高等数学（下册）

第6章

微分方程本章内容

1微分方程的基本概念

2一阶微分方程

3可降阶的二阶微分方程第一节微分方程的基本概念一、引例例1如果一曲线上任意一点P

处的切线斜率等于，且该曲线通过点，求该曲线的方程。解（1）设所求曲线为，由导数的几何意义可得又因为还满足下列条件（2）所以对（1）式两边积分，得其中，C为任意常数。（3）把条件（2）代入（3）式，得。于是所求方程为

可以看出，解决此问题的方法为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过此方程求出满足所给附加条件的未知函数。（4）二、微分方程的基本概念1．微分方程的定义含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。例如，等都是微分方程。必须指出，在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但是未知函数的导数必须出现。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。本章仅讨论常微分方程，为方便起见，简称为微分方程或方程。2．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。例如，是一阶微分方程；而是二阶微分方程。3．微分方程的解在例1中将（1）式中的未知函数y用已知函数代替，则（1）式成为恒等式，把称为微分方程（1）的解。满足微分方程的函数称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且个数与方程的阶数相同，则这个解称为微分方程的通解。例如，函数

是方程的通解。通解中的任意常数，根据某些条件确定下来后，对应的解称为该微分方程的一个特解。用于确定通解中任意常数的条件称为微分方程的初始条件。例如，例1中是方程满足初始条件的特解。解例2验证函数（C1，C2为任意常数）是方程

的通解，并求满足初始条件的特解。对函数求导得将y和代入原方程，得所以，是方程的解。又因为解中含有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是方程的通解。将初始条件代入和

可得于是，因此方程满足初始条件的特解为第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程可化为:的形式，也就是说，微分方程可化成一端只含y的函数和dy

的乘积，而另一端只含x

的函数和dx的乘积，则该方程称为可分离变量的微分方程。其解法步骤如下：（1）分离变量：；（2）两边求不定积分：，得通解。其中，分别为的一个原函数。解例1求微分方程的通解。将分离变量得两边积分得即从而因为为任意常数，把它记作C，所以方程的通解为解分离变量得两边积分得或原方程可化为。例2求方程的通解。令，于是有形如二、齐次方程的微分方程称为齐次型微分方程。它的解法是变量替换法。即作变换，则，代入上式，得该方程是可分离变量的方程，分离变量后得到求出上式通解后，将u换成，即可得所求的通解。解例3求微分方程的通解。即分离变量得

两边积分得令，则，于是所以将回代，得原方程的通解为形如当时，方程变为称为一阶齐次线性微分方程。三、一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程，其中

为已知连续函数。当时，对应的微分方程称为一阶非齐次线性微分方程。1．一阶齐次线性微分方程的解两边积分于是一阶齐次线性微分方程的通解为方程是可分离变量的方程，分离变量得2．一阶非齐次线性微分方程的解求一阶非齐次线性微分方程的通解，可采用“常数变易法”，设是非齐次线性方程的解，于是代入得两边积分得于是可得

这就是一阶非齐次线性微分方程的通解。解所以微分方程的通解为因为例4求方程的通解。解例5求解初值问题：。由题意可知，，根据公式可得方程的通解为所以，所求的特解为将初始条件，得。第三节可降阶的二阶微分方程例1求的通解。一、型微分方程解

积分一次得再积分一次得所给方程的通解为对于形式为的微分方程，也可用这种方法求解。的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程。二、二阶常系数线性齐次微分方程形如已经知道指数函数的导数仍是同类型的指数函数，因而设想方程有形如的解（r为待定的常数）。将，代入方程，整理得由于，则必有（1）由此可知，当r是一元二次方程（1）的根时，就是方程的一个解。由于特征方程（1）是一元二次方程，它的根为，所以特征根r1,2有3种不同的情况，方程的通解也有3种不同的形式。我们称方程（1）是微分方程的特征方程，它的根r1，r2称为微分方程的特征根。（1）特征方程有两个不相等的实数根r1，r2

时，二阶常系数线性齐次微分方程的通解为（2）特征方程有两个相等的实数根时，二阶常系数线性齐次微分方程的通解为（3）特征方程有一对共轭虚根

时，二阶常系数线性齐次微分方程的通解为解解出特征根为该方程的特征方程为例2求方程的通解。因为，故所求方程的通解为解例3求方程的通解。所给方程的特征方程为，特征根为。因，故所给微分方程的通解是解例4求微分方程满足初始条件

