2026年高考数学复习（全国）重难点01 利用基本不等式求最值8大题型（解析版）

重难点01利用基本不等式求最值8大题型

【全国通用】

内容导航

考情分析

夯基•核心知识梳理

广题型1直接法求最值

r题型2配凑法求最值

广题型3巧用的代换求最值

利用基本不等式求r题型4消元法求最值

提升•必考题型归纳-

工题型5齐次化求最值

J题型6多次使用基本不等式求最值

L题型7基本不等式的实际应用

'题型8与其他知识交汇的最值问题

J课后提升练（19题）

考情分析

基本不等式是历年高考的重点和热点内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通

常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、

导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函

数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套，在应用时一

定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

知识点1利用基本不等式求最值

1.基本不等式与最值

已知x,都是正数，

⑴如果积平等于定值P,那么当x=,，时，和x+y有最小值2杯：

（2）如果和x+y等于定值S,那么行x=y时，积xy有最大值;S?.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1比、yX）,（2）和（积）为定值，（3）存在取

等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：/九1+"之2/^5?>0,〃>0),当且仅当x=•时等号成立；

(2)模型二：nix+n=m(x-a)+n+ma>2>[mn+ma(m>0,n>0),当且仅当x-4=J二时等号成立；

x-ax-aVtn

(3)模型三：——=—!—<—4—(a>0,c>0),当且仅当％=、归时等号成立；

ax~+bx+cax+/)+£_2y/ac+bVa

x

(4)模型四：式，一心=〃风〃一〃国&.(加十〃一心)2上(…,”o,o<0,当且仅当x=2L时等

mm24"itn2m

号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

⑴直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

⑵配凑法:利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

⑶常数代换法:主要解决形如“已知x+尸(/为常数)，求"与的最值”的问题，先将力与转化为

((十()"；'再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变最后，凑出”和为常

数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

⑸构造不等式法:构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基

本不等式，构造目标式的不等式求解.

知识点2基本不等式的实际应用

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

⑵解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2025•河北保定•二模)已知-)，是非零实数，则《+茬的最小值为()

A.6B.12C.2D.4

【答案】A

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】

当且仅当3=等，

即|y|二>0,等号成立，

所以1+与的最小值为6,

x2y2

故选：A.

【变式1-1］（25-26高二上•北京海淀•月考）若x>0,则函数y=；+%的最小值为（）

A.2B.3C.2V2D.4

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式即可求得答案.

【解答过程】由题意知》>0,则函数y=?+xN2j|二二4,

当且仅当==%,即4=2时取得等号，

故函数y=［+%的最小值为4,

故选:D.

【变式1-2］（2025・甘肃定西・一模）/+5+6的最小值为（）

A.2\/7B.3V7C.45/7D.5斤

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】由题意知工。0,所以/>0弓>0,

所以/+5+校之2卜•专+由=3历

当且仅当/=g即/=彼时，等号成立.

X2

故选：B.

【变式1-3］（24-25高一上•江苏淮安•阶段练习）如果相>0,那么当m十竺取得最小值时机的值为（）

m

A.-4B.4C.8D.16

【答案】B

【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.

【解答过程】由于m>0,故m+.（2•竺=O当且仅当血=竺，即m=4时取等号，

m7mm

故选:B.

【题型2配凑法求最值】

【例2】(2025•新疆省直辖县级单位•模拟预测)已知“€(0,+8),则y=2x+段的最小值为()

A.3B.4C.3^2D.6

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由无6(0,+8),得2x+l>l,

y=2%+—=2%+1+--1>2/(2x+l)---1=3,

,2X+12X+19,2X+1

当且仅当2%+l=六，即x=：时取等号，

所以y=2x+2G的最小值为3.

故选：A.

【变式2-1](2025•四川德阳•二模)若%>1,则函数y=2x+±的最小值为()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解题思路】利用基本不等式可得答案.

【解答过程】若>>1,则x-1>0,

所以函数y=2(%—1)+六+222卜(-1)六+2=10,

当且仅当2(%-1)=士即％=3时等号成立.

故选：C.

【变式2-2](25-26高一上•全国•课后作业)若a>1,则4Q+'7的最小值为()

Q-1

A.4B.6C.8D.无最小值

【答案】C

【解题思路】将式子配凑成4(Q-l)+a+4,然后利用基本不等式求解即可.

