）或向右短（“>>1）为原来的1倍

%<©平移个单位长度,（纵至标不变）

（得,v=sin（x+夕）的图象得产sin妙x的图象

横巫标伸安（ka）<l渔缩沿X轴向左3>0）或向右

短（侬>1）为原来的1倍3<0）平移阳个单位长度

（纵坐标不变）

|得产sin（（ox+（p）的图象

纵坐标伸长⑷>1）或缩

短（（X4<1）为原来的4倍

（横坐也变）

［得y=Asin（tox+3）的图象

例2（1）（2024•海口模拟）已知函数/（X尸cos（sr+9）（Q>0,-兀〈”0）的部分图象如图所示，则（)

AJ(x)=cos(3x+习

B./(x)=cos(2x+今)

Cy(x)=cos(x-

D：")=cos(2x—甘

答案D

解析由题图可知，/（0尸苫,

所以cos0=当

所以%£Z或k？+2E,

ob

因为-兀<9<0,所以8=岑，

o

又/管)=COS管3一引=0,

所以某0-金亨〃兀，〃£Z,

SOL

彳导①=2号，kez,

又拜<乙得去①<3,

综上，①=2,所以危尸cos(2%-芳.

(2)(多选)(2024•杭州统考)为了得到函数尸2cos2x的图象，只要把函数产2sin(2x-习图象上所有的点

()

A.向左平成个单位长度

•J

B.向右平移三个单位长度

•J

C.向左平移g个单位长度

D.向右平移与个单位长度

答案AD

解析把函数y=2sin(2x-£)图象上所有的点向左平阴个单位长度，

可得函数尸2sin(2%+y-g=2sii12x+^)=2coslx的图象，A正确；

把函数产2sin(2x-2)图象上所有的点向右平移泞单位长度，

可得函数尸2sin(2x-y-9=2sii(2x^)=-2cos(2x一§的图象，B错误；

把函数尸2si42x-弓)图象上所有的点向左平鳄个单位长度，

可得函数尸2sin卜％+y-%2sin(2x-g+y)=-2cos(2x一马的图象，C错误；

把函数尸2sin(2x-勺图象上所有的点向右平鳄个单位长度，

可得函数尸2singx-y-g=2sin(2x-y)=2cos2x的图象，D正确.

［规律方法］由三角函数的图象求解析式尸/sin(s+0)+8(4>0,①>0)中参数的值

(1)最值定力，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M,最小值为〃?，则M=4+8,m=-A+B,解

z«rM+m.M-m

付nA=~^-

(2)丁定/：由周期公式人生，可得①=§.

3I

(3)特殊点定夕：代入特殊点求力一般代入最高点或最低点，代人中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.

跟踪演练2(1)(2024•重庆模拟)已知函数段尸sin(4x+㈤(㈤<]),先将函数/⑴的图象向右平移行个单

位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象.若函

数g(i)的图象关于y轴对称，则/信)等于()

.1o1

TD.T

答案c

解析先将函数40=sin(4/⑴的图象向右平稣个单位长度，

得到尸sin[4-自+租卜sin(4x冶+尹)的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到g(x)=sin(2x冶+9)的图象，

因为函数式丫)的图象关于y轴对称.

所以千9=履号AeZ,

即修。〃兀，

5

又因为阳竹，所以旷T，

4O

所以危尸sin(4x-)

所以篇卜sin(4x：一朋si哈喙

⑵(2024•呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数/(x)=4cos(coxM(4>0,to>0,的部分图象，将

Ex)图象上所有点的横坐标伸长到原来的粉，再将所得曲线向左平移g个单位长度，得到函数尸g(x)

LO

的图象，则g(x)的解析式为()

A.g(x)=2cos偿-j)

B.g(x)=2cos(2x-目

C.g(x)=2sin2x

D.g(x)=2cos2x

答案D

n.2n

解析由图象可知力=2,后5n

1Z

则仙的一个最低点为借，-2),

/(')的最小正周期7号，则口4=3,

XT7)=2COS(3*工一平)=2艮吟•L+2E>£Z),

所以9三~2E(〃£Z),

又因为期书，所以3吟

所以/(x)=2cos(3x-3)，

将)弓(由图象上所有点的横坐标伸长到原来的潴，

得尸2cos(2x-的图象，

再将所得函数图象向左平每个单位长度，

O

得尸2cos[2(%+力一%2cos2x的图象，故g(x)=2cos2x.

