2026高考数学二轮复习专项突破：不等式

第1讲不等式

—探究真题明确方向

1.（2025•全国II卷，T4）不等式岩22的解集是（）

A.3-24W1}B.{小<・2}

C.3-24<1}D,{x|x>l}

2.（20254匕京，T6）已矢h>0,贝U（）

22

A.a+b>2ababab

C.a+b>7ab

aby/ab

3.（2021・新高考全国I卷，T5）已知尸i,B是椭圆C：誓号1的两个焦点，点”在。上，则［0计|四尸2|的

最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021♦全国乙卷，文T8）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=j2+Zr+4Bk而工局

C.y=2x+22-xD.产lnx+二

5.（多选）（2020•新高考全国I卷，TU）已知心0,6>0,且4+6=1,贝U（）

A.a2+b2^B.2"-T

22

C.logM+log2b2-2D.y/a+yfb^：y/2

6.（多选）（2022•新高考全国0卷,T⑵若x,y满足/+产xy=l,则（）

B.x+y^-2

C^+/^2D.x2+/^1

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考

查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5〜6分.

考查方向：

一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间

的关系，不等式恒成立的问题：三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应

用.

1.答案C

解析空2即哈W0,即{32（；T）L故.2«1,

故不等式的解集为国-2Wx<l}.

2.答案C

解析对于A,当。=b时，a2+b，=2ab,故A错误；

对于B,D,取。=1，6弓，此时

2+4=6>|-^=4V2—i-,故B,D错误；

ab口工yJab

对于C,由基本不等式可得a+Z)22而〉而，故C正确.

3.答案C

解析由椭圆C：y+^=l,得|M〃I|+|A/F2|=2X3=6,则|例「卜|例尸21s(阳//；阳二)2=3』9,当且仅当

|加长|=|"B|=3时等号成立.

4.答案C

解析选项A,因为尸f+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-l时，歹取得最小值，且ymin=3,所以选项A不符合

题意.

选项B,因为产|sin中岛22j|sin刈品=4,所以y24,

当且仅当卜由4=品，即|sinx|=2时不等式取等号，但是|sinx|=2不可能成立，因此可知歹>4,所以选项B

不符合题意.

(或设|sinx|=/,则，w(o,1],根据函数尸d在(°，1]上单调递减可得)'min=l+：5,所以选项B不符合题意.)

选项C,因为尸2-22-2/.22T=4,当且仅当2』22-\即x=2・x,即尸1时不等式取等号，所以M面=4,

所以选项C符合题意.

选项D,当04<1时，lnx<0,y=hx-^~<0,所以选项D不符合题意.

综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数.

5.答案ABD

解析因为。>0,6>0,a+b=\,

所以a+b^2y[ab,

当且仅当折力=1时，等号成立，即有仍W；.

24

对于A,a2+h2=(a+h)2-2ab=1-lab21-2X故A正确；

对于B,2小=22“/日乂2汽

因为心0,所以22“>1,即2小，，故B正确；

对于C,Iog24+log2b=log24bWlog2^=-2,故C错误；

对于D,i(\[a<\[b)2=a^-b+2y[ab=1+2Vab2,得口故D正确.

6.答案BC

解析因为MW(等I〈亨(〃，6£R),

由xz+y2-xy=\可变形为

(x+y)2-l=3xj，W3(等)2,

解得-2Wx+yW2,

当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,

当且仅当.产产1时，x+y=2t所以A错误，B正确；

由f+y-冷-1可变形为

(/**-1=孙・^^,

解得/+/<2,当且仅当产尸土1时取等号，所以C正确；

因为^)r-xy=\可变形为

dr铲],

X-COS3,刍=sin。，

所以尸cos火争in6,

2V3.八

>'=-r-sin/

因此x2+^2=cos26^sin2/7+Z^sinOcos6^=l+ysin2〃卞os20+1

44sin(2e-i)G[r4

所以当V，y=¥时满足等式，

但是F+炉21不成立，所以D错误.

考点一不等式的解法

例1⑴设集合4={耶臼<1},8=卜|唳〈-1}.若43=0,则实数。的取值范围是（）

A.{a|0Wa<6}B.{a|4WaW6}

C.{a\a^0或a26}D.{a|2Wa《4}

答案C

解析由|x-a|vl得，-1令-。<1,

即a-\<x<a-^-\,

所以,4={x|a-1-1+1},

由-^<-1得，—^<0,解得l〈x<5,

x-Sx-5

所以5={x|l<x<5},

因为,4故=0,所以a+lWl或。-125,

解得(7^0或。26,即实数。的取值范围是{”|白<0或。26}.