的一个特解。因为所给方程的特征方程为，特征根为，所以，该微分方程的通解为将代入得；对上式求导有所以原微分方程的特解为将代入得。ThankYou!第7章

级数本章内容

1数项级数

2数项级数的审敛法

3函数项级数与幂级数

4函数展开成幂级数第一节数项级数一、数项级数的基本概念例1某公司准备将10万元资金划入某职业学院，作为学院的奖励基金。在保证资金一年内基本到位的情况下，采用如下形式划款：该公司第一个月支付总额的给学院，即万元；第二个月再支付余额的给学院，第三个月再支付余额的给学院，以后如此支付。那么第n个月学院已收到的资金数为：如果n

无限大，在上式两边取极限有定义1给定一个数列则和式称为无穷级数，简称级数，记作，即其中，称为级数的一般项或通项。各项都是常数的级数，称为常数项级数。例如，为常数项级数。无穷级数前n

项的和称为级数前

n项的部分和，记为Sn

，即定义2如果级数的部分和数列有极限S，即，则称级数收敛，S称为该级数的和，记为如果数列没有极限，则称级数发散。当级数收敛时，其和与部分和的差，即，称为级数的余项，记为rn

，则解例2讨论级数的敛散性。级数一般项，所以级数的部分和为于是所以这个级数收敛，其和为1。解例3讨论级数的敛散性。级数的部分和为于是所以该级数发散。解例4讨论公比为q的几何级数的敛散性。级数的部分和为下面分情况讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当

时，部分和为，Sn

的极限不存在；综上所述，当时，几何级数收敛，且其和为；当

时，几何级数发散。解例5讨论调和级数的敛散性。一般地，对任意正整数k，有由于k可以任意大，所以数列无界，从而部分和数列也无界，因此调和级数是发散的。定理1对于p-级数，当时收敛；当时发散。注意：当时，p-级数即为调和级数。例6判别下列级数的敛散性：（1）；（2）。解（1）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。（2）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。二、级数的基本性质性质1设级数与都收敛，分别收敛于S与

σ，则（1）级数收敛，其和为；（2）收敛，其和为kS

(k为常数)。性质2增加、去掉或改变级数的有限项，不改变该级数的敛散性。例7判别下列级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。性质3（级数收敛的必要条件）

若级数收敛，则它的一般项趋于零，即。证明因为级数收敛，则有。由于，所以注意：性质3说明，如果级数收敛，则它的一般项趋于零。反之不成立，如调和级数，其一般项，但此级数发散．而如果级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散。例8判别下列级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。第二节数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数是指级数的每一项都是非负常数，即。对于正项级数，敛散性有如下比较审敛法。定理1（比较审敛法）设有正项级数和，且，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛；（2）如果级数发散，则级数也发散。例1判别下列级数的敛散性：解（2）因为，而几何级数是收敛的，由比较审敛法可知，级数收敛。（1）因为，而级数是发散的，由比较审敛法可知，级数发散。（1）；（2）；（3）

。（3）因为，而p-级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛。在应用比较审敛法时，需要先找一个已知敛散性的级数作为比较对象，通常选用p-级数和等比级数．但在不少情况下，找比较对象的级数是比较困难的。下面介绍应用较为方便的比值审敛法。定理2（比值审敛法）设有正项级数，如果，则（1）当时，级数收敛；（2）当或时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。例2判别下列级数的敛散性：解（2）因为，所以由比值审敛法知，级数发散。（1）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。（1）；（2）；（3）。（3）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。二、交错级数审敛法形如的级数称为交错级数。定理3（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下列条件：（1）；（2），则级数收敛，且其和。例2判别下列级数的敛散性：解（2）该级数也为交错级数。因为，所以该级数发散。（1）该级数为交错级数。因为，且

，所以该级数收敛。（1）；（2）；三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛

如果数项级数的项可正可负，则称为任意项级数。对于任意项级数，有绝对收敛与条件收敛。定理4设为任意项级数，如果级数收敛，则级数

收敛。证明令，则级数为正项级数。由于，且级数收敛，因而也收敛。又因为，与都收敛，所以，根据级数的基本性质知级数也收敛。这个定理的逆命题是不成立的，即如果级数收敛，级数