【解答过程】若a>1,则4aH——■=4(a—1)H—--I-4>2l4(a—1),——+4=8,

a-1'/a-1y]/a-1

当且仅当4(。-1)=」1即Q=:时，等号成立，所以4a+工的最小值为8.

NQ-1

故选：c.

【变式2-3】（2025•江西赣州•二模）已知y>x>0,则上一¥的最小值为

Jyr2x+y--------------

【答案】I

【解题思路】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对上-三-进行变形配凑，再结合基本不等

y-x2x+y

式即可求解最小值.

【解答过程】由题y>%>0,所以

______"二上_4x+2八2y=上+且_2

y-x2x+yy—x2x+yy-x2x+y

=>，（7^+2^）-2=y（27^+27T7）-2

［（）（）］（

=12y-2x4-2x+yi71^+2x+y）~2

=2/2+2£±2L+^Z2XX_2

3\2y-2x2x+y/

—2+2^HElE^）_2=LT

3\yj2y-2x2x+yJ33

当且仅当3；：；；=7二；,即2%+y=2y-2x,即y=4%时等号成立.

故答案为：|.

【题型3巧用“1”的代换求最值】

【例3】（2025・贵州遵义•模拟预测）已知Q>0/>0,且Q+26=1,则^+之的最小值为（）

ab

A.1B.4C.3D.2

【答案】B

【解题思路】利用I的代换，结合基本不等式可求最小值.

【解答过程】因为aI26=1,所以>I：="I号》=〜：।2t212=4,

abababyjab

当且仅当2=?即Q=b=?时取等号，所以色+1的最小值为4.

ab3ab

故选:B.

【变式3-1］（2025•广东梅州•模拟预测）已知a>0”>0,且ab-2b+1=0,则二+9b的最小值是（）

a

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解题思路】将己知等式变形为Q+9=2,然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.

b

【解答过程】由ab-2b+l=0得Q-2+1=0,即Q+1=2,

bb

所以;+9b=；C+9b）（a+3=Xl+2+9ab+9）对（1。+2炳=8,

Q+：=2

当且仅当1》，即。=w时，等号成立,

­ab=9ab

所以乙+9匕的最小值为8.

a

故选:D.

【变式3-2]（2025•河南信阳•模拟预测）已知。+8=l（ab>0）,则上+：的最小值为（）

ab

q

A.1B.2C.4D.-

4

【答案】c

【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.

【解答过程】因为Q+b=l（ab>0）,

所以G+B（0+匕）=2+5+注2+2后=4淇中，骰正数.

当且仅当2=£即。=8=；时取等号.

ab2

故选：C.

【变式3-3]（2025・河南•三模）若Q>o,h>0,且a+b=l,则一二一：的最大值为（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【答案】A

【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出工+的勺最小值，即可得出答案.

ab

【解答过程】因为Q>0,d>0,且Q+匕=1,

<1

所以±+3=（;+3（+6）=5+2+£*5+2>^=9，

当且仅当色=三a>0,b>0,即Q=Jb时等号成立，

ab33

所以一2.一前勺最大值为-9.

ab

故选:A.

【题型4消元法求最值】

【例4】（24-25高三上•河南漂河・期末）设正实数不、y、z满足好一孙+y2一z二0,则苫的最大值为（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解题思路】由已知条件可得出把二+，利用基本不等式可求得把的最大值.

Z*TZ

【解答过程】因为正实数X、八Z满足/一无y+y2_z=（）,则z=产+一％y,

所以，？=u=+w—=1,

Z/+y2_xy-+^-l2屋1

当旦仅当]=：（%>0,y>0）时，即当％=丫时，等号成立，

故节的最大值为1.

故选：D.

【变式4-1]（24-25高一上•广东肇庆•期末）已知a>0,b>1,。+--=1,则士+b的最小值为（）

D—1a

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

（解题思路】根据条件等式有；+e=（匕-5）+念+9且b>5,再应用基本不等式求最值.

【解答过程】由题设a=l—9=产>0且匕>1,则8>5,

所以士+b=+b=(b-5)+怒+922l(b-5)-+9=17

ab-5、'b-Sy'b-5

当且仅当b-5=会即b=9时取等号.

b-5

故选：c.

【变式4-2](2025•浙江绍兴•三模)若x,y,z>0,且/+xy+2xz+2yz=4,则2x+y+2z的最小值

是.

【答案】4

【解题思路】由题意可借助3、y表示出z,从而消去z,再计算化简后结合基本不等式计算即可用.

