平行线的性质在求角的大小中的10种类型（重难点提升）-2024人教版七年级数学下册（解析版）

7.6平行线的性质在求角的大小中的10种类型（重难点提升）

知识清单

一、相关角的性质：

1.对顶角与邻补角：

（1）对顶角的性质：对顶角相等.

（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180。.

（3）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个

角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.

2.余角与补角的性质：

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

3.平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被笫三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

二、解题方法：

1.在涉及有平行这一条件，求角度问题时，常考虑用平行线的性质，在应用平行线性质求角时，常常结合

对顶角、邻补角、垂直、角平分线等性质和定乂进行求解

2.平行线和角的大小关系是紧蜜联系在一起的。由平行线可以得到相等或互补的角，反过来又可以由相等

或互补的角得到新的一组平行线，这种角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及

夯基础

类型一、平行线与对顶角性质的综合

1.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图,DE||BCf若乙1=70。，求乙B的度数.

类型二、平行线与邻补角性质的综合

2.（23-24八年级上•河南郑州•期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知乙1=人

105°,则42的度数是—.&6

类型三、平行线与垂直定义的综合

3.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，ABWCD,直线MN与交于点£,与。。交于点心过点E作射线

类型四、平行线与角平分线的综合

4.（七年级下•辽宁抚顺・期中）如图所示，已知4M84+484C+4NC4=360。.

（1）求证：MD||NE

（2）若々ABD=70。，Z.ACE=36°,8P和CP分别平分4480,LACE,求4BPC的度数.

类型五、平行线与余角的性质的综合

5.（24-25七年级上•吉林•期末）已知:如图，E、尸分别在AB和CD上,51=/2与4C互余,AF1CE于

G.

类型六、平行线与补角的性质的综合

6.（24-25七年级上•吉林长春•期末）如图，在△48C中，力。18c于点。，点E■在力8上，EF18c于点F,

过点D作直线OG交力C于点G,交EF的延长线于点H,Z,B=5O°,Z1+Z2=180°,求的度数.

B

D

G

类型七、平行线与折叠的综合

7.（23-24七年级下•全国•课后作业）图①是•张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，，再沿8"折

置成图③.

⑴若乙DEP=20°,请你求出图③中乙C9E的度数；

⑵若乙OEF=a,请你直接用含a的式子表示图③中乙CFE的度数.

类型八、平行线与三角板的综合

8.（2024七年级上•全国•专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起,

友情提示：乙力=60°,乙D=30°,ZE==45°.

⑴①若NDCE=45°,则44cB的度数为

②若乙/C8=140°,则4CCE的度数为.

（2）由（1）猜想〃C8与NDCE的数量关系，并说明理由.

⑶若乙4CE<90。且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，情直接写出44CE角

度所有可能的值（不必说明理由）.

类型九、平行线与拐角的综合

9.(24-25七年级.匕吉林长春•期天)【探究】如图①，已知4BIICD,

(1)若4/1PC=75。，Z.PAB=29°,求4PCO的度数；

(2)求证：4APC+NPAE+NPC/=360°；

【应用】如图②，己知若匕A=148°,Z-C=54°,匕P=52°,则4E+乙F=1

DC

图①图②

类型十、平行线与平移的综合

10.(23-24七年级下•甘肃武威•期末)如图，直线4BIIC0,直线EF与4B、CD分别交于点G、H,Z.EHC=

a(0°<a<90。).小新将一个含30。角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直.线48、CD上,

乙P=90。,乙PMN=60°；

⑴填空：Z-PNA+Z.PMC=_°；

(2)若PMIIE/,4MNG的角平分线〃。交直线CO于点0.

①如图②，当NOIIE尸时，求凌的度数；

②小新将三角板尸MN向右平移，直接写出/M0N的度数(用含。的式子表示).

B提能力

一、解答题

1.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，已知ABIICD,^ABE=150°,zCDE=85°,求MED的度数.

2.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）已知，如图CDIIAB,OP平分NB。。，OF1OE,乙D=50。，求乙DOE

的度数.

3.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，在四边形A8CO中，zF=ZD=90°,AE平分4交C。于点

E,过点。作CFIIAE交A8于点尸.求证：C尸平分

D

4.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图,已知48IIDE,ZF+ZE=180°.

⑵芳乙8"E=60。，射线HG平分/8HE,求乙"GE的度数.

5.（24-25七年级上•山东泰安•阶段练习）如图，在△力BC中，乙A=46。，CE是41G?的平分线，B,C,。在

同一直线上，FDWEC,ZD=42°.