(2)(2025•济南模拟)已知关于x的不等式组卜2%-8>0,仅有一个整数解，则实数k的取值

(2x2+(2k+7)x+7/c<0

范围为()

A.[-5.3)B.[2,3)

C.[2,3)U[4,5)D.[-5,3)U(4,5]

答案D

解析由x22%4〉。，即(x-4)a+2)>0,解得xv-2或x>4,

由在+(2什7)x+7收0,即(2x+7)(x+k)<0,

当日时，不等式(2"7)(x+〃)<0即为2(%+JV。，无解;

当上彳时，不等式Qx+7)(x+A)<0的解集为(一匕-1),

结合题意，此时原不等式组的解集为(一匕-|),且仅有一个整数解，

所以-5W・K~4,即44W5；

当左《时，不等式(2x+7)("A)<0的解集为(-一,-k),

结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，

则-34%W5,即-5W〃<3.

综上所述，实数％的取值范围为[-33)U(4,5].

[规律方法]对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

跟踪演练1(2025・南通模拟)已知关于x的一元二次不等式日加+2/)・3<0的解集为3,也)，乙工<2,

X1x2

则实数b的取值范围是.

答案{方也<[或>>6}

解析因为关于x的一元二次不等式x2-bx+2Z)-3vO的解集为(xi,由)，

即关于x的一元二次方程丁・瓜+2万3=0的两根为xi,必

%!+x2=b,

%i%2=2b-3,

{21=/?2-4(2b-3)>0,

(1I1=X1+X2=b<2,

所以卜]x2-XiX2~2b-3，

(b>6或b<2,

解得或b>6.

故实数b的取值范围是{b或b>6).

考点二基本不等式

例2(1)(多选)(2025・曲靖模拟)已知正数〃，/)满足a+2/)=l,则()

A.H的最大值为5

O

B.£72+4/?2的最小值为g

C."+后的最大值为2

D.2"+4州勺最小值为2a

答案ABD

解析对于A,因为。，b是正数,所以l=a+2b22,2ab=abW，当且仅当o=2b,即b=|时取等号，

824

所以泌的最大值为:，A正确；

O

对于B,因为。，/）是正数,竽号二屏+4〃品,当且仅当。=2瓦即〃时取等号.“2+4加的

最小值为由B正确;

对于C,SA（>/ar>/2b）2=a+2b+2\/2ab=1+2y/2ab^1+2,当且仅当。=2人，即平?，时取等号，

Va+V2b^V2,口+属的最大值为a，C错误；

对于D,2“+#=2叶22咤2“2*22万=2«2°+2b=2迎,当且仅当2。=22\即。=26,即时取等号，2“+4b

的最小值为2&，D正确.

22

（2）（2025•重庆模拟）已知x+y=2xy（xy^0）f则2-婷-9y的最大值为（）

A.6B.-6C.8D.-8

答案B

解析由^+/=2%2^（xy0）,

两边同时除以x2y2,得汨=2,

口9产（f+9产区G+3）

9。+5+竽）

斗（1。+2后身=8，

当且仅当于竽，即f=3产=2时取等号，

所以2-/-9产=2-（炉+9产）W2-8=-6,

故2-A2-9y2的最大值为-6.

［规律方法］基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

（3）条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.

跟踪演练2⑴若x>0,），>0,x+2尸5,则工的最小值为（）

xy

88「4「4

AA・云oC.*D,-

答案A

解析因为x>0,y>0,x+2y=5,

所以5=x+2y,

所以“W等,当且仅当V，污时等号成立，所以上即工的最小值为假.

V/44yuxy

（2）（2025・泉州模拟）若xNO,yNO,且《丁元%=匕贝U3x+4y的最小值为（）

A.2B.3C,4D.8

答案B

解析因为x20,y20,贝1x+121,2x+4y20,

由题意可知2x+4yK0,则2r+4y>0,

3x+4尸（3x+4y+l）-l

=叱>（2/4划岛+备）-1

=2+"Tx+4yi

2x+4yx+1

在+2离羽

x+1_2x+4y

\x+4y-x+1

当且仅当-4--^—=1,

+12x+4y

c>0,y>0,

即卜二卜时等号成立，

ly=o

所以3x+4y的最小值是3.

考点三不等式的综合应用

例3（2025・昭通模拟）已知心0,b£R,若关于x的不等式（w1）（/+m。）20在（0,+8）上恒成立，则

的最小值为__________.

a

答案8

解析因为关于x的不等式（。丫-1）。2+/次・8）20在（0,+8）上恒成立，

所以」是方程/+及_8=0的根，

a

2

则（1）+618=0,即b=Sa--且a>0,

\a/aat

所以b匹8ad22后1=8,当且仅当8。工，即〃二，42时取等号，故力二的最小值为&

［规律方法］基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几

何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.