[解答过程】由/+xy+2xz+2yz=4,则2z=

即2x+y+2z=2x+y+=(2x+y)(x+y)+4T2―xy

x+yx+y

2x2+3xy+y2+4-x2-xy_x2+2xy+y2+4_(x+y)z+4

x+yx+yx+y

=>+y+WN2j(x+y).已=4,

当且仅当％+y=A^,即％+y=2时，等号成立.

故答案为：4.

【变式4-3](2025•四川德阳•模拟预测)已知正实数》,V，z满足二++”+为z+%+z=6,则3%+2y+z

的最小值是.

【答案】35-2

【解题思路】因式分解得到3+z=」-；■,变形后得到3x+2y+z=2(x+y)+利用基本不等式求

x+y+l/zx+y+1

出最小值.

【解答过程】因为％y,z为正实数，

故/+xy+yz+xz+x+z=6=>(x2+xz)+(xy4-yz)+(x+z)=6,

即x(x+z)++z)+(x+z)=6=(x+y+l)(x+z)=6=>x+z=^+i>

6

3x+2y+z=2(x+y)+(x+z)=2(x+y)+--------

xII1

=2(%+3+1)+.一222)(%+3+1).鼻一2=4百一2,

当且仅当2(%+y+1)=*+；+]，即％+y=6一1,此时％+z=x+；+i=2⑰，

所以3%+2y+z的最小值为4代-2.

故答案为：4V3-2.

【题型5齐次化求最值】

【例5】(25-26高一上.江西・月考)已知XV-1,则立竽的最大值是()

X+1

A.-11B.-8C.5D.8

【答案】A

【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.

【解答过程」易知立且=经止这3=%+1+4一3.

x+1r+1x+1

因为％<—1,所以x+1<0»所以—(％+1)>0*

贝卜+1+券=-[-(%+1)+(-搭)]工一&

当且仅当一（％+1）=-券，即％=-5时，等号成立，

故为+1+三一3W-11,则巴半的最大值是一11.

X+lX+1

故选：A.

【变式5-1]（24-25高一下•重庆沙坪坝•月考）已知正数％y满足无+2y=1,则小的最小值为（）

A.义B.2y[2C.D.2V2+1

2V22V2+1

【答案】D

【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】3=立也及2=如竺更='+空+1,因为x>0,y>0,故土>0,空>0,

xyxyxyyxyx

贝号+?+1N2Jx§+1=2V2+1,当且仅当;=§,x+2y=1,也即x=&一l,y=1—日取得等号,

故乂的最小值为2/+1.

xy

故选：D.

【变式5-2】（2025•全国•模拟预测）已知x,y为正数，则乌萨的最小值为（）

A.4B.3V2C.3D.2^6

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由x,｝，均为正数，则也叱=空+型之2隹坦=2限

xyyxy]yx

当且仅当空=型，即丫=整工时取等号，

yx,3

故空M的最小值为2遍.

xy

故选：D.

【变式5-3】（2025•山东•模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1,则吗生的最小值为（）

ab

A.yB.17C.8+4乃D.16

【答案】C

【解题思路】代入a+2b=l,再由基本不等式即可求解；

【解答过程】由题意知吟兰=生丝等空=空曾变=弓+丑+8工2电9+8=8+4通，

abababbaba

当且仅当竽=当即。=正8=且时，等号成立.

ba211

因此，S+i）：+七的最小值为&+4遥.

ab

故选：C.

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（24-25高二下.河北保定・月考）已知*>0,y>—1,z>0,2y+3z=2—久，则'+」—+二的最小

'/xy+1z

值为（）

A.一^B.廿C.廿D.三+6

2222

【答案】A

【解题思路】结合条件可得46+自+3=口+2（V+1）+3Z]G+W+0,展开等式右侧，结合基本不

等式求其最小值即可.

【解答过程】因为x+2y+3z=2,所以x+2（y+1）+3z=4,

所以4G+W+A[x+2（y+l）+3z]Q+^+i）,

所以4仁+工+二）=2+但+3+工+3+竺+±+±+3,

\xy+1zJzxy+1xy+1z

又亚西+122遍,当且仅当y+l=果时等号成立，

zy+1J2

+―>2V6,当且仅当y+l=渔工时等号成立，

xy+1,6

-+->2V9=6，当且仅当x=3z时等号成立，

XZ

三个等号可同时成立，所以卜6+a+十）]=14+4后，

当且仅当％=专渔,y=与二,Z=工滑时等号成立，

所以2+工+L的最小值为;+逐，

xy+1z2

故选:A.

