初中九年级数学下册《图形的相似》概念建构教案

初中九年级数学下册《图形的相似》概念建构教案

一、课标要求与教材深度分析

（一）课标定位与核心素养指向

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域的重要内容。课标明确要求：“通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比的概念；掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；了解相似三角形的判定定理。”其核心素养指向在于发展学生的几何直观、空间观念、推理能力和模型观念。从全等图形到相似图形，标志着学生从“形与形完全重合”的刚性几何思维，迈向“形与形结构相同但大小可变”的柔性几何与比例思维，是学生数学认知结构的一次重要飞跃。

（二）教材结构与大单元教学视角

本章节“图形的相似”在人教版九年级下册中，起着承上启下的关键作用。承上：它紧密联系八年级的“全等三角形”和“比例线段”知识，全等是相似比为1的特殊相似。启下：它是后续学习“相似三角形的判定与性质”、“位似变换”、“锐角三角函数”乃至高中“平面向量”、“解析几何”中斜率概念的直观几何基础。在大单元教学设计理念下，本章可视为“图形变换与度量关系”大单元的重要组成部分，与平移、旋转、轴对称、位似等变换共同构成研究图形间关系的完整谱系。

（三）内容深度解析：从生活数学到形式数学

“相似”概念的本质在于“形状相同，大小不一定相等”。其数学化定义依赖于两个核心要素：

1.对应角相等：保证了图形方向的保持，即“形状”不变的核心特征。

2.对应边成比例：引入了“比例”这一数值关系，刻画了图形大小的缩放程度，即“相似比”（或“比例因子”）。

教材从国旗、照片缩放等大量生活实例引入，旨在帮助学生完成从感性认识到理性抽象，从具体实物到数学图形的思维跨越。教学的关键在于引导学生剥离颜色、材质等非本质属性，聚焦于图形的边、角等几何属性，从而建构起严谨的数学定义。

二、学情分析与学习障碍预设

（一）认知基础分析

九年级学生已具备以下知识储备：

1.几何知识：熟练掌握三角形、多边形的基本性质，全等三角形的判定与性质。

2.代数知识：熟练掌握比例的基本性质、比例式的变形与计算。

3.初步经验：在生活中对“放大”、“缩小”、“像与不像”有丰富的直观感受。

然而，这些知识多为孤立状态，学生尚未在“全等”与“相似”、“形状”与“比例”之间建立深刻的概念关联。

（二）潜在认知障碍与迷思概念

1.形状感知的片面性：学生容易仅凭视觉“感觉”判断相似，忽略数学定义的精确性。例如，认为所有长方形都相似，所有圆都相似（虽然正确，但理由不充分），甚至可能认为一个长方形和一个正方形“有点像”。

2.“比例”思维的薄弱点：从“相等”到“成比例”是一次思维跃迁。学生可能在判断对应边、计算未知边长时出现对应关系混乱。

3.非本质属性的干扰：图形的位置、方向、颜色等无关因素可能干扰学生对“对应角”、“对应边”的识别。

4.特殊与一般的混淆：容易将“全等是特殊的相似”理解为“相似是全等的一部分”，逻辑关系颠倒。

（三）学习心理与动机激发

九年级学生抽象逻辑思维占主导，具备一定的自主探究与合作学习能力。他们厌倦枯燥的定义灌输，渴望了解知识的来源与应用价值。因此，教学设计应创设富有挑战性的真实任务，通过技术工具（如几何画板）实现图形的动态变化，让抽象概念可视化、可操作化，从而激发内在探究动机。

三、教学目标（素养导向）

（一）知识与技能

1.结合具体实例，从生活中抽象出相似图形的共同特征，能准确叙述相似图形、相似多边形的定义。

2.理解并熟练运用“对应角相等，对应边成比例”来判定两个多边形是否相似。

3.理解相似比（比例系数）的概念，能根据相似比进行相关计算。

4.能识别相似图形中的对应顶点、对应边、对应角。

（二）过程与方法

1.经历“观察实例→归纳共性→抽象定义→辨析应用”的概念形成全过程，体会数学抽象和模型思想。

2.通过动手操作（测量、计算）、几何画板动态演示和小组合作探究，发展几何直观和数据分析能力。

3.在对比“全等”与“相似”的异同中，学会运用类比和迁移的数学思考方法。

（三）情感、态度与价值观

1.感受相似图形在建筑设计、艺术创作、地图绘制、影像技术等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和美学价值。

