2023年上海市杨浦区九年级数学一模试卷（解析版）

数学学科

（测试时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定

的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置

上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列函数中，二次函数是（）

A.y=x+\B.y=x（x+l）C.y=（x+l）2-x2D.

1

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.

【详解】y=x+i中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；

2

y=X（X+\）=X^Xt满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；

N=（X+1）2—/=2X+1,未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；

y='T，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意.

X-

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的定义.掌握二次函数的定义“一般地，形如＞工+，

（如氏。是常数，的函数，叫作二次函数.”是解题关键.

2.已知点4（1,2）在平面直角坐标系直乃中，射线04与x轴正半轴的夹角为小那么

cosa的值为（）

A.YB.2C.—D.-

255

【答案】C

【解析】

【分析】作4〃_Lx轴于，.利用勾股定理求出利用余弦的定义即可解次问题.

【详解】解：如图，作轴尸〃.

•••4(1,2),

/.OH=1,AH=2,

•・,NAH0=9。。,

・•・0A=>JOH2+AH2=Vl2+22=V5，

.OH1«

•・cosa=------==一,

OAy[55

故选：c.

【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题.

3.己知一个单位向量设所、乃是非零向量，下列等式中，正确的是()

A.而玩=°B.同质二所c.|n|e=nD.

wrk

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可.

1r

【详解】解：A、雨〃7与。的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意.

B、同济二所，计算正确，故本选项符合题意.

C、和方的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意.

1r1_

D、雨'〃和同〃的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考行平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,它把物体从地面点A处送到离地面3米高

的“处，则物体从A到“所经过的路程为（）

传送带一

A.3JI6米B.2jid米c.JIG米D.9米

【答案】A

【解析】

【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.

【详解】解：设BC_LAC,垂足为C,

Vi=BC：AC=1：3

A3：AC=1:3,

/.AC=9,

在Rt^ACB中，由勾股定理得，

AB=>jAC2+BC2=^92+32=3>/10

，AB=3如米.

故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.

5.如图，在中，4c8=90。，CDLAB,垂足为点。，下列结论中，错误的

是（）

AD=CD

~CD~~BD

【答案】C

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质和相似三角形的判定可知△/CDs△"Cs^ca。，利

用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到问题的答案.

【详解】解：vZJC^=90°,CDLAB,

：.AA4-ZACD=90°,N4+N4=90。，

，/ACD=4B,

：,AACDS&ABC,

同理：AACDsLABCs4CBD，

*ADACCDADCD

••就一下一而'~CD~~BDf

,:BDwCD,

ADBD

/.——工——,

ACBC

故A,B,D正确，C错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形用似的判定一直是中考考查的热点

之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，

以充分发挥基本图形的作用.

6.如图,在V4中,平分//?力。，点。在边力月匕线段。。与力G交干点兄

且N4CD=NB,下列结论中，错误的是（）

A."CDs&BCB.YADES'ACG

C.^ACE^^ABGD.AADEs/^CGE

【答案】D

【解析】

【分析】由/4CQ=/8,ZDAC=ZCAB,可直接证明△4。。s△4台。，即可判断

A,由角平分线的定义得出NQ/K=NC4G.再结合三角形外角的性质即可得出

ZAED=NNGC,从而可证YADEs'ACG,即可判断B；由/CAE=/BAG,

/ACD=N8,可直接证明公ACEs公ABG,即可判断C；没有条件证明

△ADEs^CGE,即可判断D.

【详解】•:ZACD=ZB,/DAC=NCAB,

.•♦△ACDs/\ABC,故A正确，不符合题意；

•••4G平分NA4C,

NDAE=NCAG.

VZAED=ACAG+ZACD,ZAGC=ZDAE+ZB.

Z.AED=ZAGC，

•••VADESYACG,故B正确，不符合题意；

•：NCAE=NBAG,ZACD=ZB,

.SACESAABG,故C正确，不符合题意；

在V/DE和VCGE中只有N力ED=NCEG,不能证明,故D错误，

符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质.掌握三角形

相似的判定定理是解题关踵.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.计算：cot30°=.