【变式6-1]（2025•天津红桥•一模）已知Q>0,匕>0,则三+先+力的最小值为（）

a4b2

A.4V2B.2V2C.4D.2

【答案】D

【解题思路】两次利用基本不等式，即可得解.

【解答过程】因为Q>0,b>0,

所以打捻+C2底+b=b+注2n=2，

当且仅当工=捻，且力=［，即a=2/=1时，取等号，

a4Mb

所以工+总+匕的最小值为2・

a4b2

故选：D.

【变式6-2］（24-25高三上•安徽六安•阶段练习）已知正数x,y,z满足/+V+=1,则s=嘉的最小

值为（）

A.3B.3（.+1）C.4D.2（V2+1）

【答案】C

【解题思路】由基本不等式可得z（l-z）由题意整理可得需N士，即可得瑞万？4.

【解答过程】由题意可得，O<ZV1,OV1—ZV1

则z（1_z）W（"+；-"）=不当且仅当z=1-Z,即Z=3时，等号成立，

又因为/+y2+z2=I,

则1-z2=/+y2々2无y,当且仅当久二y时，等号成立，

可得pNl,即号

2xy2xy

又因为l-z>0,则詈之一一，

2xy1-z

可得当之六24,当且仅当x=y=*,z=“'j’等号成立，

2xyzz（l-z）,42

所以s=产的最小值4.

2xyz

故选：C.

【变式6-3］（2025•山东淄博•一模）记max｛无,y,z｝表示居y,z中最大的数.已知x,y均为正实数，则

max+4y2｝的最小值为（）

A.-B.IC.2D.4

2

【答案】C

【解题思路】设”=max｛：,：,/+4y2｝,得3M泞+亍+/+4yz,两次应用基本不等式求最小值，注意

等号成立的条件即可.

【解答过程】设时=max。,},/+4y2},则MN：>0,M>^>0,M>x2+4y2>0.

A3M>-+-+x2+4y2>-+-+4xy,当且仅当％=2y时取等号，

又2+工+4xyN3平」.4孙=6,当且仅当马=三=4%、，即无=2y=l时取等号，

所以MN2,当且仅当x=2y=1时取等号，

所以M的最小值是2,

故选:C.

【题型7基本不等式的实际应用】

【例7】（2025•广西・一模）现使用•架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛码放在天

平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的祛码放在天平右盘中，再取出一些

中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总直量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【解题思路】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.

【解答过程】设天平左臂长为m,右臂长为工血,九>0且根。九，左盘放的药品为与克，右盘放的药品为不克，

,100m=nx2解得幽

（mxi=100n1mzn

lOOn.100m、3100?t100m

x=x1+x2=—+—>2j—.—=200,

当且仅当根=八时，取到等号，W,m^n,所以%>200.

故选：B.

【变式7-1］（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起任较大，假设第一周和第二周的该商品的单

价分别为加元和〃元（mH九），甲、乙两人购买该商品的方式不司，甲每周购买100元的该商品，乙每周购

买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为由,电，则（）

A.a】=a2B.ax<a2C.ax>a2D.%,的的大小无法确定

【答案】B

【解题思路】由题意求出％,。2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.

【解答过程】由题意得%=点镰=竽，（^二竺用二哼1，

因为m>0,九>0,mHn,故且丝•〈舞士=诉而，

2m+n2^mn

即由<a2*

故选：B.

【变式7-2】（2025•贵州遵义•模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作小B

两种类型的灯笼，其中A型灯笼每个需要0.5米彩带，B型灯笼每个需要1米彩带.活动规定：两种灯笼数

量的乘积越大，评分越高.已知某同学用6。米长的彩带制作A型灯笼m个，8型灯笼71个.若要使该同学的

得分最高，则实数m，九的值分别为（）

A.m=60,n=30B.m=50,n=35

C.m=40»n=40D.m=30,n=45

【答案】A

【解题思路】依题意可得0.5机+几=60,再利用基本不等式计算可得

【解答过程】依题意mWN*,nWN*且0.5m+n=60,即m+2n=120,

又120=m+2n>2\[2mn,所以<1800,当且仅当m=2九时取等号，由1瓶+2n~120,解得一

故当m=60,九二30时该同学的得分最高.

故选：A.