⑴求的度数；

⑵求乙8的度数.

6.（23-24八年级上•广东梅州•期天）如图，已知匕1=48。，Z2=132°,zC=ZD.

c

（1）求证:BD||CE；

（2）若乙4=40。,求NF的度数.

7.（22-23七年级下•贵州遵义•阶段练习）如图，己知41+aFE=180。，乙BAC=CDEF,78=75。,

(2)求4

8.（23-24七年级下•广东清远•期口）如图,BD平分乙4BC交4C于点。，DEIIBC,交于点E.

（1）请说明NEBD=乙EDB.

（2）如果BD1AC/4DE=70。,求々1BC的度数.

9.（2024七年级上•全国•专题练工）生活情境•山路“公路村村通〃的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公

路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：

在图2中，ABWCD,48=125。，Z.PQC=65°,4c=145。，求zBPQ的度数.

10.（23・24七年级下•安徽黄山•期末）如图，已知=AB||CD,点石在线段C8延长线上，OE平

分"DC.

（1）求证：乙DEC=LEDC；

(2)若NO4E=5Z-BAE,Z.AED=45°,求乙DEC的度数.

11.（24-25七年级上•全国•课后作业）己知：如图①，AB||CD点。在ZB,C。之间，连接4P,CP.易说明

LAPC=乙BAP+乙PCD.

下面是两位同学添加辅助线的方法:

斓

如图②，过点尸作PQ11.48.如图③，延长4P交CD于点M.

小明

①②③

请你选择一位同学的方法进行说明.

12.(24-25七年级上•吉林长春♦期末)【探究】如图①，已知4BIICD,

(1)若〃PC=75°,Z.PAB=29°,求NPCD的度数；

(2)求证：Z.APC+Z-PAE4-/-PCF=360°；

【应用】如图②，已知力若41=148°,ZC=54°,乙P=52。，贝U/E+乙F='

图①图②

13.(24-25七年级上•江苏镇江•期末)如图，AEWBD,乙A=LEDC,4/1EC的平分线交CD的延长线于点F.

(1)求证:ABWCD,

(2)探究乙1,/LAEC,匕。之间的数最关系，并说明理由；

14.(21-22七年级下•江苏宿迁•阶段练习)(1)如图①，则

如图②，MA/IM43，则乙4+乙42+443=，请你说明理由：

M-

图①图②

(2)如图③，M&IIN44，则乙4+4力2+乙力3+4力4=；

(3)利用上述结论解决问题：如图④，ABWCD,和〃7)E的平分线相交于点尸，LE=130°,求乙BFD

的度数.

15.(2024七年级上•全国•专题练习)将一副三角板如图1所示摆放，直线G/7IIM/V.

⑴如图2,现将三角板48C绕点A以每秒2。的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为，秒，当第

一次旋转到8C||EF时，/的值是多少？

⑵若三角板/4BC不动，而三角板OEF绕点/）以每秒L5C的速度顺时针旋转，设旋转时间为/秒，求当第•次

旋转到DEIIBC时，，的值是多少？

⑶若三角板4BC绕点A以每秒3。的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5。的速度顺时针旋转，

设时间为/秒（0＜亡＜70）,若边8C与三角板。£户的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的/的值.

16.（23-24七年级上•山西长治・期末）综合与探究：

已知力BIICD,E,F分别是AB,CD上的点，点P在AB,CD之画，连接PE,PF.

（2）如图2,〃EP与4”的平分线交于点Q,猜想NEPF与NEQF之间有何数量关系？并说明理由.

⑶如图3,4力EP与4CFP的平分线交于点Q,猜想/EP尸与NEQF之间有何数量关系？并说明理由.

17.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知直线匕山，直线b和直线小。分别交于点。和点。，P为直

线4上一点，力、B分别是直线，I、％上的定点.设乙。4P=41，^APB=Z2,Z,DBP=z3.

⑴若P点在线段CD（C、。两点除外）上）运动时，问乙1、△2、乙3之间的关系是什么？说明理由.

⑵在川上的前提下，若P点在线段C"之外时，乙1、/2、43之间的关系又怎样？

18.（24-25七年级上•吉林•期末）已知，直线48||DC,点P为平面内一点，连接4P与CP.

⑴如图1,当点P在直线48,CD之间，且484P=60。，4DCP=20。时，则々APC=°

⑵如图2,当点;P在直线/从之间，且乙54P与4OCP的角平分线相交于点K,写出乙4KC与乙4PC之间的

数量关系，并说明理由.