【答案】&

【解析】

【分析】根据特殊角的三侑函数值直接写出即可.

【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：cot300=>

故答案为：.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键.

8.计算：-（〃-26）+6=.

【答案】+

33

【解析】

【分析1根据向量的线性运算法则计算即可.

I/-*—\一1—2一—1-[-*

【详解】解：—（。―2b）+b=—a—b+b=—ciH—b.

3、,3333

1-1-

故答案为：-a+-b.

33

【点睛】本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算.

9.如果函数/（x）=2/-3x+l,那么/（2）=.

[?卷]3

【解析】

【分析】将x=2代入/（x）=2/—3x+l,求值即可.

【详解】由题意可知/（2）=2X22—3X2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查求二次函数的值.正确计算是解题关键.

10.如果两个相似三角形的周长比为2：3,那么它们的对应高的比为.

【答案】2:3

【解析】

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于

相似比可得到答案.

【详解】•・•两个相似三角形的周长比为2:3,

・•・两个相似三角形的相似比为2:3,

，对应高线的比为2:3,

故答案为：2:3.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相

似比是解题的关键.

11.已知点尸是线段MV的黄金分割点（必尸>即），如果用N=10,那么线段=

【答案】5石-5##-5+5k

【解析】

【分析】根据黄金分割点为概念列式求解即可.

【详解】解：•・•点尸是线段"N的黄金分割点，MP>PN,W=10,

・•・PM二避二二避/10=56-5，

22

故答案为：575-5.

【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念.把一条

线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做

黄金分割，他们的比值.叫做黄金比.

2

12.已知在V/8C中，/B=13,BC=17,tan5=—,那么4C=

12

【答案】572

【解析】

【分析】过力作力。/6C于点。，利用止切的定义结合勾股定埋求得力。、BD,进而可

求出C。，最后再次根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，过点力作/。工于点

・••可设力。=5x,则8Q=12x.

在中，AD2+BD2=AB~»

•••（5x）2+（12x『=13?,

解得：x=l（舍去负值），

AAD=5,80=12,

:.CD=BC-BD7-12=5,

•*-AC=NAD?+CD2=152+52=5V2•

故答案为：5\[2-

【点睛】本题考直解直向三角形、勾股定理.画出图形并正确作出辅助线构造直角三角形

是解题关键.

13.已知抛物线y=a/在对称轴左侧的部分是下降的，那么。的取值范围是

【答案】。〉0##0＜。

【解析】

【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则可得〃＞（）.

【详解】解：•・•抛物线歹二ad在对称轴左侧的部分是下降的，

・••抛物线开口向上，

a＞0,

故答案为：a＞0.

【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数。决定抛物线的开口方向

和大小.当。＞0时，抛物线开口向上；当"0时，抛物线开口向下.

14.将抛物线^二/一21+3向下平移朋个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么〃?=

【答案】2

【解析】

【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点

坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0,可求出答案.

【详解】解：V^=X7-2X+3=（X-1）2+2,

・•・该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=（x-1）?+2—〃7,

,此时顶点坐标为（1,2-加）.

•・•此时它的顶点恰好落在x轴上，

2—〃7=0,

解得:m=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质.掌握二次函数图象的平

移规律“上加下减，左加右减”是解题关键.

15.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度歹

（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是^=-5父+6工（（）《工44）,

那么水珠达到的最大高度为米.

【答案】6

【解析】

【分析】根据二次函数的顶点式即可求解.

【详解】解：・・・'=一|『+6工

=_*_2）2+6,

3

*.*a=—<0

2

工抛物线开口向下，有最大值，

又0WxW4

・・..丫=2时，y取最大值6,

即水珠的高度达到最大6米，

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶

点式.

16.如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50

厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74。，那么小球在最高和最低位

置时的高度差为厘米.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,

tan37°«0.75.）

【答案】10

【解析】

OF

【分析［过点4作彳/_LOC于点儿在RtV/10/中，根据cos//OC=——，可得

0A

0bB40厘米，即可求解.