【变式7-3]（2024・贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元

3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽”负薪余口，聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b斜边为c（asb,。均为正数）.则

（a+b）2=4ab+（b-a）2,（a+b）?=2c?-（b-。产]某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，由于好奇，想

用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为Q+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给

他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

【答案】B

【解题思路】根据题意可得Q+b=6,a>0,b：>0,结合基本不等式即可得a2+/的最小值.

【解答过程】由题可知a+b=6,Q>0,b>0,

则a+622属，即622病，所以abW9,当且仅当a=b=3时，等号成立

22

又“赵爽弦图'’的面积为Q2+b=(a+b)-Zab=36-2ab>36-2x9=18,

所以当a=b=3时，"赵爽弦图”的最小面积为18.

故选：B.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例8】(2025•广东深圳•模拟预测)若a,b均为正实数，则“abW1”是是+JN2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由基本不等式得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立，得到答案.

【解答过程】若a,b均为正实数，且abWl,由基本不等式得工+：工2区工2,

abylab

当且仅当a=b=l时，等号成立，故充分性成立，

若」+：N2,不妨设Q=0.5,b=6,满足工+：>2,但ab=3>1>必要性不成立，

abab

故"ab<「是d+i>2”的充分不必要条件.

ab

故选：A.

【变式8-1](2025・山东日照•一•模)点4(2,1)在直线Lmx+ny=1上，且mn>0,则三+士的最小值为()

mn

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解题思路】由题意求得2m+n=l,再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.

【解答过程】因为点4(2,1)在直线=1上，可得2m+n=l.

则工+冬=C+3)(2m+n)=2+-+—+2=4+-+—

mnnxmnmn

因租几>0,则巴+处之22■x%=2"=4,当且仅当三=如时等号成立.

mnyjmnmn

即当m=；,九=：时，工+3取得最小值为8.

42mn

故选：C.

【变式8-2]（2025・湖南•三模）已知点（犯"）是函数y=%T在第一象限内的图象上的一点，则+的最小

值为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解题思路】由题意得出m>0,">（nin=L,利用基本不等式可求得工+上的最小值.

mmn

【解答过程】由题意可知，m>0,几>0且有.九二血-1=上，所以三+±=2.+4小工2叵=4,

mmnmy]m

当且仅当卜m=3时，即当m=

，时，等号成立，故3+：的最小值为4.

Im>0

故选：A.

【变式8-3]（2025•黑龙江齐齐哈尔.二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中

项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几

何中项的定义与今天大致相同.若2a+2匕=1,则（4。+1）（4》+1）的最小值为（）

.259「9c25

A.—BD.—C.-D.—

416416

【答案】D

【解题思路】令m=2%n=2%结合基本不等式可得0<4L化简(4。+1)(4》+1)可得(4。+1)(#+

4

1)=(mn)2-2mn+2,转化为求关于nrn的二次函数在区间(0,曰上的最小值即可.

【解答过程】不妨设m=2。，n=2b,则m>0,n>0,

所以1=TH+八22\[mn,当且仅当771=n=时取等号，

BP0<mn<当且仅当m=7；=，时取等号，

所以(4。+1)(4"+1)=(m2+l)(n24-1)=(mn)2+m24-n2+1=(mn)2+(m+n)2-2mn+1

=(mn)2-2mn+2=(mn-l)2+1,(0<mn<h

所以当nrn=:时，(mn)2-2mn+2取得最小值工，

故选:D.

■课后提升练

一、单选题

1.（2025・山西吕梁•模拟预测）若a,匕ER+且2a+b=4,则好的最大值为（)

A.IB.2C.4D.16

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式求解即可.

【解答过程】由基本不等式可得：2Q/4（等）2==4,

所以ah<2,当且仅当a=l,b=2时等号成立；

所以劭的最大值为2；

故选：B.

2.（2025•四川绵阳•模拟预测）若Q>0,b>0,且a+4b=5,则三+：的最小值是（）

ab

A.16B.25C.4D.5

【答案】D

【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.

【解答过程】因为a>0,b>0,且a+4b=5,

所%+泻G+枳。+4>）=：（1+—+与+16”或17+2杼同=5,

4b_4a

T=T,即a=b=i时等号成立，所以乙+前勺最小值是5.

（a+4b=5…

故选：D.

3.（2025・湖北黄冈.一模）已知％,y为正实数，且x+y=l,则翳的最小值为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【解题思路】由题可得翳=a+y）G+；），然后由基本不等式可得答案.