考点三三角函数的性质

函数v=Asin(cox+(p)(A>0,cu>0)的性质

⑴单调性：由-畀2%兀<5+衿92E(AeZ)可得单调递增区间，由>2E<QA+3忘与+2£兀(々七Z)可得单调递

减区间.

(2)对称性：由。x+a=〃兀伏WZ)可得对称中心；由口式+3=依•弓(々WZ)可得对称轴.

(3)奇偶性：当》=履(左£2)时，函数尸4sin®x+9)为奇函数；当行而*%£Z)时，函数产力sin(ftzx+9)为偶函

数.

例3(1)已知宜线x=£,.丫言是函数/(x)=,4sin(3x+夕乂/>0,口>0,5</)图象的两条相邻的对称轴,

且/(V儒)=4则人同等于()

A.-V3B.V3

C.-lD.1

答案D

解析由题意可知;广箸三，

L3124

所以片.由7巨，

2(1)

得出，所以所与

因为窗媪)="，

且直线-去话是函数外周象的两条相邻的对称轴，

所以伫骋)=2,

所以义x）=2sin（4x+。），

由.6）=2sin（4x"+0）=2,

得4x才9亨2E,kGZ,

所以话+2E,〃£Z,

O

又网,所以夕吟

4O

所以G尸2sin（4x+，

贝［1/4）一/停）-2sin（4x£十9-2sii*L

（2）（多选）（2024•枣庄模拟）已知函数/U）=sinb%+g）+cos（2x-）则（）

A.当E）时，儿:）的取值范围是（-V5,2］

BJU）在卜?弓上单调递增

CAx府［0,用上有2个零点

D.把«r）的图象向左平移雪个单位长度，得到的新函数为奇函数

答案AC

解析函数7（x）=sin（2x+9+cos（2x-浦

=sin（2x+§+cos（2x+卜小

=sin（2x+^+sin^2x+g）=2sin（2x+胃

选项A,当同冶,。时，吟三（一9T）*

所以sin（2x+£（一曰,1］，

所以/）的取值范围是（一百，2］,故A正确；

选项B,当回-?弓时,*叫4,

Ax）=2sin（2x+以不单调，故B错误；

选项C,当x£［0,用时，衿右吗工日，

JKJO

可知当Zr专兀以及2x+^2n,即入三以及x或时，/（x尸0,在［0,兀］上有2个零点,故C正确；

选项D,府）的图象向左平然个单位长度，得到g（x）=2sin（2x+3+%2cos2x的图象该函数为偶函数,

故D错误.

［规律方法］研究三角函数的性质，首先化函数为./W=4sin(5+w)+6的形式，然后结合正弦函数尸sinx的

性质求/(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据尸sinx的性质求出/(x)的性质，然后判断各选项；另一

种是由x的值或范围求得t=cox+(p的范围，然后由尸sin/的性质判断各选项.

跟踪演练3(1)(2024-济宁模拟)已知函数/(x)=(V5sinx+cosx)cos若./(x)在区间［-己，m］上的值域

为卜苧，1］,则实数，〃的取值范围是()

9B.RH］

c七，n)D穆用

答案D

解析依题意，函数/(x)=V5sinxcosx+cos2.0=洋sin2xgcos2r=sin3+9,

当.回一9司时,2%£昌，2机+部

显然sin(-%si*=当sin^=l,

且正弦函数尸sinx在灯吊上单调递减，

由/(x)在区间卜/m］上的值域为卜?，1］,

得吗<M

/O0

解箧WmW.