2.在克服认知冲突、解决疑难问题的过程中，培养严谨求实、一丝不苟的科学态度。

3.通过小组协作与交流，增强团队合作意识与数学表达能力。

四、教学重难点

1.教学重点：相似多边形概念的形成过程与数学定义的理解；利用定义进行初步的判别与简单计算。

2.教学难点：从“形状相同”的直观描述到“对应角相等、对应边成比例”的数学定义的抽象过程；在复杂图形中准确寻找对应元素。

五、教学策略与方法

1.整体策略：采用“情境-问题-探究-建构-应用”的探究式教学模式，贯彻“学生为主体，教师为主导”的原则。

2.主要方法：

1.3.情境创设法：利用跨学科素材（艺术、地理、科技）创设真实、富有意义的问题情境。

2.4.探究发现法：设计层层递进的任务链，引导学生通过测量、计算、观察、猜想、验证，自主发现相似的本质特征。

3.5.对比辨析法：通过正反例辨析、全等与相似对比，深化概念理解，澄清迷思。

4.6.技术融合法：深度融合几何画板、动态PPT等信息技术，实现图形的实时缩放与变形，使抽象概念动态直观。

5.7.合作学习法：开展小组讨论与操作，促进思维碰撞，共同建构知识。

六、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含丰富的生活实例图片、动态几何演示）；几何画板软件及预设文件；课堂探究任务单；不同比例的中国地图卡片；实物投影仪。

2.学生准备：直尺、量角器、计算器；复习全等三角形的定义与性质；预习课本相关章节。

七、教学过程实施（详细展开）

第一课时：概念的诞生——从“像”到“相似”

环节一：创设情境，激趣引疑（预计时间：8分钟）

【教师活动】

1.播放短片：呈现一组图片快速切换：不同尺寸的国旗、手机里同一张照片的放大与缩小、电影《蚁人》中角色身体缩放的特效、利用“小孔成像”原理形成的倒立像、两张不同比例尺的校园平面图。

2.抛出核心问题：“同学们，这些图片中的图形，给我们最直接的感受是什么？”（预设学生回答：形状一样，大小不同/看起来很像）。

3.聚焦数学：“在生活中，我们说‘像’。在数学中，我们如何精准地描述这种‘形状相同，大小不一定相等’的关系呢？今天，我们就来为这种关系赋予一个精确的数学名字——相似。”

【设计意图】通过跨学科、高科技的生活实例，瞬间激活学生的已有经验，明确本节课的研究对象。设问将生活语言“像”与数学语言“相似”建立联系，引发认知期待。

环节二：操作探究，归纳特征（预计时间：20分钟）

【任务一：直观感知，大胆猜想】

1.教师分发给每个小组两张多边形卡片（例如，一个是边长为3cm,4cm,5cm的直角三角形，另一个是其放大后的图形，边长分别为6cm,8cm,10cm）。

2.问题1：“请观察并触摸这两个图形，说说你的发现。”（形状相同，大小不同）

3.问题2：“如何用我们学过的几何知识（边、角）来科学地描述这种‘形状相同’？”引导学生想到测量角度和边长。

【任务二：精确测量，数据驱动】

1.学生小组合作，用量角器测量两个三角形的各个内角，用直尺测量各边长度，并记录在任务单表格中。

2.表格预设：

图形

∠A

∠B

∠C

边AB

边BC

边CA

小三角形

3cm

4cm

5cm

大三角形

6cm

8cm

10cm

3.问题3：“比较两组数据，关于角，你有什么发现？”（∠A=∠A‘，∠B=∠B’，∠C=∠C‘）。教师引导：这就是对应角相等。

4.问题4：“比较两组数据，关于边，你有什么发现？试试计算大三角形与小三角形同一位置的边的比值。”（6/3=2，8/4=2，10/5=2）。教师引导：它们的比值都是一个常数2。即AB’/AB=BC‘/BC=CA’/CA=2。这就是对应边成比例。

【任务三：动态验证，深化理解】

1.教师用几何画板现场演示：画出一个任意△ABC，设定一个比例系数k（如k=0.5,1.2,2等），动态生成新的△A‘B’C‘。

2.引导学生观察：无论k如何变化（k>0），△A‘B’C‘与△ABC的形状始终相同（视觉感受）。

3.利用几何画板的测量功能，实时显示两组对应角和对应边的比值。学生观察发现：对应角始终相等；对应边的比值始终等于k。

4.认知冲突：将k设为1。问：“此时是什么关系？”（全等）。教师强调：“当k=1时，对应边不仅成比例，而且相等，这就是我们学过的全等。所以，全等是相似的特殊情况！”