【详解】解：如图，过点力作//10。于点R

根据题意得：^AOB=74°,ZAOC=NBOC,。/=。。=50厘米，

OF

在RtV力。/中，cosZJ0C=——，

0A

OF

・••cos370=—,

50

解得：。月々40厘米，

・・・6=。。一。/二10厘米，

即小球在最面和最低位置时的高度差为10厘米.

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解

题的关键.

17.如图，已知在四边形48C。中，/DAB=900,/4BC=60。，AB=CB,点、E、F

CF

分别在线段48、ADk.如果CE18/，那么——的值为

BF

c

【答案】也

2

【解析】

【分析】过点C作勿_L用于点设CE交8产于点。.证明VCWE7/R4尸，推出

CECM日，、人

—=——»可得结论.

BFAB

【详解】解：过点。作用于点例，设CE交BF于点().

•/CMLAB,

ACME=90°,

NECM+/CEM=90°,

CE_LBF,

\BBOE=90。，

ZCEM+ZABF=900,

"CM=/ABF,

又NFAB=4EMC=9。。,

:./\CMFs/\RAF,

CECM

二.——=----,

BFAB

•:AB=BC,Z.ABC=60°,

.CECM.AAOV3

BFBC2

故答案为：走.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造相似三角形解决问题.

18.如图，已知在矩形力8C。中，4B=6,BC=8,将矩形45。。绕点C旋转，使点

4恰好落在对角线4C上的点*处，点力、。分别落在点4、DC处,边彳e、HC分别

与边力。交于点M、M那么线段MV的长为.

【解析】

【分析】过点H作/南人/。，利用勾股定理求出4C,根据旋转的性质得到相应结论，

求出证明，求出AM=2.5,B'M=1.5,证明AAMB's^AME,

求出H石=3.6,EM=2.7,议EN=x,最后证明△4ENs^CDN,得到

A'pFN

——=——，求出£7V=LO5,从而可得MN.

CDDN

【详解】解：如图，过点4作AD,

在矩形43CQ中，48=6,BC=8,

・••ACAAB'BC?=10,

由旋转可知：B'C=BC=8,4B=AB'=6,NB=NAB'C=90。=N4'B'4,

,

・•・AB'=AC-BC=2t

•••NAMB'=/ADC=90°,/B'AM=ACAD,

••・AAMB's^ACD,

AMAB'B'M,AM2B'M

/•------=------=-------,：i|nJi-------=—=-------,

ACADCD1086

解得：AM=2.5,*A/=1.5,

・•・AM=A'B'-B'M=6-1.5=4.5,

•・•/AB'M=/AEM=90°,/AMB'=NAME,

・•・/\AMB'S/\A'ME,

.AM_ABf_B'M2.5_2_1.5

t''7M~~AE~~EM，'45-J7£-£：A7，

解得：HE=3.6,EM=2.7,

・•.DE=AD-AE=AD-（AM+EM）=2.S,

设,EN=x,则。N=2.8—x,

•・•ACDN=AA'EN=90°,4CND=/ANE,

・•・△HENs△SV,

.A'EENg3.6x

..----=----,即—=-------♦

CDDN62.8-x

解得：x=1.05,BPEAT=1.05,

:,MN=EM+EN=2.7+1.05=3.75,

故答案为：3.75.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解

题的关键是添加辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.在平面直角坐标系xOy中，点4（1，加）、8（3，〃）在抛物线歹=公：2+以上.

（1）如果〃7=〃，那么抛物线的对称轴为直线；

（2）如果点4、4在直线y=x-l上，求抛物线的表达式和顶点坐标.

【答案】（1）x=2

【解析】

【分析】（1）根据抛物线关于其对称轴对称即可解答：

（2）由直线解析式可求出力（1,0）、5（3,2）,进而可利用待定系数法求出抛物线的表达式,

再改为顶点式，即得出其顶点坐标.