所以实数〃?的取值范围是胃

(2)(多选)(2024・大连模拟)已知函数/(x)=sin(5+p)(①>0,0<^<JT),若/(一时)可偿)=1，fLv.re,胡,

都有/(x)vl,贝")

A.y=/G)在(0,工)上单调递减

B.月㈤的图象关于点信，0)对称

C.若jQx0-9W，则sin(2x0-9)=1

D.y=/(x)的图象向右平移于1、单位长度后得到的函数g(x)是偶区数

答案BC

解析对于A,因为/(x)=sin®x+8)«o>0,0<9<冗)，

所以加)max=l,

又代)喂)7

且Vx0(一巳，引，都有危)<1,

所以?（一3二兀，

所以金兀，解得①=2,

3

即/W=sin（2x+（p）,

又/（今sin（—g+0）=l,

所以于9亨2m%£Z,

解得0口*2依，keL,

O

又0〈9〈江，所以。专，

所以义x）=sin（2x+y）,

当同。，枷,版争得,T），

又尸sinx在售，用上不单调，

所以力3在（0,患）上不单调，故A错误；

对于B,因为_/O=sin（2x工+y）=sin2n=0,

所以刀x）的图象关于点（羽，0）对称，故B正确；

对于C,由昭孙冶局

得sin（与+%

所以sin（2x0-^）=sin[2（x0+已）一外

2

=-cos2Go+j）=2sin（x0+1=[,故C正确；

对于D,将问⑴的图象向右平移泠单位长度后得到岭尸例21-9+1卜in（2x+J的图象，显然g（x）

是非奇非偶函数，故D错误.

专题强化练

（分值：84分）

素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共4（）分）

1.（2024•南充模拟）已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点《-白!）,

则cos（a+等于（）

A片B*

「7V2D*

答案c

解析因为角。的终边与单位圆相交于点J所以Sinq，cosa=^

所以cos（a+；）=cosctcos^-sinasin：

525210,

2.（2024•石嘴山模拟）将函数/（x）=sin2x的图象向左平移3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐

标不变，得到#）的图象，则奴工）等于（）

A.cos4xB.-cos4x

C.cosxD.-cosx

答案C

解析将函数小尸sin2x的图象向左平号个单位长度，得到尸sin21+的图象，

再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到蛉尸而2但+》的图象,

所以鼠x尸sin（x+0=cosx.

3.（2024•郑州模拟）若复数z=sin-g）i是纯虚数，则tan2瞪于（）

A手B咛

噌D线

答案A

解析因为z=sina|+（cos6-是纯虚数,

sine一±=0,2

所以所以加6

所以cos所-V1—sin2/=±

所以—故tan24焉与

4.（2024•渭南模拟）函数./W=2sin（5+e）（G>0,0VgV习的图象如图所示.已知力（一|,-2）,昭，2）,

将，/U）的图象向右平移2个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）

A.g(x)=2sinQx-1)

B.g(x)=2sinQx+§

C.g(x)=-2sinQx-9

D.g(x)=-2sinQx+§

答案D

解析由题意可知.危）的周期7•满足

音（-州得『，

即』，得④吟

（i）L

所以J（x）=2smCx+（p）,

因为点2）是/（X）图象上的T点，

所以尼）=2sin《+（p）=2,sin偿+（p）=1,

则*0=92®,Aez,

oZ

又049吟所以

所以於）-2sin伊+J

将/（x）的图象向右平移2个单位长度，

得到函数虱r尸函in椁（x-2）+/

=-2sinQx+或的图象.

5.（2024•长沙模拟）已知a£（0,］）,且V?cos2a=sin（a+：）,则sin2a等于（）

A7

C.-1D.1

答案B

解析,/V2cos2a=sin(a+,

V2(cos2«-sin2a)=y(sina+cosa),

/.(cosa+sina)(cosa—sina—0=0,

又a£(0，0/

贝!Jsina>0,cosa>0,即cosa+sina>0,

.•.cosa-sina=-i,

/.2a€（0/兀），sin2a>0.