【设计意图】此环节是概念建构的核心。通过“动手测量”获得初步数据感知，再通过“技术验证”实现从特殊到一般、从静态到动态的跨越。数据与动态图形的双重印证，使得“对应角相等、对应边成比例”这两个特征牢固地成为学生心中“形状相同”的数学等价描述。设置k=1的冲突，巧妙建立新旧知识的联系。

环节三：抽象定义，规范表述（预计时间：7分钟）

1.师生共议：基于以上探究，教师引导学生尝试用自己的语言总结“两个图形相似需要满足什么条件”。

2.呈现定义：教师展示规范的数学定义，并精讲关键词。

相似图形：形状相同的图形。

相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似比（比例系数）：相似多边形对应边的比称为相似比。通常记相似比为k

k

k。当k

>

1

k>1

k>1时，图形放大；当0

<

k

<

1

0<k<1

0<k<1时，图形缩小。

3.符号引入：介绍相似符号“∽”。例如，△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。强调书写时对应顶点要写在对应的位置，这既是规范要求，也暗含了寻找对应关系的技巧。

4.概念辨析：

1.5.“所有正方形都相似吗？”（是，因为内角都是90°对应相等，任意两边之比都是常数。）

2.6.“所有长方形都相似吗？”（不是，因为对应角相等，但对应边不一定成比例。如长2宽1与长4宽2的长方形相似，但与长4宽1的就不相似。）

3.7.“一个圆和一个椭圆相似吗？”（不是，边数不同的图形目前不讨论其相似性，且形状不同。）

【设计意图】将探究结论升华为精准的数学语言和符号，完成数学抽象的关键一步。通过即时辨析，巩固定义，破解迷思概念，突出定义的判定功能。

环节四：初步应用，内化新知（预计时间：5分钟）

【课堂练习】

1.判断：两个菱形一定相似吗？（不一定，角可能不相等）

2.如图，已知四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠B=90°，AB=5，EF=10，FG=12。

1.3.(1)求∠E和∠F的度数。

2.4.(2)求边BC的长度。

【设计意图】设计层次性练习。第1题巩固定义，强调两个条件缺一不可。第2题引入简单计算，训练学生根据相似定义和性质进行推理和计算的能力，为下节课埋下伏笔。

第二课时：概念的深化与初步应用

环节一：温故知新，建立联系（预计时间：5分钟）

1.快速问答：相似多边形的定义是什么？相似比的意义是什么？全等与相似有何关系？

2.图形变式：教师在几何画板上展示一个△ABC及其相似图形△A‘B’C‘，然后拖动点改变△A’B‘C’的形状。问：“它现在还和△ABC相似吗？为什么？”（不相似，因为对应角不相等了）。此操作强化“形状锁定”的直观感受。

环节二：综合探究，对应之道（预计时间：15分钟）

【核心难点突破：寻找对应元素】

1.问题情境：给出两个复杂的相似多边形图纸（如不规则场馆的平面图与它的微缩模型图），它们摆放的方向不一致。

2.小组挑战：“如何确定这两个图形中，哪个角与哪个角对应？哪条边与哪条边对应？”

3.策略生成：引导学生讨论，归纳方法：

1.4.方法一（角优先）：先找到度数相等的角，它们就是对应角，夹它们的边就是对应边。

2.5.方法二（边优先）：观察图形中最特殊的边（如最长边、最短边），它们往往是对应边，它们两端的顶点就是对应顶点。

3.6.方法三（顺序约定）：在已知相似且用符号表示时（如五边形ABCDE∽五边形A‘B’C‘D’E‘），必须严格按照字母顺序对应。

7.实战演练：在任务单上完成两组复杂相似图形的对应顶点、对应边、对应角的标记练习。

【设计意图】寻找对应元素是应用相似定义解决问题的关键技能，也是难点。本环节通过真实复杂情境，引导学生从被动接受转向主动探索“方法”，将隐性的思维策略显性化，提升学生解决陌生问题的能力。

环节三：模型初建，解决实际问题（预计时间：15分钟）

【项目式学习情境：我是校园规划师】

1.背景：学校计划扩建操场，并制作一个比例为1:200的操场规划沙盘模型。

2.任务：已知真实操场是一个长方形，长100米，宽60米。沙盘模型中，这个长方形“操场”的周长是多少？面积是多少平方厘米？

3.探究过程：

1.4.步骤1：确定相似比。k

=

模型边长

实际边长

=

1

200

k=\frac{模型边长}{实际边长}=\frac{1}{200}

k=实际边长模型边长​=2001​。

2.5.步骤2：计算模型的长和宽。模型长=100

m

×

1

200

=

0.5

m

=

50

c

m

100m\times\frac{1}{200}=0.5m=50cm

100m×2001​=0.5m=50cm；模型宽=60

m

×

1

200

=

0.3

m

=

30

c

m

60m\times\frac{1}{200}=0.3m=30cm

60m×2001​=0.3m=30cm。

3.6.步骤3：计算模型周长与面积。周长=2

×

(

50

+

30

)