【小问1详解】

,/m=n,

・••点力和点8的纵坐标相等，

乙+4_1+3

・•・抛物线的对称轴为直线x==2.

22

故答案为：x=2；

【小问2详解】

•・•点力、6在直线y=x-l上，

=1—1=0»〃=3—1=2,

・・.力(1,0)、8(3,2).

•・•点4和点8在抛物线y=ax2+bx上，

1

a——

O=a+b3

rc兀，解得:

2=9a+3b］，

)=——

3

・•・抛物线的表达式为y=一；工.

..121Ifif1

•y=—x——x=—x——----，

332)12

fl1A

・•・顶点坐标为［5,一日.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出抛物线的表达式，将二次

函数一般式改为顶点式，一次函数的性质.熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.

20.如图，已知V48C中，点。、石分别在边力8和力。上，DE//BC,且。石经过

V49C的重心G.

(1)设比=Z，DE=(用向量1表示)

(2)如果N4CO=N8,AB=9,求边4C的长.

【答案】(1)4力

3

(2)AC=3瓜

【解析】

【分析】连接力G并延长交8c于点后由AADGs^ABF,AADE〜A4BC可得

半=段，由重心的性质可得々gM"!，进而可求出砺=?£；

/尸BCAF33

(2)利用(1)求出力。的长，再根据△力COSZX/AC即可求出ZC的长.

【小问1详解】

连接力G并延长交4c于点?

•・,DE//BC,

:,/\ADGs/\ABF,4ADE〜4ABC,

ADAGADDE

9

AB-AFAB~BC

ADAGDE

AB一~AF-"BC,

VG是7ABe的重心，

AG2

A——=-，

AF3

*ADDE2

••拓一拓-3'

,:前=6,

诙=4.

3

故答案为：一〃.

3

A

A

//\【小问2详解】

/1——\\E

/9\

///t1\\

BFC

V—=2,AB=9,

AB3

AD-6.

,:ZACD=/B,Z.CAD-=ZBAC,

，丛ACDs丛ABC,

.ACAD

••布一就‘

AC6

:.一=一,

9AC

・・・/C=3向

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运

算，综合运用各知识点是解答本题的关键.

21.如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测

点，道路的44段为监测区.在V4BP中，已知NZ=45。，Z2?=3O°,车辆通过力B段

的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：V3=1,732）

【答案】车辆通过力3段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速.

【解析】

【分析】过点乍尸。于点。，由题意可得力。二尸。=50米.再根据正切的定义可

求出AQ=_丝_=5075a86.6米，进而可求山/8=力。+夕0=136.6米.最后由限定

tanZ.B

速度求出限定时间即可.

【详解】如图，过点尸作尸。上月8于点。，

•・•点/距离道路50米,

・・・。。=50米.

•・•ZJ=45。，

.,"0=。0=50米.

'：NB=30°,

BO=仁=‘°=平=506>86.6

tanzLBtan30°V3米，

T

/.AB=AQ+BQ=50+86.6=136.6米.

60千米/小时=史米/秒，

3

136.6+四工8.2秒.

3

答：车辆通过力笈段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用.正确作出埔助线构造直角三角形是解题关

键.

22.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格

点.如图，已知在5x5的网格图形中，VZ8C的顶点4B、C都在格点上.请按要求完

成卜.列问题：

（2）请仅用无刻度的直尺在线段相上求作一点尸，使（不要求写作

法，但保留作图痕迹，写出结论）

4

【答案】（1）4,-

（2）作图见解析

【解析】

【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出国加°：过点力作于

点。.根据勾股定理可求出==后.再根据二角形面积公式可求出力。=生叵

5

最后由正弦的定义求解即可;

（2）如图，取格点M和M连接"N交48于点P,连接4M、BN,AMPBNt即

APAM\

可证V4MQsVMVP,得出一=^=-.再根据△/CP和V5CP同高，即得出

BPBN4

SvACP：SvBCP=；,进而得出即说明点尸即为所作.