2

由（cos<z-sina）=l-sin2«=^z

得sin2a《，符合题意.

4

综上，sin2aq.

6.（2024•新课标全国I）当x£[0,2m时，曲线尸sinx与尸2sin（3x-的交点个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

答案C

解析因为函数尸sinx的最小正周期

T=2Tt.

函数尸2sin（3x-己）的最小正周期Fi=y,

所以在x£[0,2兀]上，函数尸2sin（3x-9有三个周期的图象,

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，

由图可知，两函数图象有6个交点.

7.（2024•广东省百日冲刺联合学业质量监测）已知cos2a-cos2^=-^,sin（«-/?）=i,则cos（2a+20笔于（）

A*B看

*

D5

答案B

22l+cos2a1+CJS26

解析因为cos«-cos^=--2~--2-

=^(cos2«-cos2//尸-sin(a+/?)sin(a/)=-*,

得到sin(a+0sin(a/)W，

又sin（a/T所以sin（a+^）=i,

所以cos（2«+2^）=1-2sin2（a+y?）=1-^=^.

8.（2024・昆明模拟）已知函数段）=公11+85%，彳£（：，9，若存在整加2，使得/Ui）yx2）,则实数。的取值

范围是（）

A.（-8,1]B.[V3,+oo）

C.（l,V3）D.[l,V3]

答案C

解析若存在工内2,使得/8）=/S）,等价于函数仆）在G，§上不是单调函数，

易知f（x尸caosx-sinx,

若函数外）为增函数，则八刈20恒成立，即。cosrsinx?。，

所以。＞^=tanx在（：，§上恒成立，则

同理，若函数./«为减函数，则,/V）W0恒成立，得“W1,

即若函数府）在（%9上不单调，则1V/〈V5.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.（2024•合肥模拟）已知xi,也是函数外）=25布（5-弓）（0＞0）的两个零点，且所-刈的最小值是看贝4（）

A.函数产/[一习为奇函数

B/（x）的图象关于直线尸q对称

C./（x）的图象可由g（刈=2sin2r的图象向右平移三个单位长度得到

D"）在质T上有且仅有1个零点

答案BD

解析由题意可知，函数/（X）的最小正周期T=2x产，

40）

所以①=2,火刈=2sin（2x-胃

对于A,/（%-J=2sin（2x-1）=-2cos2x,为偶函数，故A错误；

对于B,因为-0=2sin[2x（-J一,=2sin（一5）=2

所以7W的图象关于直线广?对称，故B正确;

对于C,将g（x）=2sin2x的图象向右平移^个单位长度得到产2sin2（x-^）=2sin（2x-三）旬（刈，故C错误；

对于D,当“喏,向时,吗q＞詈],

当日仅当24台兀，即寸，几1）=0,

即以）在偿，T上有且仅有1个零点，故D正确.

10.（2024・芜湖模拟）在平面直角坐标系。孙中，角〃以坐标原点。为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终

边经过点M（a,份，〃"0），定义负夕）中，g（。）甘，则（）

A：/（e）=sin火cos0

B.gS尸鱼sin（8-9

C.若谯=2,贝ijsin20=1

DJ（。）虱夕）是周期函数

答案ABD

解析由题意得MS,/））在角佛终边上，且|OM=/%

所以cos^Lsin0=^-,

mm

则/（也":'sin什cos%&sin（e+；）,

g（e）="；-skiO-cosQasin（6-，故A,B正确;

f（e）_sm8+cos6_tan6+l解但.

g（。）-os。tanO-l解得谢小3,

。

又由sin2^=2sinOcos&=■2sin6cos2tan®2x33,故C错误;

sin20+cos20taMo+l32+l5

/（0）g（8）=（sin火cos4（sinO-cos^）=sin2^-cos2^=-cos20,

因为产cos2。为周期函数,

所以义。应（。尸-cos2协周期函数，故D正确.