=

160

c

m

2\times(50+30)=160cm

2×(50+30)=160cm；面积=50

×

30

=

1500

c

m

2

50\times30=1500cm^2

50×30=1500cm2。

7.深度思考：

1.8.“模型与实物的相似比是1:200，它们的周长比是多少？面积比又是多少？”（引导学生计算：周长比=

160

c

m

2

×

(

10000

+

6000

)

c

m

=

160

32000

=

1

200

=

k

=\frac{160cm}{2\times(10000+6000)cm}=\frac{160}{32000}=\frac{1}{200}=k

=2×(10000+6000)cm160cm​=32000160​=2001​=k；面积比=

1500

c

m

2

10000

c

m

×

6000

c

m

?

=\frac{1500cm^2}{10000cm\times6000cm?}

=10000cm×6000cm?1500cm2​注意单位统一！面积比=

1500

60000000

=

1

40000

=

k

2

=\frac{1500}{60000000}=\frac{1}{40000}=k^2

=600000001500​=400001​=k2）。

2.9.提出猜想：相似多边形的周长比等于相似比k

k

k，面积比等于相似比的平方k

2

k^2

k2。（此结论为后续学习埋下伏笔，此处仅作猜想，不做严格证明）。

【设计意图】将数学知识嵌入真实的项目情境，使学习更有意义和趣味。通过计算，不仅巩固了相似比的概念，更自然地引出了相似图形周长与面积比的规律，实现了知识的自然生长和深度探究。

环节四：课堂小结，思维导图建构（预计时间：5分钟）

引导学生共同绘制本节课的思维导图（概念图）：

图形的相似

├─定义：形状相同

├─数学描述（多边形）

│├─对应角相等

│└─对应边成比例→相似比(k)

├─符号：∽（注意对应书写）

├─与全等的关系：全等是k=1的相似

├─应用

│├─判断（两个条件）

│├─计算（求角、边、周长）

│└─实际建模（地图、模型等）

└─猜想：周长比=k，面积比=k²

【设计意图】利用思维导图进行结构化总结，帮助学生将零散的知识点串联成网络，从整体上把握“相似”概念的逻辑体系，提升元认知能力。

八、板书设计（两课时总体规划）

主板书区域（左侧）

27.1图形的相似

一、生活现象→数学概念

1.照片缩放、地图、模型……

2.共同特征：形状相同，大小不同

二、探究与定义（多边形）

1.测量发现：

1.2.∠A=∠A‘，∠B=∠B’，∠C=∠C‘→对应角相等

2.3.AB’/AB=BC‘/BC=CA’/CA=2→对应边成比例

4.定义：两个边数相同的多边形，如果对应角相等，对应边成比例，则它们相似。

5.相似比(k)：对应边的比。

1.6.k>1：放大；0<k<1：缩小；k=1：全等。

7.符号：△ABC∽△A‘B’C‘（对应书写！）

三、应用与深化

1.判断：两个条件缺一不可。

1.2.例：所有正方形∽，所有长方形不一定∽。

3.计算：利用定义与性质。

4.找对应：看角、看边、看顺序。

5.实际应用（操场模型）：

1.6.模型vs实物：相似比k=1:200

2.7.猜想：周长比=k；面积比=k²

副板书区域（右侧）

1.用于展示学生课堂练习的典型解答。

2.用于绘制复杂的示例图形并标记对应关系。

3.记录小组讨论产生的关键问题或精彩观点。

九、分层作业设计

1.基础巩固层（必做）：

1.2.教科书课后练习，完成关于相似定义判断和简单计算的题目。

2.3.找出家中或生活中的两对相似图形，并用本课所学知识简要说明为什么它们相似（需指出对应元素）。

4.能力提升层（选做）：

1.5.探究：两个相似五边形的相似比为3:2，已知较大五边形的周长为45cm，求较小五边形的周长。若较大五边形中某条边长为12cm，求其在较小五边形中的对应边长。

2.6.思考：小明说：“放大镜下的物体和原来的物体是相似的。”你认为他的说法严谨吗？从数学角度分析，在什么条件下成立？（提示：考虑平面图形与立体实物，