小学数学五年级下册《铺墙寻理·数达万家：公倍数在生活建模中的高阶应用》学历案

小学数学五年级下册《铺墙寻理·数达万家：公倍数在生活建模中的高阶应用》学历案

一、学历案设计基础

（一）主题与课时

所属学科：小学数学；学段年级：五年级下册；课程版本：人教版义务教育教科书；单元位置：第四单元《分数的意义和性质》第5节“通分”第2课时；课型：概念深化·综合应用·项目化学习融合课；课时：1课时（40分钟）。

（二）对应课程标准与核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数与代数”领域要求：在具体情境中认识公倍数与最小公倍数，能解决相关的简单实际问题。本设计锚定“三会”核心素养：【核心】会用数学的眼光观察现实世界——从铺砖、发车、排队等生活现象中抽象出公倍数模型；【核心】会用数学的思维思考现实世界——经历“实际问题→数学问题→数学模型→解释应用”的完整路径；【关键】会用数学的语言表达现实世界——能用公倍数、最小公倍数准确描述等量条件与周期规律。同时深度渗透数感、量感、几何直观、模型意识、应用意识。

（三）学习目标链（四维叙写）

【核心·达成指标】

1.知识与技能：能在具体生活情境中识别“公倍数、最小公倍数”作为核心数量关系，熟练运用列举法、筛选法、大数扩倍法求两个数的最小公倍数，解决铺正方形、周期重合、分组问题等七类典型实际问题，正确率达90%以上。

2.过程与方法：通过“猜想—操作—验证—建模”四阶探究，经历从“几何铺摆”到“数论抽象”的数学化过程，掌握“将生活问题转化成求公倍数问题”的普适策略，提升信息提炼与数学模型表征能力。

3.情感态度价值观：在“小小设计师”“公交调度员”“植树组长”角色扮演中，体验数学是解决生活刚需的工具，感悟“数学能赋予我们预见重复现象的能力”，培养严谨求实、有理有据的思维品质。

4.跨学科贯通：联结美术（密铺图形设计）、劳技（地砖铺设方案规划）、科学（多星连珠周期科普），建立LCM（LeastCommonMultiple）的全学科视角。

（四）评价任务镶嵌

【高频考点·诊断证据】

1.表现性评价：小组合作铺正方形实物操作，能清晰解释“为什么边长6厘米可以，8厘米不行”，准确说出“边长必须是长与宽的公倍数”。

2.选择性评价：从四个生活情境中精准判断哪些可以用公倍数解决，哪些属于公因数问题，区分度100%。

3.纸笔评价：独立完成求三组数的最小公倍数（一般关系、倍数关系、互质关系）及两道变式应用题，当堂达标率目标设定≥85%。

（五）教学重难点

【重难点·精准定位】

教学重点：将“铺正方形”“同时发车”“正好分完”等生活问题的关键条件翻译成“既是……的倍数，又是……的倍数”，即建立公倍数模型。

教学难点：1.对“整块”“正好”“刚好”“再次相遇”等生活化指令进行数学化转译，排除无关信息干扰；2.理解公倍数无限性与最小公倍数唯一性在现实答案取舍中的辩证关系（如“边长可以是多少”与“至少是多少”）。

（六）学情深层剖析

【重要·认知基础】

学生已掌握倍数、公因数、最大公因数，且在上节课刚建立公倍数、最小公倍数的概念，能求简单数的最小公倍数。但存在三大思维断层：第一，概念与应用的断层——学生认为公倍数只是计算题，未将其视为“描述周期重合”的数学语言；第二，正迁移障碍——受最大公因数解决问题“裁正方形”定势影响，易与“铺长方形”混淆；第三，信息超载——当题干出现多个数据、多余条件时，无法锚定关键数量关系。