【小问1详解】

S7ABe=3x3--x3xl--!-x3xl--x2x2

33

=9-------2

22

二4；

如图，过点力作N013c于点

由图可知48=8C=J『+32=

SyVZAfOBVC=2—AD-BC=4,

./4)xViU=4

2

・m4加

••AD=------,

5

4/0

,•//O54,

sin/.ABC==―^=-=—

ABM5

4

故答案为：4,-；

【小问2详解】

如图，点尸即为所作.

【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等

知识.利用数形结合的思想是解题关键.

23.已知：如图，在VX8C中，点。、E、尸分别在边ZC、BD、8c上，

AB2=ADAC>ABAE=Z.CAF.

D

E

BFC

(1)求证：YABEsYACF；

(2)连接E/L如果BF=CF,求证：EF〃AC.

【答案】(I)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

AD4r

【分析】(1)由题意得一=—，再根据即证明△BZ/OSACB,

ADAB

得出N48O=N4C8,从而乂可证明V/18£SV4W；

(2)连接£71由题意易得出N4力/=NONE,由△氏1QS2XC48得出

DEAE

ZADE=AABF,即可证明V4O£sV48E,得出力二二二.再根据•

BFAF

RFAFDFRF

YABEsYACF,得出——=—,从而推出冬=生，进而得出=最后由

CFAFBFCF

三角形中位线定理即可证明EF〃AC.

【小问1详解】

证明：•・•432=40./c,

ABAC

~AD~^4B

又•：/BAD=NC4B,

••.△BADs^CAB,

：./ARD=/ACR.

•••/BAE=ZCAF,

：.VABEs'ACF.

【小问2详解】

如图，连接石尸.

vABAE=ACAF,

："BAE+/LEAF=ZCAF+NEAF,即NBAF=ZDAE.

•:ABADSLCAB,

•••ZLADB=/ABC,即ZADE=/ABF,

NADESYABF,

DE_AE

•:VABEWACF,

BE_AE

二,

CFAF

DE_BE

•:BF=CF,

•，•DE-BE♦

・•・由三角形中位线定理得出：EF/7AC.

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理.熟练掌握三角形相似的

判定定理及其性质是解题关键.

3

24.已知在平面直角坐标系xQv中，抛物线），=—与x轴交于点/（-4Q）和

（2）点尸是直线4C上方抛物线上一点，过点尸作尸G_Lx轴，垂足为点G,尸G与直线

AC交于点H.如果产〃二4〃，求点尸的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，连接力尸，试问点8关于直线CQ对称的点E是否恰好落

在直线力〃上？请说明埋由.

19

【答案】（1）^=一二一一3

44

(3)点B关于直线CD对称的点上恰好落在直线力。上，理由见解析

【解析】

【分析】(1)直接利用待定系数法即可求解；

(2)根据题意可求出直线的解析式为j，=：x+3.设点尸的坐标为

Z，T2T+3)(—4<f<0),则〃/,1/+3^(-4</<0),进而可求出

2

PH=yP-y„=-1/-3r,4"=血f丫+(”一切)?=：(/+4).最后由

PH=AH,可列出关于，的等式，解出,的值，再舍去不合题意的值，即可求出P点坐

标；

(3)连接4七，与直线C。交于点E根据题意可得出。点和8点坐标，进而可求出直线

直线C。的解析式为y=2x+3,直线力。的解析式为『=2x+8.设点E的坐标为

(〃，q),由轴对称的性质可得出产(勺I]).再根据点厂在直线CD上，即可求出

q=2p+8,即得出E(p,2p+8),最后即可确定点E是否恰好落在直线/尸上.