⑶如图3,当点P在CD下方时，484P与乙。。「的角平分线相交于点/＜（/＜在。。下方）,月/8力「=a,乙DCP=B，

直接写出乙K的大小（用含a和夕的代数式表示）.

19.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知力8||CO,乙1=70。.点P是射线48上一动点（与点4不重

合），CE,CF分别平分N/CP和ZDCP交射线于点E,F.

⑴求心ECF的度数，若〃=格请直接用含几的式子表示“CF；

⑵随着点P的运动，设乙1PC=a,乙AFC=6,a与0之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量

关系；若改变，请说明理由；

⑶当44EC=4ACF时，请直接写出乙APC的度数.

20.（2024七年级上•全国•专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探

究三角之间数量关系的数学活动.

120°,求乙4Pg度数;

问题迁移

（2）如图2,射线0M与射线ON交于点。，直线m||九,直线机分别交OM,ON于点A,Q,直线〃分别交OM,ON

于点8,C,点尸在射线OM上运动.

①当点尸在A,8（不与4,8重合）两点之间运动时，设44DP=za,NBCP=N0.则NCPD,za,乙夕之

间有何数量关系？请说明理由：

②若点尸不在线段48上运动时（点尸与点4,B,。三点都不重合），请你直接写出々CPD,za,间的数

量关系.

7.6平行线的性质在求角的大小中的10种类型（重难点提升）

知识清单

一、相关角的性质：

1.对顶角与邻补角：

（1）对顶角的性质：对顶角相等.

（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180”.

（3）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个

角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.

2.余角与补角的性质：

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余处和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

3.平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

二、解题方法：

1.在涉及有平行这一条件，求角度问题时，常考虑用平行线的性质，在应用平行线性质求角时，常常结合

对顶角、邻补角、垂直、角平分线等性质和定又进行求解

2.平行线和角的大小关系是紧蜜联系在一起的。由平行线可以得到相等或互补的角，反过来又可以由相等

或互补的角得到新的一组平行线，这种角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及

夯基础

类型一、平行线与对顶角性质的综合

1.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图,DEIIBC,若41=70。，求，B的度数.

A

【答案】110°

【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补.根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】解：因为Z.1=70。，

所以4EFB=70°.

因为DEIIBC,

所以48=180°-乙EFB=110°.

类型二、平行线与邻补角性质的综合

2.（23-24八年级上•河南郑州・期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知乙1=105。,则乙2的度数是—.

【答案】75。/75度

【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同

旁内角互补.根据两直线平行，内错角相等得到乙2=由乙2的度数求出土8C。的度数，即可得到土2的

度数.

由题意得：ABIICD,

•••z2=乙BCD,

vZ1=105°,

/.BCD=75°,

Z2=75°,

故答案为:75°.

类型三、平行线与垂直定义的综合

3.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，48IICD,直线MN与AB交于点E,与CD交于点F,过点E作射线

EHJLMN,41=130°,求乙2的度数.

【答案】400

【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出N8E尸的度数，根据平角定义可求出乙4£7邙勺度

数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可.

【详解】解：vAB\\CD,Z1=130°,

Z.BEF=zl=130°,

•••Z.AEF=180°-乙BEF=50°.

又•；EH1MN,

:.ZH/i-F=9UU,

Z2=90°-Z.AEF=40°.

类型四、平行线与角平分线的综合

4.（七年级下•辽宁抚顺・期中）如图所示，已知4MBA+Nb4C+4NC4=360。.

（1）求证：MD||NE

（2）若乙48。=70°,Z.ACE=36°,8P和CP分别平分乙/1BO,LACE,求乙的度数.

【答案】（1）见解析；（2）ABPC=53°

【分析】（1）过八作AF〃M。，根据平行线的性质得NM8A+N6AF=180。，RijZMBA+ZBAC+ZNCA=360°,

则N以C+NNC4=180。，于是根据平行线的判定得到AF〃/VR所以根据平行线于同一条直线的两直线平行

得到MD//NEi

⑵过P作PQ〃MD,先利用角平分线的定义得到N。8P=^NDB4=35。，ZECP=|Z4CE=18°,再根据平

行线的性质由PQ〃M。得NO8P=/8PQ=35°,由于M。〃/VE,PQ//MD,则PQ〃/VE,所以NaPC=NPCE

=18°,然后利用N8PC=N8Pa+/aPC进行计算即可.