不一定收敛。（1）如果级数收敛，则称级数为绝对收敛；（2）如果级数发散，而级数收敛，则称级数为条件收敛。对任意项级数，有：解例4判定级数的敛散性。因为，而等比级数收敛，由比较审敛法知，级数收敛，因此级数为绝对收敛。解例5判定级数是否收敛，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。级数是交错级数，根据莱布尼茨判别法，因为，且，故级数收敛。而此级数加绝对值后的级数为的p-级数，是发散的，因此，该级数为条件收敛。第三节函数项级数与幂级数一、函数项级数的概念定义1设是定义在区间I上的函数，级数称为区间I上的函数项级数。对于区间I内确定的点x0，即是数项级数。若收敛，那么x0

就称为级数的收敛点。级数收敛点的全体称为它的收敛域。如果发散，则称x0

为级数的发散点。在收敛域内，级数的每一点都有一个确定的和，称为

的和函数，即。把函数项级数的前

n项部分和记为，在其收敛域上显然有形如二、幂级数及其收敛区间的求法的级数称为幂级数。其中都是常数，称为幂级数的系数。特别地，当时，上述级数成为

形式的幂级数，记为。定义2关于幂级数的收敛性问题，有如下的定理：定理1（阿贝尔定理）

如果幂级数当时收敛，那么所有满足的点x

使此幂级数绝对收敛；反之，如果级数当时发散，那么所有满足

的点

x使此幂级数发散。定理1表明了幂级数收敛点集的结构情况。如果幂级数

在数轴上点处收敛，那么对于区间内的所有x，

都收敛；如果幂级数在处发散，那么对于区间

内的所有x，都发散。因此存在非负数R，使得幂级数在内的任何点上均收敛；在

内的任何点上均发散；在处，幂级数可能收敛，也可能发散。如果幂级数仅在处收敛，则收敛半径；如果它在整个数轴上收敛，则此时的收敛半径。上述非负数R称为幂级数的收敛半径，开区间

称为收敛区间（收敛域）。由幂级数在处的敛散性，就可确定其收敛域为或或或。定理2

如果设幂级数满足，则此幂级数的收敛半径为（1）如果，则；（2）如果，则；（3）如果，则。例1判别下列级数的收敛半径：解（1）因为（1）；（2）；（3）。所以收敛半径。（2）因为所以收敛半径。（3）因为所以收敛半径，即该幂级数仅在处收敛。解例2求幂级数的收敛区间。因为，所以收敛半径，从而收敛区间为。三、幂级数的运算性质1设有两个幂级数和，它们的收敛半径分别为R1

和R2，和函数分别为和。若，则在内有收敛区间为。性质2设幂级数的收敛半径为R，且在收敛区间内的和函数为，则（1）在内连续；（2）在内可导，即（3）在内可积，即

经逐项求导数或逐项求积分后得到的幂级数与原来的幂级数收敛区间相同，但在收敛区间的端点处，幂级数的敛散性可能会改变，即幂级数的收敛域可能会改变。由性质2（2），得例如，幂级数，在内有

。对其两端求导，得幂级数的收敛半径仍然为，通过计算可知其收敛域仍然为。由性质2（3），得幂级数的收敛半径仍然为，通过计算可知其收敛域仍然为。对幂级数式两端积分，得解例3求幂级数在收敛区间内的和函数。上式两端积分，得因为，所以该幂级数的收敛区间为由性质2（3），得设所求的和函数为，即即对上式两端求导，得第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数当时，上式变为定义1若函数在的某一领域内有任意阶导数，则称为函数在处的泰勒级数。为函数的马克劳林级数。二、将函数展开成幂级数1．直接展开法第一，求出的各阶导数，如果在处某阶导数不存在，就停止进行。第二，求出函数各阶导数在处的值，