【小问1详解】

解：•・•抛物线^=一^/+云+。与、轴交于点4(一4，°)，与y轴交于点。(°，3),

3、

.0=--X(-4)24-Z?X(-4)+C

••‘4，

3=c

解得：\4,

c=3

3Q

・•・抛物线的表达式为y=--x2--x+3；

44

【小问2详解】

如图，

设直线AC的解析式为y=kx+at

0=-4k+ak=>

则3:〃，解得:4,

a=3

直线"的解析式为

V点P是直线AC上方抛物线上一点,

(39<Z<0),则”(1,?+3)(一4

•・・设点尸的坐标为"/一7+<r<0),

/393、33

：,PH=y-y=一一/2--/+3——1+3=Z2-3/,

〃p“HI44)U)4

AH=

PH=AH,

3S

A--r2-3/=-(r+4),

44、

解得：/)=-4，q=•

-3

*/-4<Z<0,

5

••/=-----9

3

.3(5f9(14

4I3j4I3j3

【小问3详解】

解；点£恰好落在直线乂八上，理由如下:

如图，连接4E，与直线C。交于点E.

9

-43

根据抛物线解析式可知其对称轴为直线X=----产K=-T

（3\

：.D一,0,8（1,0）.

、2，

设直线CD的解析式为y=k'x+a',

o=—kr=2

则2解得:

a=3

3="

，直线。。的解析式为y=2x+3.

设点E的坐标为（p，q）,

•・•点B关于直线CD对称的点为点E,

・・・尸（巴

（22）

丁点尸在直线上，

.i=2x£!!+3,

22

q=2p+8,

/.4p,2p+8）.

设直线AP的解析式为y=k"x+a〃,

0=-4fr=2

则145,„“，解得：-父，

—=—k+aa=<s

I33

・•・直线AP的解析式为y=2x+8.

;对于V=2X+8,当工=〃时，歹=2p+8,

・•・点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上.

【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和

性质，•次函数的图象和性质，两点的距离公式等知识，为中考压轴题.正确求出二次函

数解析式是解题关键.

25.己知在正方形/8CQ中，对角线4。=4,点E、/分别在边CQ上，

DE=DF.

备用图

（1）如图，如果NEBF=60。,求线段。E的长

（2）过点E作EG_L8尸，垂足为点G,与8。交于点

EHDH

①求证:

②设8。的中点为点O,如果。"=1,求券的值.

【答案】（1）DE=2瓜-26；

（2）①见解析，②罢=2或需=3.

GF18GF2

【解析】

【分析】（1）如图，连接叱交8。于点易证VBOEgVB。尸（SAS）,得8。垂直平

，分EF,可得DE=&EM，由/目5歹=60。可得BE=2EN,由勾股定理求出

BMfEM，依据HM+Q/=8O=4,求解即可；

（2）①如图1,过点、H作NH〃AD交BE于点、N,延长EG交8c于点M,易证

YBAEWVBCF（SAS）,可得/ABE=/CBF,易证£EBM=/BME得到

DHEN

EM=BE,由NH〃AD,可1正YBHN〜VBDE,YBME7NHE,即——=——

BDBE

EN_EH

，代入即可;

②过F作PF上BF交BD于P,过E作EQLBC交BD于/、交BC于连接IF,易

证VE/H/VFDP,得到EH=FP,由（1）可知BD垂直平分EF,得EH=FH，如

图，当〃在。？上时，BH=1,由①可知，-=—=设£"=3x,则

BEBD4

mr\77",

BE=BF=4x,EH=FH=3x,可得tan/"8G=——=——=一,设

BGBF4

HG=3m,BG=4m,由HG?+BG?=，解得机=：,在RtZV/G/7中，

J

HG2+GF2=HF2»解得x=2，从而可求得器二K；如图，当〃在。。上时，

BH=3,由①可知，^~=^~=上,设£77=y，则8E=,

BEBD4

EH=FH=y,tan/.HBG=,设,HG=n,BG=4n,由

BGBF4

HG2+BG?=BH?，解得/1=独不，在Rtz^HG9中，HG2+GF2=HF2，解得

17/?BG15

y=，代入可得

TTGFT

【小问i详解】

解：如图，连接E尸交BD于点M.

由题意可知ZBDC=ABDA=45°,

，在ABDE和VB。尸中,

DE=DF

<4BDA=4BDC,

BD=BD

・•.VBQE丝V8。/(SAS),

:・/