【详解】证明：（1）如图，过点力作/1FIIM。

MBD

VZ.MBA+Z.BAC+Z.NCA=360°

:./.FAC+乙NCA=180°

AAF||NE

•••MD||NE

(2)过点P作PQIIMD

•••Z.DBP=-Z.DBA=x70°=35°,

22

11

乙ECP=-/-ACE=-x36°=18°

22

vPQ||MD

Z.QPC=Z-PCE=18°

iBPC=乙BPQ+“PC=53°

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行

线于同一条直线的两直线平行：两直线平行，同位角相等：两直线平行，同旁内角互补：两直线平行，内

错角相等.

类型五、平行线与余角的性质的综合

5.（24-25七年级上•吉林•期末）已知：如图，E、F分别在A8和CD上，zl=ZD,42与匕C互余，AF1CE于

G.

求证:ABIICD.

【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可.

【详解】证明：-AFLCE,（已知）

.♦./CG尸=90。.（垂直的定义）

乙1=3,（日知）

4尸IIDE.（同位角相等，两直线平行）

Z4=^CGF,（两直线平行，同位角相等）

Z4=90°

又•••42+43+N4=180°,

Z2+Z.3=90°.

又42与“互余，（己知）

AzC=Z3.（同角的余角相等）

AAB||CD.（内错角相等，两直线平行）

类型六、平行线与补角的性质的综合

6.（24-25七年级上•吉林长春•期末）如图，在△48C中，于点。，点E在A8上，EF上BC于点F,

过点D作直线。G交AC于点G,交EF的延长线于点H,ZF=50°,zl+Z2=180°,求N”的度数.

【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与

性质成为解题的关键.

根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答.

【详解】解；•••9C,（已知）

AADHEF.（垂直于同一直线的两直线平行）

.•./2+444/）=180。.（两直线平行、同旁内角互补）

vZl+Z.2=180°,（已知）

.%Z1=（同角的补角相等）

-.AEWHG.（内错角相等、两直线平行）

=（两直线平行、内错角相等）

vZ.B=50°,（已知）

/BDH=50。.（等量代换）

■:AD1BC,（已知）

Z.ADB=90°.（垂直的定义）

vZl+2LBDH+^ADB=180°,（平角定义）

AZ1=180°-Z.BDH-^ADB=40°.（等式性质）

7ADWEF（已证），

乙，=△1=40。.（两直线平行、同位角相等）.

故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；乙E40：内错角相等、两直线平行;

两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等.

类型七、平行线与折叠的综合

7.（23-24七年级下•全国•课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿E丹斤叠成图②、再沿8尸折

置成图③.

图①图②图③

⑴若NDEF=20°,请你求出图③中NCFE的度数；

（2）若4OEF=a,请你直接用含a的式子表小图③中匕CFE的度数.

【答案】⑴120。

⑵“FE=180°-3a

【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠额性质：

（1）在图①中先由两直线平行，内错角线段得到28FE=Z.DEF=20°,则由平角的定义可得NCFE=160°,

再在图②中求出NB”=4CFE-乙=140°,进而在图③中得到NBFC=140°,则4CFE=zB”—

乙BFE=120°.

（2）仿照（1）求解即可.

【洋解】（1）解：在图①中,・・・AD||BC,Z-DEF=20°,

：.£BFE=^DEF=20°,

：.LCFE=180°-乙BFE=160°,

在图②中，Z-BFC=乙CFE-Z-BFE=160°-20°=140°,

在图③中，由折叠的性质得：Z.BFC=140°,

：.LCFE=乙BFC-Z,BFE=140°-20°=120°,

（2）解：在图①中，

VZDHFC,乙DEF=a,

：,LBFE=LDEF=a.

：.LCFE=180°-乙BFE=180°-a,

在图②中，乙BFC=乙CFE-乙BFE=180°-a-a=180°-2a,

在图③中，由折叠的性质得：Z.BFC=180°-2a,

：.ACFE=乙RFC-/.BFE=190°—2a—a=180°-3a,

类型八、平行线与三角板的综合

8.(2024七年级匕全国•专题练习)将•副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在•起,

友情提示：心力=60°,ZD=30°,=45°.

(1)①若4DCE=45°,则NACB的度数为.

②若"C8=140°,则4DCE的度数为.

(2)由(1)猜想乙4C8与NDCE的数量关系，并说明理由.

(3)若乙ACE<90。且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出乙4CE角

度所有可能的值(不必说明理由).

【答案】⑴①135°；②40。

(2)乙4cB+Z.DCE=180°.理由见解析

⑶”可能为30。或45。

【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质.