。第三，写出幂级数并求出它的收敛半径R。第四，讨论在收敛区间内余项的极限是否为零。如果为零，则函数在内的幂级数展开式为解例1将展开成x

的幂级数。取。因为，所以。

ex的马克劳林级数为，该级数的收敛域为。余项的绝对值为为有限值，而是收敛级数的一般项，故

，所以当时，有，于是ex可以展开成马克劳林级数，即还可以得到下列函数的幂级数展开式：（1）；（2）

，其中m为任意实数。解例2将展开成x

的幂级数。因为，所以将其对x

求导，得2．间接展开法解例3将展开成x

的幂级数。

因为，所以上式两边从0到x

逐项积分，得上式对也成立，这是因为上式右端的幂级数当时收敛，而且在处有定义且连续。解因为，所以由，得，则上述幂级数的收敛域为。例4将展开成

的幂级数。现将几个重要函数的幂级数展开式列在下面，请牢牢记住它们：ThankYou!第8章行列式与矩阵初步本章内容

1行列式

2矩阵的概念

3矩阵的运算

4逆矩阵与初等变换

5一般线性方程组的求解第一节

行列式一、行列式的概念1．二阶行列式例1设二元一次线性方程组为其中，为未知量，为未知量系数，

为常数项。上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得的。其中分母是由方程组的四个系数确定的。当时，方程组的解为定义1将由4个数排列成2行2列（横排为行，竖排为列）并左右两边各加一条竖线的算式称为二阶行列式，用D表示。其中，称为二阶行列式的元素，简称元；元素aij

的第一个下标

i

称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j

列；上式的右端称为二阶行列式的展开式。在行列式中，从左上角元素到右下角元素的这条直线称为主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条直线称为次对角线。二阶行列式的展开式可用对角线法则来记忆，即等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积，如图8-1所示。图8-1在例1中，若记，则称D为二元线性方程组的系数行列式，把系数行列式第j

列元素用方程组右端的常数项代替后得到二阶行列式，即有当时，例1方程组的唯一解可表示为解例2求解二元线性方程组。由于因此，。2．三阶行列式定义2与二阶行列式类似，可以定义三阶行列式为（1）三阶行列式的值也遵循对角线法则（又称沙路法），如图8-2所示，即将主对角线方向的元素之积定为正，次对角线方向的元素之积定为负，把这些元素之积相加就是三阶行列式的值。需要注意的是，对角线法则仅适用于二、三阶行列式的计算。图8-2

我们注意到，一个三阶行列式是它的第一行各元素分别与3个二阶行列式乘积的代数和。因此我们也称式（1）右端为三阶行列式按第一行展开的展开式．事实上，三阶行列式还可以按第二行和第三行展开，即3．n阶行列式定义3将个数排列成n

行n

列，并在左右两边各加一竖线的算式

称为n阶行列式，它表示一个由确定的运算关系所得到的代数式，即其中，数aij

称为第i行第j列的元素；称为aij

的代数余子式。其中Mij

为从D中划去第i行第j列（即划去所在的行和列）所有元素后，剩余元素按原来顺序构成的阶行列式，称为aij

的余子式。4．特殊行列式（1）对角行列式定义4形如的行列式称为n

阶对角行列式，其中不全为0。由行列式按行展开的方法容易证明：（2）上三角和下三角行列式定义5主对角线以下的元素都为0的行列式称为上三角行列式，即主对角线以上的元素都为0的行列式称为下三角行列式，即

由行列式按行展开的方法容易证明，上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即二、行列式的性质将行列式D的行、列互换后，所得到的行列式记作DT，称为D的转置行列式，即若则性质2互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。性质1行列式与其转置行列式的值相等，即。推论2如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值等于0。推论2n阶行列式某一行各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0，即性质4互换行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于用数k乘以此行列式，即性质3如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则此行列式的值为0。推论3行列式某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论4行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为0。性质6将行列式某一行（列）的各个元素都乘以同一常数k后，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。性质5若行列式某一行（列）的所有元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同，即解例3计算。利用行列式的性质把它化为上三角行列式，再求值。解例4计算。三、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组的系数行列式D

不等于0，即那么，它有唯一解，且其解为其中，是把系数行列式D

中第

j列的元素用方程组右端的常数列代替后得的n

阶行列式，即解例5解线性方程组。（1）计算系数行列式（2）计算。（3）写出线性方程组的唯一解。（4）检验。四、运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解形如的线性方程组称为齐次线性方程组。

显然，所有未知数取值皆为0是它的一个解，这个解称为零解。此外，若未知数不全为0的取值也是它的解，则称这样的解为非零解。定理2当齐次线性方程组的系数行列式时，它一定有唯一的零解。定理3齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式。解例6解判定齐次线性方程组是否仅有零解？因为所以方程组仅有零解。解例7问λ

取何值时，齐次线性方程组有非零解？由定理3可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数列式，而由，得，或。不难验证，当或8时，齐次线性方程组确有非零解。第二节矩阵的概念一、矩阵的定义例1企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表8-1所示。表8-1表8-1中的数据可以简化为下列数表例2线性方程组它的系数按照原来的次序可排成系数表它的常数项也可排成一个数表定义1由个数排成的m行n列数表称为m行n列矩阵，简称矩阵，通常用大写字母A，B，C表示。上述矩阵可以记为A或，有时也记为或。二、特殊矩阵（1）当时，矩阵A称为n