11.（2024•日照模拟）已知函数,/（x）〃sin（5+8）“>0,3>0,。〈夕力）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与

/（X）的图象交于M,N两点，且“在y轴上，则下列命题正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期是兀

B.函数/（x）在（—工，—g）上单调递减

C.函数/（x）的图象向左平七个单位长度后得到的函数图象关于直线0对称

D.若圆C的半径为相，则/（x）=^sin（2x+§

答案ACD

q12n

解析A选项，由对称性可知。点的横坐标为一rH，

设企）的最小正周期为T,则作点:-以与解得，=兀，A正确；

B选项，因为①>0,所以①专=2,点（-/0）在图象上，将其代入函数解析式得sin（-g+0）=O,

又0v*凡故夕3，

故/（X尸力sin（2x+）

当登z?时，不如空？，

又4>0,令z=2xg贝！J产sinz在（-胡，一§上不单调，

故函数/（、）在（一条-以上不单调递减，B错误；

C选项，函数/（X）的图象向左平移^个单位长度后得到g（x）=/sin（2x+^+^）=Jsin（2x+]）=4cos2x的图象,

其中g（5）='cos兀=-4故虱x）的图象关于直线x苫对称，C正确；

D选项，若圆。的半径为瑞，即|CM空，

又若，故CY+QM、管）【

解得QM吟

所以将（0，代入/（x）=4sin（2x+g）中得，4sin济，解得力=^,

则於TsiQ+与,D正确.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.（2024•南京联考）将函数/（x）=sin（2x+9）的图象上的每个点的横坐标变为原来的3纵坐标不变），再将得到

的图象向左平呢个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的夕的值：.

答案：（答案不唯一）

解析由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为蚣尸sin[4（x+W+0卜sin（4x+g+0

又g。）的图象关于歹轴对称，

所以争"W+E,kGZ,

解得9=〃兀々，kS,

令仁0,得9=；.

O

13.（2024•新课标全国II）已知a为第一象限角，/?为第三象限角，tana+tan夕=4,tanatan/7=&+l,则

sin（a+^）=.

答案警

解析方法一由题意得tan（a+£）

_tana+tan/?_4_)万

1—tar.atan/71—(V2+1)'

因为GW(2kn,2kn+1),

££(2nnT+Tr,2mn+y),k,〃?£Z,

贝!]a+“£((2〃?+2々)兀+兀，(2阳+2左)兀+2JI),k,〃?£Z,

又因为tan(a+为=-2&<0,

则a+少£((2〃7+2k)兀丹，(2〃?+2k)兀+2兀)，k,〃?WZ,

则sin(a+^)<0,

则则陪-2企，

cos(i+。)

联立sin2(a+^)+cos2(«+^)=1,

解得sin(a+为=¥.

方法二因为a为第一象限角，夕为第三象限角，

则cosa>0,cos/3<0,

cosa

cos一^^―尸""i'1f

Vsinza+coszavl+tanza

n

COSp~'/^cos/?―/-1.f

yfsin2/?+cos2/?v1+tan2/?

贝(Jsin(a+/0=sinacos少+cosasin夕

=costtcos/?(tana+tanp}

Ac-4

=4cos6CCOS[r-/、

Vl+taMaJl+taM/?

-4

J(tana+lan0)2+(tanatan0-l)2

-42V2

J42+23•

14.(2024・南通统考)已知函数九:)=3讨2%-》2cos21一沙1,把函数斤)的图象向左平眈人单位长度,

得到函数g(x)的图象.若xi,右是关于x的方程g(x)=。在[。，3内的两根，则COSS+X2)的值

为•

答案需

解析/(幻=3sin(2x-^)-2cos2(x-已)+1

=3sin|：2x-^-cos(2x-§

=V10sin(2x-g-8)，

其t=t中rhs-m^V1F0，cos(P=3-^m~,

因为把函数/(X)的图象向左平移^个单位长度，得到函数g(x)的图象,

O

所以水)=/1