（七）教学资源准备

【一般·教具学具】

1.交互式课件：嵌入可拖动的小长方形（长3dm、宽2dm）模拟铺墙，即时反馈边长是否符合条件。

2.实体学具包（每四人组）：长3cm、宽2cm的矩形纸片30片；边长为6cm、8cm、12cm、15cm、18cm的空心正方形卡框；磁性板。

3.学历案单页：含预学任务、课堂探究记录表、题组练习及自我反思评价星。

二、课前·预学任务单（指向核心问题）

【必会·知识链接】

1.写出2和3的倍数各5个，圈出它们的公倍数，写出最小公倍数。

2.回忆：什么是公倍数？什么是最小公倍数？

3.情境感知：王叔叔想用长3分米、宽2分米的长方形地砖铺一个正方形地面，要求地砖必须整块使用。你觉得正方形的边长可能是多少分米？把你的猜想写在下面，并画一画草图。

设计意图：暴露前概念，诱发认知冲突——学生凭直觉能猜出6、12等数，却说不清“为什么8不行”“为什么还能无限大”，课中便有了强烈的验证欲望。

三、课中·学历案实施（教学实施过程，占总篇幅85%）

（一）阶一：唤醒经验·暴露迷思——从“猜”到“疑”

【情境任务】“金牌设计师”招募令

师：王叔叔的客厅要重铺墙面。他看中了一款进口手工砖，长3dm，宽2dm（出示实物模型）。他想整块使用这种长方形砖，铺出一个正方形的背景墙。作为设计师，你需要告诉王叔叔：正方形的边长可以选多少分米？最少是多少分米？

【学习活动1·独立思考】

学生阅读学历案上的“设计委托书”，圈画关键信息。教师要求：不急于动手，先推想——你觉得边长可能是1、2、3、4、5、6、8、12……中的哪些？把确定的划√，不确定的划？并写下理由。

【思维外化·关键点拨】

【重要】巡视发现典型前概念：

迷思A：认为只要是3的倍数就行（忽略宽的条件）。

迷思B：认为把长方形面积乘整数倍得到正方形面积，反推边长（思维复杂化）。

迷思C：认为只要边长是偶数就可以（将“整块”误解为“对称”）。

此环节不纠错，只收集观点，投射到大屏幕，形成班级“猜想池”。

（二）阶二：几何直观·数形互译——从“疑”到“明”

【学习活动2·操作验证】

小组合作任务：

1.用长3cm、宽2cm的纸片在方格背景上“铺”正方形，可用磁性板固定。

2.要求：必须铺满，不能裁剪，边沿对齐。

3.分别尝试铺满边长为6cm、8cm、12cm、15cm的正方形框，能铺的打√，不能铺的打×，并记录每行摆几块、摆了几行。

4.【核心】讨论：能铺成的正方形边长与3和2分别有什么关系？

【小组汇报与追问】

组1：边长6能铺，横着摆2块，摆3行。6÷3=2，6÷2=3，6既是3的倍数又是2的倍数。

组2：边长8不能铺，8÷3=2……2，多出2dm，不能整块。

组3：边长12能铺，横着摆4块，摆6行；或者横着摆2块，摆6行？不对，那样宽是2×6=12，长是3×4=12，可以。12既是3的倍数又是2的倍数。

师：如果给你足够多的砖，足够大的广场，你还能铺出边长是多少的正方形？

生：18、24、30……只要是2和3的公倍数！

【概念焊接·板书结构化】

【高频考点】教师顺势抽象：

正方形的边长→必须既是长的倍数，又是宽的倍数→长和宽的“公倍数”。

最小正方形的边长→长和宽的“最小公倍数”。

【关键】板书核心等量关系：

铺正方形问题→墙砖长dm、宽dm→正方形边长既是a的倍数又是b的倍数→边长是a和b的公倍数。

（三）阶三：算法提炼·策略优化——从“摆”到“算”