跟踪演练3（多选）（2024・邢台模拟）如图，曲线。的形状是一个斜椭圆，其方程为炉+产7产6,点P（〃7,

〃）是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正加的是（）

A.曲线。关于直线尸对称

的最大值为2瓜

C.该椭圆的离心率为日

D.〃的最大值为2V2

答案ABD

解析将曲线C方程中的x与y对调后，该方程不变，所以曲线。关于直线尸x对称，A正确；

由题意知“2+/加〃=6,因为〃?2+〃2»9L手，

,所以〃於+〃2_利〃=62。"："），则〃?+〃<2遍，当且仅当，〃=〃=■布时等号成立，所以m+〃的最大值

44

为2n，B正确;

联立方程/2+/—”'=6,解得顶点坐标为（遥，6）和（.伤，-伤），所以椭圆的长轴长为

ly=x,

24="5=>。=2百，同理可得另外两个顶点坐标为（企，-&）和（-&，&）,所以椭圆的短轴长为28=4=3=2,

所以c=y/a2-ZJ2=V12-4=2V2,所以该椭圆的离心率。一普4，C错误；

a2V33

将评+/.〃〃?=6看作关于机的一元二次方程，令/=〃2>4（〃2-6）20,解得-2&W〃W2或,所以〃的最大值为

2V2,D正确.

专题强化练

［分值：84分］

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2025•广安模拟）不等式磊21的解集是（）

A.{小v-1或-l〈xW2}

C.{x|xW2}

D.{x|-l<x^2}

答案D

解析因为-所以：20,

即牛0,可得［°-2）（%+1）型，

-1U+1¥：0,

解得-14W2,

故原不等式的解集是“|・1今W2}.

2.（2025・石家庄模拟）如果讲>0,那么“心b”是“汽”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若ab>0,a>bt则b-a<0,

则Lp含仇

abab

即号，充分性成立;

若必>0,V,则汾勺<0,则从”0,即公也必要性成立，所以如果曲>0,那么“心6”是的

充要条件.

3.（2025•荷泽模拟）已知心1,31,且出尸4,则log^log2b的最大值为（）

A，7B.lC.4D.16

4

答案B

22

解析logyWogz^W（崛詈逊）=（g艺）=1,当且仅当log2a=log2b=l,即。=6=2时取等号，故log2aJogzb

的最大值为1.

4.若对x£[l,4],不等式<+6-120有解，则实数。的取值范用是（）

A.{Q\a>-yjB.{a|-y<a<0）

C.{a\a^0}D.[a|a>-^]

答案D

解析方法一因为对x£[l,4],不等式f+ov/eo有解，

则心，出在x£[l,4]上有解，

又因为产-x和在[1,4]上单调递减，

所以7（x尸在[1.4]上单调递减，

Av）min=A4）=-4+j=-^,

即心与

4

方法二因为对x£[l,4],不等式有解，

设gOA/+QX-1,则g（x）max20,

即g（l）N0或g（4）20,解得心;.

5.（2025•北京朝阳区模拟）已知向量o=（x,1）,6=（3,-y）,c=（l,1）,若a,b在c上的投影向量相等，则

炉+产的最小值为（）

A.2B.lD.V2

答案A

解析由题意得詈高备鼻

|c||c||c||c|

可得ac=bc,

故用"1=3-y,即x+y=2,

所以3+炉2任22,

当且仅当％=尸1时取等号，

所以小产的最小值为2.

6.（2025・临沂模拟）已知｛斯｝为正项等差数列，若4分。7=8,则as的最大值为（）

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析设等差数列｛为｝的公差为d,

贝ij4a3-〃7=4（a|+23-（41+6d）=3ai+2d=8,

解得田中，

由于｛斯｝为正项等差数列，

8-2d、八

Q]=o>0,

则3解得0<84,

d>0,

咏弩•（竽+2d）正警2

48-2"）（4+羽湍•产产*8,

当且仅当8-2d=4+2d,即d=l,川=2时等号成立，所以内俏的最大值为8.

7.（2025•哈尔滨模拟）已知圆柱的底面半径为厂，圆台的上、下底面半径分别为门，-2,若圆柱和圆台的高和

体积都相等，则（）

A.2r<门+尸2B.2/*>ri+r2

C.i2=r\nD./2</*ir2

答案B

解析不妨设圆柱和圆台的高为九

由体积公式可知nr%=）（W+r：+w2）/b

即户=1（丁：+厂介广，2）,

则4r-（n+r2）2=5（4+遥+”2）-（丁什71+2"2）4八寸2）2,

因为在圆台中，门Wn,所以*1厂2）2>0,

即4/>（门+n）2,2r>n+r2,故A错误，B正确；

由基本不等式，结合〃户厂2,得，〃丁2V苫1<厂，

平方后得到产冷心，故C,D错误.