(1)①根据WCE和〃CD的度数，求得乙4CE的度数，再根据乙BCE求得乙4cB的度数；

②根据Z8CE和4AC8的度数，求得/ACE的度数，再根据乙4co求得乙DCE1的度数：

(2)根据N/1CE=90。一乙。CE以及4=41CE+90。，进行计算即可得出结论；

(3)分2种情况进行讨论：当CBIL4D时,当EBII4C时，分别求得乙4CE角度即可.

【详解】(1)解：①・・"DCE=45。，^ACD=90°,

：.LACE=45°,

•:乙BCE=90°,

工乙AC8=90°+45°=135°,

故答案为：135°；

②因为4/1CB=140°,乙ECB=90°,

所以〃CE=140°-90°=50°,

所以WCE-900-Z.ACE-900-50°—40°,

故答案为：40°；

(2)解：猜想：乙4CB+NDCE=180。.理由如下：

因为乙4CE=90。一4OCE,£ACB=LACE+90°,

所以4=90°-乙DCE+90°=180°-乙DCE,

即，4C8+NOCE=180°；

(3)解：4ACE可能为30°或45°.

当C8M0时,

H

所以々BCD==30°,

因为+Z.DCE=90°=乙BCD+乙DCE,

所以4ACE=4BCD=30。；

当E3IMC时,

D

ArLACE=ZF=45°.

类型九、平行线与拐角的综合

9.(24-25七年级上•吉林长春・期天)【探究】如图①，已知A8IIC。，

(1)若4APC=75°,Z-PAB=29°,求/PCD的度数；

(2)求证：Z/1PC+Z.PAE+Z.PCF=360°：

【应用】如图②，已知4BIICO,若=148。，Z-C=54°,4P=52。，WUF+zF='

图①图②

【答案】(1)46°；(2)见解析；【应用】138.

【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键.

(1)如图所示，过点P作PGIIAB,首先得至此APG=NPA8=29。，求出乙CPG=々1PC—乙4PG=46。,

然后证明出PG||CD,即可得到々PCD="PG=46。；

(2)根据PG||48得至Ijz/IPG+4氏40=180。，根据PG||。。得到NCPG+iPCF=180。，进而求解即可；

应用：过点P作“GIIAB,延长DC到点M,由(2)得4力+ZE+乙EPG=360°,进而得到々E=32°+乙EPH,

同理得到"=54°+乙HPF,进而求解即可.

【详解】解：(1)如图所示，过点P作PG||力氏

BA

D

图①

=29°,

：.LAPG=Z.PAB=29°；

*：LAPC=75°,

：,LCPG=Z-APC-Z-APG=46°；

•・•幽ICO,

：.PG||CD,

：,LPCD=乙CPG=46°；

（2）•:PG||AB,

：.LAPG+LEAP=180°；

■:PGIICD,

：.LCPG+Z.PCF=180°,

：,LAPC+Z.PAE+LPCF=乙APG+Z.PAE+乙CPG+Z.PCF=180。+180°=360°；

应用：如图所示，过点P作HGII.48,延长OC到点M,

BA

图②

由（2）得，NA+4E+4EPG=360°,

'：LA=148°,LEPG+乙EPH=180°,

A148°+ZE+1800-乙EPH=360°,

：,LE=32°+zEPH；

■:乙FCD=54°,

：.LFCM=180°-乙FCD=126°：

由（2）得，NGPF+NF+4FCM=360。,

•・NGPF=18。°一乙HPF,

A180°-乙HPF+NF+126°=360°,

AzF=54°+zHPF,

：.LE4-zF=32°+Z.EPH+54°+乙HPF=86°+乙EPF=86°4-52°=138°.

故答案为：138.

类型十、平行线与平移的综合

10.（23-24七年级下•甘肃武威•期末）如图，直线力BIICO,直线EF与48、分别交于点G、H,乙EHC=

a（0。<a<90。）.小新将一个含30。角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线48、。。上,

"=90°,乙PMN=60°；

⑵若PMIIE",乙MNG的角平分线"。交直线C。于点0.

①如图②，当NOIIEF时，求a的度数；

②小新将三角板PMN向右平移，直接写出NMON的度数（用含a的式子表示）.

【答案】（1）90

⑵①4a=60°；②30。+：戊或60。一

【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义,熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线

的定义是正确解答的关键.

（1）根据平行线的性质得出4PM4+LPMC=乙MPN=90唧可；

（2）①根据平行线的性质得出，NOC=a,根据ABIIG）,得出乙BN。=/NOC=a,根据角平分线定义得

出cMNO=4BNO=a,根据平行线的性质得出乙PMN=4MNO,即可求出求a的度数；

②分两种情况进行讨论：当点N在点G左侧时，当点N在点G右侧时，分别画出图形，求出结果即可.

