2025年高考数学培优复习：直线与圆（学生版）

专题07直线与圆

2024年真题研析

一、多选题

1.(2024新高考n卷・10)抛物线C：y2=4x的准线为/,。为C上的动点，过。作

。4:/+()，-4)2=1的一条切线，。为切点，过户作/的垂线，垂足为3,贝I」()

A.I与。4相切

B.当尸，A,8三点共线时，|尸。|=店

C.当|P8|=2时，PA±AB

D.满足1。川=依|的点P有且仅有2个

近年真题精选

一、单选题

1.(2023新高考I卷-6)过点(0,-2)与圆/+)，2-以-1=0相切的两条直线的夹角为。，则

sina=()

A.IB.巫C.®D.显

444

2.(2022新高考H卷・3)图I是中国古代建筑中的举架结构，44’,8瓦。。',。。’是桁，相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

OACG，网,AA是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

崇二°5»2=占，崇=自，黄二%•已知心内，收成公差为0」的等差数列，且直线。4

5人"JCojo/ij

的斜率为0.725,则自二＜〉

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

二、填空题

3.（2022新高考I卷・14）写出与圆d+>2=]和（X—3）2+（）,_4）2=]6都相切的一条直线的

方程.

4.（2022新高考II卷•15）设点4-2,3）,8（0,〃），若直线28关于丁=。对称的直线与圆

（X+3）2+（），+2-=1有公共点，则a的取值范围是.

5.（2023新高考H卷・15）已知直线，：1-冲+1=0与。C:（x—lf+y2=4交于A,B两点、,

Q

写出满足“小8C面枳为:'的m的一个值.

必备知识速记

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以A•轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称

为直线/的倾斜角，通常用尸，y,…表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围aw[0,乃）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则。的正切值称为直线的斜率，记为A=tana

（1）当a=2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）倾斜角Q与斜率k的关系

当々=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当攵>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随攵的增大而增大:

当％<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随A的增大而增大:

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，A（内，y）,B[X2,y2）则k=之二基

七一内

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若$=9，则直线4?的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。

4、三点共线

两直线4bAe的斜率相等-A、B、C三点共线：反过来，A、B、C三点共线，则直线

A3,AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

二、直线的方程

1、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式西）不含垂直于x轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线

y-)\x-x.

两点式不含直线x=%（N工&）和直线y=y（y工％）

截距式-x+—y=i.不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

AvlByfC=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B2*0)

2、求曲线（或直线）方程的方法

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法

则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间按法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方

程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

3、线段中点坐标公式

若点鸟的坐标分别为（再，y）,（占，为）且线段RA的中点M的坐标为（“，则

X=^+X2

.2,此公式为线段RK的中点坐标公式.

I-2

4、两直线的夹角公式

若直线S=+4与直线y=&M+H的夹角为々则tana=

三、两直线平行与垂直的判定

两条贪线平行与垂宣的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4：A%+5)v+c=o4与-4出=0且

1AA?+g&=0

/,:A,x+I32y+C2=0B,C2-B2C,*0

产二『（斜率存在）

&=%,及丰或

/2:y=k2x+b2b2K・&=-1或4与内中有一个为。，

"（斜率不存在）x=x1,x=x2>x1另一个不存在.

/,:X=x2

四、三种距离

1、两点间的距离

平面卜两点6（芭,凹）,6（与，儿）的距因公式为I4优1=小（怎一±）2+（）1-8）2.

特别地，原点。（0，0）与任一点尸（X,y）的距离|OP|=M+y2.

2、点到直线的距离

点兄（事,为）到直线/:Ar+与+C=0的距离d=坐+'九+（"

yJA2+B1

特别地，若直线为/：x=m,则点兄（天,为）到/的距离d=j〃LXo|；若直线为/：y=n,则点

4（%，%）到1的距离d=|n-%|

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求44间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

IC-CI

(2)设4：AX,+B)，+G=O/2：AK+BV+C=O,则4与4之间的距离d=J2

4

注：两平行直线方程中，工，y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式/(©=&*+*+q土击+3+c2型函数求解，首先想到两点间的距离，或者

利用单调性求解.

五、圆

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：*-4+0-份2=/，圆心坐标为(小队半径为r(r>0)

(2)圆的一般方程：x2+/+Dx+Ey+F=O(D2+£2-4F>0),圆心坐标为

dD'+E'-4尸

卜上3半径”2

(3)圆的直径式方程：若Aa，y),B(x”K),则以线段48为直径的圆的方程是

(%—%)5—々)+()，一乂)(丁一%)=0

2、点与圆的位置关系判断

2

⑴点P(4,.%)与圆(］一与)2+(y—力2=r的位置关系：

®(x-a)2+(y-b)2>/o点尸在圆外；

®(x-a)2+(y-b)2=r2<=>点P在圆上；

③*一。>+(y-b)2</。点P在圆内.

(2)点P(%,)b)与圆V+),2+6+@+/=()的位置关系：

①片+尤+£>.%+五%+户>0=点。在圆外；

②片+4+/注+@。+〃=0。点P在圆匕

③石+y；+D。+E%+"<。<=>点P在圆内•

六、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心（a.b）到直线Ar+Bv+C=O的距离，则d=14r：

VA2+B2

2

dcro直线与圆相交，交于两点忆Q,\PQ\=2>Jr-d;

d=ru>直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

Ax+By+C=0

由（工一〃尸+（y一疗=/'

消元得到一元二次方程px1+“x+，=（），px2+qx+，=0判别式为△，则：

△>0<=>直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切：

△<0。直线与圆相离.