8.（2025・萍乡模拟）若不等式x（x+Q）ln（x+02O恒成立，则a的取值集合为（）

A.⑴B.(O,1]

叫“D.[l,+8)

答案A

解析设x+q=f,则r>0,

原不等式可化为（/-a）/ln/20.

因为4>0,所以（f-a）ln，20,

当Owl时，InyO,所以/-々W0在/£（0,1）上恒成立，即〃力；

当片1时，ln/=O,所以（f・a）lnf》O恒成立;

当/>1时，In/>0,所以在EE（1,+8）上恒成立，即々<1.

综上可得，々=1.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.（2025•汕头模拟）若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x\-\<x<2},则下列选项正确的是（）

B.不等式c^+bx+c^O的解集为{x|1Qr<2}

C.4a+2b+c<0

D.函数）^=ax2+bx+c在（一8,-;］上单调递增

答案ACD

解析对于A,由题意得，方程〃//犷匕一。的两个实数根为-1和2,且a<0,故A正确;

（-=-1+2=1,

由根与系数的关系得科

）_=_lx2=_2

即b=a,

c=—2a.

对于B,不等式cf+bx+aX）可化为-2ar2+ax+a>0,即ZrU-lX）,解得x>l或工〈3，故B错误;

对于C,因为人=〃，c=-2a,且a<0,故4o+26+c=4〃+2a・2a=4〃<0,故C正确；

2

对于D,尸*+/）x+c即尸*+ax2/=a（x+g）与，因为。<0,所以该函数在（一8,-才上单调递增，故D

正确.

10.（2025・临沂模拟）已知a>b>c,则下列不等式正确的是（）

B.ab2>cb2

a-ca-b

C.a+b>cD.a2+c2>b2

答案AD

1(a-b)-(a-c)c-b

解析对于A,

a-ca-h(a-c)(a-b)(a-c)(a-b),

因为。所以c-〃<0,a-c>0,a-b>0,

即就%°，所以三土，故人正确;

对于B,取a>b=O>c,此时ab2=cb-=O,故B错误;

对于C,取a=-\>b=-2>c=-3,则a~b=c=-3,故C错误；

对于D,若6=0,则a2+cr>b2=0显然成立，

若Z?>0,则a^+c22a2>b2成立,

若b<0,贝[屋+/^c2>b2成立,

综上所述，只要G4>c,就一定有〃2+〃>加，故D正确.

11.已知〃>0,b>0,a2+b2-ab=2,则下列不等式恒成立的是（）

A•*Bg

C.a+bW而D.a2+〃24

答案BC

解析对于B,由。2+/）222出?，可得解得

当且仅当。=力=&时，等号成立，故B正确；

对于A,由40,b>0,得*'之，而向W2,所以之2企，所以或，当且仅当“6=或时，等号成

ah\]ab\iabab

立，故A错误；

22

对于C,由H）W色臀，a+b-ab=2y得（〃+b）2・2=3H）W8誓，解得伍+力）2・8,即a+6W2&,当且仅当

q=b=立时，等号成立，故C正确；

22b

对于D,由,a+b-ab=2t得次+/心二时点'；,解得Q2+〃W4,当且仅当〃=6=夜时，等号成立,

故D错误.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.（2025•合肥模拟）已知B,B是椭圆C：营+1的两个焦点，点”在。上，则而力的最小值

94|MFi|\MF2l

为.

答案I

解析由题意得|MQ|+|MB|=6,

所以|MF1|十|M&I

♦岛+岛）（加~尸2|）

IIM&IIIMF1Q

-6\\MF{\\MF2\J

小/网包.四呜上

617|M/I|WF2I）3'

当且仅当pw历|=|M尸2|=3时,取等号，

所以1+1的最小值为之

“人|MFi|3

13.（2025・赣州模拟）若关于*的不等式x2+2（m-1）x+m2-m<0的解集为（xi,及），且：+：-2,则实数m的值

为.

答案-1

解析因为关于x的不等式/+2（川-1）x+nr-m＜-0的解集为（为,xi）,

所以XI+X2=-2（?W-1）,x\X2=nr-m,

J=4（-1）2_4（2_

ZMWW）＞0）解得m＜x,

因为里卫也2,

的X2%1X2

所以-2（1-1）-2,解得m=-\.

7M‘一m

14.（2025・白银模拟）若正实数m满足a+b=l,则三陪的最小值是________.

Q+1D+Z

答案;

解析方法一设a+l=s,b+2=tf

贝Us+z=a+b+3=4,

•・・富登"-2-4『+叶**2,

,■•H4G+7）（5+0

%+?+5）若/后+5月

当且仅当s4，T，即时取等号，

JJJJ

・・・^^2总三，故所求最小值是;.

a+1b+Z444

方法二*.*a+b=1,a+\+b+2=4,

・•・看法3岛+W）（a+1+什2）

加沁普+普+吗

泉卜+2陛转西+乂