过点P作PQIL48,

：,AB\\PQ\\CD,

:,乙ANP=(NPQ,乙QPM=LPA1C,

■:乙NPQ+Z.QPM=Z.NPM=90°,

・・・/PN4+4PMe=90°；

(2)解：NO\\EF,LEHC=a,

:.Z.NOC=a,

AB\\CD,

•••乙BNO=Z.NOC=a,

•••拉0是乙MNG的角平分线,

/MN。=乙BNO=a,

vPMWEF,

PMWNO,

:.Z.PMN=Z.MNO,

■:乙PMN=60°

•••a=60°；

AB\\CD,

:.乙BNO=乙MON,

•••NO是4MNG的角平分线,

•••/MNO=乙BNO,

Z.MON=乙MNO,

当点N在点G左侧时.

Z.PMD+Z.GHC=180°,

；.iPMN+ZJVMO=180°-a,

•••乙PMN=60。

/NM。=120°-a,

:./MON=4180。-ZNMO）=30°+|a；

当点N在点G右侧时，

AB

,H\.

C

u\,M-------------0

F•••PM\\EF

:.Z.PMC=Z.GHC=a,

£NMD=180°-乙PMC-乙PMN=120°-a,

♦“NMD=乙MNO+乙MON,

"加沁MD=6。。—，

综上可知，乙MON的度数为30。+）或60。一）.

B提能力

一、解答题

1.（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，已知442CD,^ABE=150°,Z.CDE=85°,求/BED的度数.

【答案】55°

【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EFIIA8,^AB||EF||CD,由平行线的性质

可得4+乙BEF=180°,乙DEF=乙CDE,代入数据计算即可得解.

'：ABIICD,

:.AB||EF||CD,

：.Z.ABE+Z.BEF=180°,乙DEF=乙CDE.

\^ABE=150°,LCDE=85°,

:.乙BEF=180°-乙ABE=30°,乙DEF=乙CDE=85°,

:.Z.BED=乙DEF-乙BEF=55°.

2.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）已知，如图CDIIAB,OF平分上BOD,OF1OE,乙D=50°,求N202

的度数.

【答案】65。

【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，垂线的理解，由平行线的性质可得出乙。二

Z.DOB=50°,有角平分线的定义可得出尸="BO。=25。，再由垂线的定义可得出"05=90。，最

后根据角的和差关系即可得出答案.

【详解】解：-CDIIAB,

:•乙D=乙DOB=50°,

•••OF平分4800,

：zD0F=之乙BOD=25°,

2

•；OF1OE,

./EOF=90%

.-.zDOE=ZLFOF-ADOF=6S。

3.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，在四边形A8C。中，。==90°,AE平分乙BAD交CD于点E,

过点C作CFIME交A8于点F.求证：CF平分4BCD.

D

【答案】见解析.

【详解】证明：因为八E平分所以ZZME=4£71B.因为CF||AE,所以土EA8=4CFB/Z)£A=

乙DCF.所以匕DAE=乙CFB.因为，B=ZD=90°,所以匕ZME+LDEA=乙CFB+乙BCF=90。，所以40EA=

(BCF.又因为4DEA=4DCF,所以乙DCF=4BCF,所以CF平分N8CD.

4.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)如图,已知A8IIDE,+乙E=1801

(2)若4=60。，射线HG平分求N，GE的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：

(1)先由两直线平行，同旁内角互补得到4B+，8HO=180。，再证明乙E=4BHO,即可证明BCIIE尸;

(2)由角平分线的定义得到上8HG=\LBHE=30°,则由两直线平行，内错角相等即可得到zHGE=

乙BHG=30。.

【详解】(1)证明：'：ABWE,

，乙B+乙BHD=180°,

+=180°,

：,LE=乙BHD,

：.BCIIEF；

（2）解：*：z.BHE=60°,射线HG平分乙8HE,

:,乙BHG=-Z.BHE=30°,

2

*：BC||EF,

:•乙HGE=Z.BHG=30°.

5.（24-25七年级上•山东泰安•阶段练习）如图，在△48C中，44=46。，CE是乙力C8的平分线，B,C,。在

同一直线上，FDWEC,匕0=42。.

⑴求“C8的度数：

⑵求NB的度数.

【答案】⑴乙4cB=84。；

（2）LB=50°.