阶方阵。（2）当时，矩阵A称为行矩阵，此时；当时，矩阵A称为列矩阵，此时。（3）当时，称矩阵A为零矩阵，一般记为或O。（4）在阶方阵中，主对角线左下方的元素全为0的方阵称为上三角矩阵，如主对角线右上方的元素全为0的方阵称为下三角矩阵，如（5）如果一个方阵主对角线上的元素不全为0，主对角线以外的元素全为0，则这个方阵称为对角矩阵，即（6）如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们是同型矩阵。（7）如果矩阵和矩阵为同型矩阵，并且对应元素相等，即，那么称矩阵A和矩阵B相等，记为。（8）如果n

阶方阵满足：主对角线上的元素都等于1，其余元素全为零，那么该方阵称为n

阶单位矩阵，记为或E，即第三节矩阵的运算一、矩阵的加减法只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。设与是同型矩阵，则称为矩阵A与B的和，记作。定义1矩阵的加法运算满足下列运算规律（设都是型矩阵）：（1）交换律：；（2）结合律：。由此规定矩阵的减法运算为设矩阵，记，称为矩阵A

的负矩阵，显然有例1设，求。解2．数与矩阵相乘（数乘矩阵）定义2以数λ

乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数λ

与矩阵A的数乘矩阵，记作λA或Aλ，即数乘矩阵满足下列运算规律（设A，B

为同型矩阵，λ，μ

是常数）：（1）结合律：；（2）分配律：；（3）分配律：。例2解

故设，计算。例3解

解方程组，得已知，求x，y的值。由已知条件，得所以上式整理可得3．矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法）定义4例如，要计算c23这个元素，就要用A的第2行元素分别乘以B的第3列对应元素，然后相加。设，若则称矩阵C是矩阵A与矩阵B的乘积，记作。例4解求矩阵与，计算。例5设A是个行矩阵，B是个列矩阵，且，求。解例6若，求。解例7设，求。解显然。以上各例题说明：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，也就是说，一般地，若AB有意义，BA不一定有意义，即使BA有意义，也不一定有AB=BA。（2）从例3可以看出，矩阵，矩阵，但是，即两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵，这也是矩阵乘法与数的乘法不同的地方。由此说明，若，一般不能推出A=O或B=O

。（3）从例4可以看出，一般不能由AC=BC

推出A=B。这也是矩阵乘法和数的乘法的不同之处。由此说明矩阵的乘法不满足消去律。矩阵的乘法满足如下运算规律：（1）结合律：

（其中λ

为常数）；（2）分配律：。4．方阵的幂定义4

设A是n

阶方阵，k是正整数，则规定称Ak

为方阵A的k

次幂，并规定，n

阶方阵的零次幂为单位矩阵E，即A0=E。显然，E0=E。由于矩阵乘法适用结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：（其中k，l

是正整数）。又因矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地5．矩阵的转置把矩阵A的行与同序号的列互换所得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。定义5显然，ET=E。例如，矩阵的转置矩阵为。矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）；（4）。例8已知，计算。解法1因为所以解法26．方阵的行列式定义6

方阵的行列式满足下列运算规律（设A，B为n

阶方阵，λ为常数）：（1）；（2）；（3）。由

n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或，显然，。由（3）可知，对于n阶方阵A，B

，一般来说，但是总有例9设，计算。解因为，所以。一般地，。1．逆矩阵这种运算在实数中称为除法。矩阵没有除法运算，但有类似的运算。设a为实数，当时，a的倒数存在，记作，且有定义1对于阶方阵A，E

，如果存在n

阶方阵B，使，则称A是可逆矩阵（简称A可逆），B称为A的逆矩阵（简称A的逆），记作，即。第四节逆矩阵与初等变换例1设，验证B是否为A的逆矩阵。解因为即有故B是A的逆矩阵。2．逆矩阵的性质由定义可直接证明逆矩阵具有下列性质：性质1若A可逆，则是唯一的。性质2若A可逆，则也可逆，并且。性质3若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB

也可逆，且。性质4若A可逆，则AT也可逆，并且。性质5若A可逆，k

是不为0的实数，则kA也可逆，且。3．逆矩阵的求法定理1

如果方阵A是可逆的，则。定义2

设有n

阶方阵，则以A的行列式中元素aij

的代数余子式Aij

为元素所构成的n

阶方阵称为A的伴随矩阵，记作。定理2

若A为n

阶方阵，且，则A可逆，并且。设A为阶方阵，若，则称A为非奇异方阵；若，则称A为奇异方阵。定理1和定理2不仅给出了如何判断一个方阵是否可逆，同时给出了一种求逆矩阵的方法—伴随矩阵法。定义3由上面两个定理知：A是可逆方阵的充要条件是，即可逆方阵为非奇异方阵。例2解求方阵的伴随矩阵。所以例3解因为，所以A可逆，各元素的代数余子式为设，问A是否可逆，若可逆，求。故定理3即所以设A，B

为同阶方阵，若（或），则A与B均可逆，并且，。我们知道，若A可逆，则存在，用同时左乘上式的左边和右边，得例4解因，故由例2易知即设，求矩阵X，使之满足。因，故B可逆，且于是例5解记用逆矩阵求线性方程组的解。则此线性方程组可写为矩阵方程。由于，且通过计算可知，故可得从而即线性方程组的解为二、矩阵的初等变换用消元法解线性方程组时，经常用到以下三种变换：（1）将两个方程位置互换；（2）将一个方程两边同乘以一个非零常数；（3）将一个方程两边乘以一个常数加到另一个方程上。定义4下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调i，j

两行，记作）；（2）以非零常数乘以某一行中的所有元素（第i行乘k，记作ki）；（3）把某一行所有元素的同一常数倍加到另一行的对应元素上（第i行的k倍加到第j行上，记作）。若矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则可表示为。把上述定义中的“行”换成“列”（在所有记号中把“r”换成“c”），即得矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。例6解利用初等变换，将矩阵化成单位矩阵。2．用矩阵的初等变换求逆矩阵引理1任意可逆方阵均可以经过有限次初等变换化为一个单位矩阵。在方阵A的右边同时写出与它同阶的单位矩阵E，构成一个矩阵然后对进行初等变换，当左边的子块化成单位矩阵E时，右边的子块即为，即例7解求矩阵的逆矩阵。所以第五节一般线性方程组的求解一、线性方程组的矩阵形式考虑线性方程组的一般形式（1）其中，系数，常数项

都是已知数，是未知数（也称元）。当不全为0时，称方程组（1）为非齐次线性方程组；当全为0时，即（2）称线性方程组（2）为（1）所对应的齐次线性方程组。线性方程组（1）的矩阵表达式为其中A称为系数矩阵，X称为未知数矩阵，B称为常数矩阵。齐次线性方程组（2）可以看作时的非齐次线性方程组（1）的特例。下面仅介绍非齐次线性方程组（1）的解法。矩阵称为线性方程组（1）的增广矩阵，记为。显然，线性方程组（1）完全由它的增广矩阵决定。事实上，线性方程组的本质就是回答以下三个问题：（1）方程组（1）是否有解？（2）若方程组（1）有解，则解是否唯一？（3）若方程组（1）有解且不唯一，则如何表示所有解？下面通过例题介绍高斯消元法并分别回答这三个问题。二、高斯消元法定义1满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵：（1）各个非零行（元素不全为0的行）的第一个非零元素（称为首非零元素）的列标随着行标的递增而严格增大；（2）所有零行（元素全为0的行）都在矩阵的最下方（如果有的话）。定义2满足下列条件的阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵：（1）所有首非零元素均为1；（2）所有首非零元素所在列的其他元素均为0。定义3对于线性方程组（1），若增广矩阵经过初等变换化为行最简阶梯形矩阵，则称的非零行首非零元素1所在列的未知数为基本未知数，不妨设其个数为

r

个，其余个（若存在）未知数称为自由未知数。其中n

为线性方程组所含未知数的总个数。例1解解非齐次线性方程组。（1）写出线性方程组的增广矩阵：（2）对增广矩阵实行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵：（3）写出所对应的方程组：（4）根据第三步所得同解方程组的结构得出原方程组有解或无解的结论。显然，满足第三个方程的不存在，故原方程组无解。例2解用高斯消元法解线性方程组。（1）写出线性方程组的增广矩阵：（3）（2）对增广矩阵实行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，并判断原方程组是否有解，若无解，则停止。若有解，则进一步将化成行最简阶梯形矩阵，写出基