【解答过程】—=-+-=（x+y）（-4--）=10+^+->10+2/—•-=16.

xyxy\xy/xyylxy

当旦仅当,即工=；，y=/寸取等号.

xy4,4

故选：B.

4.（2025・广东揭阳•三模）”物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后

跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为〃（单位：分米/秒）时的跳跃

高度〃（单位：米〉近似满足/二$的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

l-Hv2

A.0.2米B.0.25米C.0.45米D.0.7米

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度.

【解答过程】由卢二必可知讲一月/二^^,故“=工工3=±

1-Hv2V*+42v4v44

当且仅当户=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.

故选：B.

5.（2025・湖北孝感・模拟预测）已知Q>0,b>0,且a+b=2+：+4,贝M+b的最小值为（）

ab

A.2x/5-2B.2V5-1C.1+275D.2+275

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式可得到G+J（a+b）=10+3+?216,再代换，令5=。+匕，解一元二次

不等式可得答案.

【解答过程】因为a>0,b>0,

所以（5+3（。+b）=10+%詈工10+2,卡=16,

当且仅当”争上取等号.

令5=Q+b得：Q+S>16,

由a+b=!+?+4得：—+-=s-4>

abab

所以：（s-4）s>16,^s2-4s-16>0,

解得：SW2-2通或SN2+2b，

又因为a>0,b>0,所以s=a+b>0,

b_9»

Z7

故$=。+人工2+2石，当且仅当~9,即8=3Q=学时，取等号.

a+b=-+-+42

ab

故选：D.

6.（2025•浙江台州•一模）己知Q,b6（—L+oo）,且。+；=2,贝昉十二的最小值为（）

D+1Q+2

A.2B.79C.55D.3

42

【答案】D

【解题思路】可利用配凑法与T的妙用“，结合基本不等式进行求解.

【解答过程】由题可知，a+2+二=4,又因为。+2>0/+1>0,

贝必+1+总=；（Q+2+念）8+1+总）

=；[（a+2）3+1）4-+10]/（6+10）=4,

当且仅当（。+2）3+1）=3时，即当a=l,b=0时，等号成立.

因此b+1+白；的最小值为4,

a+2

故土+2的最小值为3.

a+2

故选：D.

7.（2025•安徽合肥•三模）已知正数Q、b满足乙+：=1,则a+2b的最小值为（）

ab

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.

【解答过程】由题意得0+26=（0+28）6+$=1+与+吊+425+2后母=9,

2b2a

-=T

2+之=1时，即Q=3"=3时，Q+2b取得最小值9.

（ab

a>0,b>0

故选:D.

8.（2025•山西•三模）已知正实数a,b满足a十匕=1,则;十；十？的最小值为（）

baba

A.24-2V2B.4+2V2C.4D.7

【答案】D

【解题思路】对于：+々+2=受竺，利用以值代参，求解基本不等式.

babaab

【解答过程】-+—+-=a+1+b2-a（a+b）+（a+b）2+b2=2b2+3。"2M_4.3

babaababab2\ab/+

>4J"/+3=4+3=7,

当且仅当E=2即Q=b=；取等号.

Da2

故选:D.

二、多选题

9.（2025•福建漳州•模拟预测）已知正实数x,y满足x+2y=l,则（）

A.xy<-B.x2+y>-

82

C.-+->3+2V2D.x+—>2

xyl-2y

【答案】ACD

【解题思路】对于A,直接利用基本不等式即可判断；对于B,消元法可求出/+y的范围，即可判断；对

于3利用常值代换法，利用基木不等式即可求解；对于D,消元后利用基本不等式求得％+l-2y的范围即

可判断.

【解答过程】对于A,因％>0,y>0,则1=x+2y>2,2孙,即得xy<当且仅当％=2y=；时，等号

成立，故A正确；

对于B,因+y=/+詈=（x-：）2+套，由二>°可得0<%V1,故/+y在％=:时取得最小值看,

2

2<；，故B错误：

162

对于C,由（：+；）（%+2丫）=3+（§+令23+2杼j=3+2&,当且仅当工=企、=&一1时，等号

成立，故C正确；

对于D,因x>0,y>0,由无+=-=%+->2,当且仅当％=1时等号成立，由上分析0<x<1,故有％4-

'l-2yx

二->2,即D正确.

l-2y

故选：ACD.

10.（2025•全国•模拟预测）