【分析】（1）根据平行线的性质得出LECB=ZD=42°,进而利用角平分线的定义即可求解；

（2）根据三角形的内角和定理即可求解；

此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）解：：FD\\EC,ZD=42°,

"ECB=ZD=42°,

•••CE是乙4c8的平分线，

工乙ECB

2

：.LACB=84°：

（2）解：由（1）得：^ACB=84°,

'：LA=46°,

：.LB=180°-46°-84°=50°.

6.（23-24八年级上•广东梅州•期天）如图,已知23=48。,42=132。，ZC=ZD.

c

⑴求证:BD||CE；

(2)若乙4=40。,求NF的度数.

【答案】(1)见解析

(2)zF=40°

【分析】本题考查了平行线的判定与性质；

(1)由乙1=48。，42=132。，得出/1+42=180。，利用“同旁内角互补,两直线平行”可派出8。IICE；

(2)由9。||CE得出4c=由4c=4。得出，=N。，利用“内错角相等，两直线平行〃可证出

4CIIO/，进而可得出44=4/=40。.

【详解】(1)证明：•••41=48°,乙2=132。，

:.zl+Z2=180°,

/.BD||CE；

(2)解：vBD||CE,

•••zC=Z.ABD»

又•：乙C=CD,

Z.ABD=NO,

-AC||DF,

:.z.A=£.F=40°.

7.(22-23七年级下•贵州遵义•阶段练习)如图，已知41+乙。/£=180°,乙BAC=々DEF,Z/?=75°,

(1)求证：ACIIEF；

(2)求

【答案】(1)见解析:

(2)LEDF=75°.

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；

(1)41+ZZTE=180°及乙1二乙4。凡得NCHE+44c尸=180。，由平行线的判定即可证明；

(2)由4C||E/及已知得NB4C=4AGE,即可得ABIIDE,从而有4B=4EDF,由已知即可求解.

【详解】(1)证明：•.•N1+4CFE=180。，zl=AACF,

“FE+Z,ACF=180°.

AC||EF：

(2)解：-ACIIEF,

A/.AGE=乙DEF,

vZ.BAC=乙DEF,

:.Z.BAC=/.AGE.

:.AB||DE.

乙B=Z.EDF.

V乙B=75。，

:.Z.EDF=75°.

8.(23-24七年级下•广东清远•期口)如图,8。平分MBC交AC于点D,DE||BC,交AB于点E.

(1)请说明NEBO=乙EDB.

(2)如果8D1AC,^ADE=70°,求乙48c的度数.

【答案】(1)见解析

(2)40°

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关犍.

(1)根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果；

(2)根据垂直得到4408=90°,则4BDE=20°,乙CBD=乙EBD=lBDE=20°,再根据角度和差即可计

算.

【详解】(1)证明：・・・8。平分乙

:.乙CBD=乙EBD,

•••DE||BC.

•••Z.CBD=乙EDB.

乙EBD=4EDB；

(2)解：'：BDLAC,LADE=70°,

：,LADB=90°,乙BDE=4ADB-LADE=90°-70°=20°,

Z.CBD=乙EBD=乙BDE=20。，

J.z.ABC=20°+20°=40°.

9.（2024七年级上•全国•专题练习）生活情境•山路“公路村村通〃的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公

路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：

在图2中，ABWCD,=125%Z.PQC=65°,"=145°,求NBPQ的度数.

图1图2

【答案】85°

【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点P向左作PMIL4B,过点Q向右作QNIL4B,由平行线的判定方法

得HBIIPMIIQNIICZ）,由平行线的性质得上BPM=55°,乙CQN=35°,由角的和差得/PQN=乙PQC-乙CQN,

即可求解：掌握平行的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过点尸向左作PMIIAB,过点Q向右作QNII48,

则4BIIPMIIQNIICD,

AZ.ABP+乙BPM=180°,

Z.DCQ+Z.CQN=180°,

iMPQ=乙PQN,

•••=125°,C=145°,

:.乙BPM=180°-125。=55°,

乙CQN=180°-145°=35°,

vZ.PQC=65°,

...Z.PQN=乙PQC-乙CQN

=65。-35。=30°,

乙QPM=乙PQN=30°,

:.乙BPQ=乙BPM+“PM

=55°+30°=85°.

10.(23-24七年级下•安徽黄山・期末)如图，已知，8力。=匕。，AB||CD,点E在线段延长线上，OE平

分“DC.

⑴求证：乙DEC=LEDC；

(2)若乙/ME=5^BAE,^AED=45。，求4DEC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)60°

【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合

性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第(2)步要注意根据题意设出未知数，用含x的

式子表示出相关角，列出方程解答.