【学习活动3·脱摆入算】

师：如果王叔叔换了一种砖，长6dm，宽4dm，不摆纸片，你能直接说出正方形边长可以是多少吗？最小是多少？

【独立尝试·多维呈现】

生1：列举法——6的倍数：6，12，18，24……4的倍数：4，8，12，16，20，24……公倍数12，24……最小12。

生2：筛选法——只看大数6的倍数：6（不是4的倍数），12（是），所以最小12。

生3：短除法（超前学习者）。

师：比较三种策略，你更欣赏哪一种？为什么？

【重要·优化共识】

对于数据较小时，列举法清晰；对于大数或需快速判断时，大数扩倍法更高效。但无论哪种，本质都是“找既是a的倍数又是b的倍数的数”。

【即时检测1】

求6和9的最小公倍数，并说明用哪种方法。

预设：学生易得18。追问：公倍数还有哪些？它们和18有什么关系？

生：36，54……都是18的倍数。

【重难点·模型升华】

师：（指板书）公倍数是最小公倍数的倍数。这就像我们排队，最小公倍数是第一个相遇点，之后每隔这么远就会再次相遇。

（四）阶四：模型深化·去情境化——从“一例”到“一类”

【学习活动4·信息对比工作坊】

【高频考点·难点突破】

出示三则“生活碎片”，小组辨析：哪些可以用公倍数解决？关键信息是哪个词？

A.公交调度：3路车每6分钟发一班，5路车每8分钟发一班。早上6：00同时发车，下一次同时发车是几点？

B.植树分组：五（1）班分组植树，每组4人或每组6人都刚好分完。这个班可能有多少人？

C.蛋糕分装：把24块巧克力平均分给小朋友，刚好分完；把18块牛奶糖平均分给小朋友，也刚好分完。小朋友最多有多少人？

【辨析要点】

A题：关键“同时发车”→求6和8的最小公倍数。B题：“都正好分完”→总人数是4和6的公倍数。C题：“刚好分完”“最多”→求24和18的最大公因数，不是公倍数。

【典型错例预警】

【难点】学生极易将“正好分完（公倍数）”与“分成最大份（公因数）”混淆。教师组织辩论：为什么C题不是公倍数？

生1：因为糖和巧克力是分开分的，不是合在一起；而且问的是“小朋友最多有多少人”，是求每人分得最多，就是求最大公因数。

师：所以，当我们把整体分成若干份且每份相等时，是整除关系，用因数、公因数；当我们在时间轴、长度轴上找共同节点时，用倍数、公倍数。

【核心概念图】（用自然段描述）

公倍数模型适用三大标志：

周期重合型（发车、浇花、星球连珠）；

拼摆填充型（铺正方形、用长方形拼正方形）；

等分无余型且求总数范围（分组、包饺子、装盒）。

（五）阶五：模型拓展·高阶挑战——从“标准”到“变式”

【学习活动5·思维进阶】

【热点·必会】

变式1：在公倍数基础上增加“范围限制”

题目：五（2）班做广播操，每组5人少2人，每组6人多4人。已知全班人数在30-50之间，这个班有多少人？

【师生共析·分层剥笋】

师：这道题表面不是“正好分完”，而是“有余”，能转化成公倍数问题吗？

生1：每组5人少2人，就是加上2人就能正好5人一组。每组6人多4人，就是加上2人也能正好6人一组？不对，多4人，再加2人是6人，所以也是加2人就能正好分完。

师：太精彩了！所以如果全班人数增加2人，就是5和6的公倍数。5和6最小公倍数是30，30-2=28，但28不在30-50之间。下一个公倍数60，60-2=58，超了。怎么办？

生：30已经是最小公倍数，范围是30-50，那只有30这一个公倍数，所以人数是30-2=28？但28不在范围。

师：所以此题无解？陷入僵局。我们重新检查转化是否合理。

生2：老师，我另一种转化——每组6人多4人，也可以看成每组6人少2人（因为6-4=2）。两组条件都变成“每组5人少2人”“每组6人少2人”。所以总人数加2人，既是5的倍数又是6的倍数。