(1)根据A8||CD得到NBA。+“DC=180°,根据角平分线的定义得到N/WE=乙EDC,即可证明；

(2)设=X.Z.DAE=5x,则440c=180°-4x,根据48||CO得至I],进而得至lj乙8DC=180°-4BAD=

180°-4x,根据NO||BC,乙4ED=45。，得到4E4D+乙4EO+匕OEC=180。，从而求出.

【详解】(1)证明：'：AB||CD,

：.ABAD+Z.ADC=180°,

'：LBAD=乙C,

：.LC^LADC=180°,

.\AD||BC；

：.LADE=/.DEC,

TDE平分NADC,

：,£ADE=乙EDC,

，乙DEC=LEDC；

(2)解：'：Z.DAE=54BAE,Z.AED=45°,

可设立BAE=x,Z.DAE=5x,

：,LDAB=4/.BAE=4x,

*：AB||CD,

：,LADC=180°-/-BAD=180°-4x,

TDE平分4AOC,

：,^EDC=^ADC=90°-2x

/.zDFC=zFDC=90°-2x

VZDIIBC,Z-AED=45°,

：.Z.EAD+Z.AEC=180°,即NE4D+Z,AED+乙DEC=180°

.,.5x+45°+90°-2x=180°,

解得：x=15°,

/.zDFC=900-2x=60°.

11.（24-25七年级上♦全国•课后作业）已知：如图①，4B||CD,点P在48,CD之间，连接4P,CP.易说明

乙力PC=48AP+4PCD.

卜.面是两位同学添加辅助线的方法：

斓

如图②，过点P作PQIIAB.如图③，延长4P交。。于点M.

小明小・

CDCD

①②③

请你选择一位同学的方法进行说明.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质.以选择小明的方法为例，过点P作PQIMF,

||PQ||CD,得到乙4PQ=4BAP,乙CPQ=CPCD,据此即可证明结论成立；以选择小慧的方法为

例，延长4P交。。于点M,利用平行线的性质，得到乙4MC=4B/1P,再利用三角形的外角性质即可证明结

论成立.

【详解】解：以选择小明的方法为例，证明如下：

过点P作PQIIAB,

,:PQIIABtABIICD,

：.AB||PQ||CD,

：.LAPQ=乙BAP,LCPQ=乙PCD,

：.LAPC=乙APQ+Z-CPQ=乙BAP+乙PCD：

以选择小慧的方法为例，证明如下:

延长交C。于点M,

*：AB||PQ,

/.Z.AMC=乙BAP,

：,LAPC=Z.AMC+乙PCD=4BAP+乙PCD.

12.(24-25七年级上•吉林长春•期末)【探究】如图①，已知ABIICD,

(1)若4APC=75。，^PAB=29°,求NPC。的度数；

(2)求证：Z.APC+Z.PAE+LPCF=360°；

【应用】如图②，已知力8|£。，若乙力=148°,(C=54°,乙P=52°,则+乙F=1

图①图②

【答案】(1)46°；(2)见解析；【应用】138.

【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键.

(1)如图所示，过点P作PGII首先得到乙力PG=々248=29。，求出乙CPG=4/1PC—乙4PG=46°,

然后证明出PGIICD,即可得到/PCD=Z.CPG=46°；

(2)根据PGII得到41尸G+LEAP=180°,根据PG||CD得到“PG+乙PCF=180°,进而求解即可;

应用：过点P作"G||AB,延长OC到点M,由(2)得N4+4E+4EPG=360°,进而得到NE=32。+乙EPH,

同理得到d=54°+4HPF,进而求解即可.

【详解】解：(1)如图所示，过点P作PGII4B,

图①

*：LPAB=29。,

：,z.APG=Z-PAB=29°；

'：LAPC=75°,

：.LCPG=UPC-乙APG=46°；

\'AB\\CD,

：.PG||CD,

:•乙PCD=乙CPG=46°；

（2）•:PGIIAB,

：.LAPG+LEAP=180°；

*：PGIICD,

：,^,CPG+Z-PCF=180°,

：.LAPC+乙PAE+乙PCF=Z-APG+Z.PAE+乙CPG+乙PCF=180°+180°=360°；

应用：如图所示，过点P作“GIIAB,延长OC到点M,

BA

图②

由（2）得，44+4E+4EPG=360。，

•・、A=148°,乙EPG+乙EPH=180°,

148°+NE+180°一乙EPH=360°,

AzE=320+Z.EPH；

■:乙FCD=54°,

：.LFCM=180°-乙FCD=126°；

由。）得，+/r+/尸CM=360。，

VzGPF=180°-z