师：所以30-50之间5和6的公倍数只有30，总人数=30-2=28。但28不在30-50内——这说明什么？

生：说明这个班人数不可能是这个范围。题目数据可能有问题？或者我们理解错了？

师：非常好，这就是批判性思维。事实上，如果把条件改为“每组5人少1人，每组6人多1人”，就能解。我们保留这个思考痕迹，这正是数学家面对真实问题的常态。

变式2：三个数的最小公倍数应用

题目：一路车3分钟一趟，二路车5分钟一趟，三路车6分钟一趟。早6：00同时发车，下一次三车同时发车是几时几分？

【一般·合作探究】

学生尝试找3、5、6的最小公倍数。发现6是3的倍数，实际上就是求5和6的最小公倍数——30分钟。下次同时发车6：30。

归纳：求三个数的最小公倍数，可以先求两个数的，再与第三个数求。

【跨学科链接·科学视野】

师：其实这种“周期重合”在天文学上叫“会合周期”。比如木星公转周期约12年，土星约30年，它们大约每60年（12和30的最小公倍数）会在天空相近位置出现一次，古人称为“五星聚会”的简化版。数学，让我们看到了宇宙的节拍。

（六）阶六：应用迁移·全息测评——从“会做”到“会想”

【当堂检测·独立限时】

【高频考点·重点】

5.基础题：一种瓷砖长5dm，宽3dm，用这种砖铺成正方形（整块），正方形边长至少是多少dm？

6.易混题：有两根彩带，红带长18cm，蓝带长24cm，要把它们剪成同样长的小段且不留剩余，每段最长是多少cm？这用的是公倍数还是公因数知识？

7.综合题：超市运回两箱鸡蛋，一箱30个，一箱42个。如果每袋装同样多的鸡蛋，且两箱鸡蛋都正好装完没有剩余，每袋最多装几个？如果每袋装6个，两箱鸡蛋一共可以装多少袋？

【分层反馈】

教师重点讲评第3题第二问：每袋装6个，是已知每份数，求总份数。30÷6=5袋，42÷6=7袋，一共12袋。这里6是30和42的公因数，但问题本质不是求公因数，而是直接用除法。提醒学生避免“套用题型”。

（七）阶七：反思内化·学评一体

【自我提问单】

8.今天我是否真正理解了“公倍数”是一种“双重归属”关系？

9.遇到一道应用题，我如何快速判断它属于公倍数家族还是公因数家族？

10.在小组铺砖时，我的猜想和验证有冲突吗？我是怎么调整的？

【课堂结语】

师：我们回顾一下这节课——从王叔叔的一堵墙开始，我们摆纸片、找规律，发现了“公倍数”这个老朋友原来藏在这么多地方。无论是铺地砖、等公交、还是排队伍，当我们看到“同时”“正好”“至少”“再次相遇”这些词语时，数学雷达就该亮起：它在召唤公倍数。但是生活不是数学题，它不会直接告诉你“求6和8的最小公倍数”，它只会说“下一次同时发车是什么时候”。把生活语言翻译成数学语言，这种能力，比算对一道题重要一百倍。

四、课后·作业与评价

（一）基础性作业（必做）

【必会】练习十七第6题、第7题、第10题。

要求：圈出题干中的关键条件词，在算式旁注明“这是求公倍数/最小公倍数”。

（二）拓展性作业（选做）

【热点】寻找生活中的LCM：请你到社区公交站、小区路灯、或者家里的浇花日程，发现一个可以用公倍数解释的现象，记录下来，画出示意图或拍摄照片，并附上数学解释。

（三）实践性长作业（周期一周）

【跨学科·STEAM】设计一个“密铺图案”：用长方形或直角三角形设计一幅镶嵌画，计算背景板边长与基