七、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆q.q的半径分别是R0,（不妨设R>r）,且两圆的圆心距为d,贝U：

d<R+ro两圆相交；

d=R+r<=>两圆外切；

/?-r<d<R+ru>两圆相离

d=A-r=两圆内切；

OVdvR-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R”，R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d〉R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【直线与圆常用结论】

一、直线

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P（x，%）关于点Q（%,%）的对称点为

=芭+W

产（毛，％），则根据中点坐标公式，有,02

y+为

）'。=2

可得对称点P'5,片）的坐标为（2天-工］,2y0-y）

2、点关于直线对称

点尸（西，y）关于直线/:Ar+8），+C=0对称的点为。'（七，必），连接PP，交/于M点，

则/垂直平分尸产，所以P〃_U，且M为PP中点，又因为“在直线/上，故可得

号,%=-1

4百十*2”%+%+「_0'解出（占，必）即可•

/I---------------rD------十L/-U

22

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再

由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线小奴+价+c=0,关于直线个公+。+/=0（两直线不平行）的对称直线《

第一步：联立4,4算出交点尸（用，），0）

第二步：在《上任找一点（非交点）Q（N，y），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称

点、Q\X2,必）

第三步：利用两点式写出&方程

5、常见的一些特殊的对称

点（x»y）关于x轴的对称点为（x，—y）»关于y轴的对称点为（-x»y）-

点（x,），）关于直线y=x的对称点为（y,x）,关于直线）的对称点为（-旷，-x）.

点（x,y）关于直线x=a的对称点为（2a-x,y），关于直线y=Z?的对称点为（x,2b-j）.

点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a—x»2b-y）.

点（x,＞）关于直线x+y=4的对称点为（我-y,k-x）＞关于直线x-y-&的对称点为

(&+y,x-k).

6、过定点直线系

过已知点PC7,为）的直线系方程y-%=/*-/）（k为参数）•

7、斜率为定值直线系

斜率为k的直线系方程y=kx+b（b是参数）.

8、平行直线系

与已知直线Ar+By+C=0平行的直线系方程Ar+历，+，=0（2为参数）.

9、垂直直线系

与已知直线At+为+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+Z=0（%为参数）.

10、过两直线交点的直线系

过直线4：4丫+4丁+G=o与/?：&式•+&丁+G=o的交点的直线系方程：

Ax+4y+C+〃4x+&），+c2）=。（丸为参数）.

二、圆

1、圆的参数方程

①32+y2=/（/>0）的参数方程为《•（。为参数）；

y=rsin0

②（…）2+（y-b）2=r2（r>0）的参数方程为*二吗（°为参数）

y=b+rsinO

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程珞动点的坐标设为

（〃+/•cos。,〃+rsin。）（。为参数，（4力）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三

角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解

最值.

2、关于圆的切线的几个重要结论

（I）过圆/+）,2=「2上一点p（%,%）的圆的切线方程为/X+%）,=产.

（2）过圆（工一编2+（>一〃/上一点尸（8,%）的圆的切线方程为

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r

（3）过圆/+）/十+Ey+尸=0上一点0（%,打）的圆的切线方程为

W3号+E.亨+F=0

（4）求过圆x2+.v2=尸外一点No）的圆的切线方程时，应注意理解:

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为

y-yn=k（x-Xn）,利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值.若求

出的女值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的人值只有一个，则说明斜

率不存在的情形符合题意.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024.江西新余•二模）已知宜线x-纱=。交圆Cf+丁-261-2｝，=0于M,N两

点，则“△MCN为正三角形”是“〃=0”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•陕西西安•三模）若过点尸（0,1）可作圆f+产—2.4），+〃=0的两条切线，则。的取

值范围是（）

A.（3收）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5收）

3.（2024.北京•三模）已知4-1,0）,4（1,0）,若点P满足“JL尸8,则点P到直线

/:,"（x-G）+〃（y-l）=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024.四川成都•三模）已知直线4：x-州+1=0与。C:（x-4+（），-l）2=1相交于

A4两点，若AABC是直角三角形，则实数。的值为（）

A.I或一1R.或-6C.-y或一1D.或

22

5.（2024•湖南邵阳•三模）已知直线/：工-y-2=0与圆。：x+y=\t过直线/上的任意

一点尸作圆。的切线A4,PB,切点分别为4,B,则/AP8的最大值为（）

6.（2024.重庆.二模）已知圆。:/+），=3,尸是圆。外一点，过点。作圆。的两条切线，切

一一9I.

点分别为A8,若P4-PB=E，则|。月二（）

A.>/6B.3C.2百D.V15

7.（2024・北京•三模）已知圆。:1-6『+（），-1『=1和两点4（一/,0）,4&0）（/>0）,若圆

C上存在点P,使得可.而=0,则，的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,司D.[3,4]

8.（2024.山东烟台•三模）若圆/+>2+办+省），+2〃-3=0与1轴没有交点，则实数。的

取值范围为（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,+a））

9.（2U24•北京•二模）已知直线/：奴+（4+1力+2=0,圆5/+y2=]6,下列说法承用的

是（）

A.对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点：

B.当且仅当4=时，直线/被圆。所截弦长为4加；

C.对任意实数。，I员I。不关于直线/对称；

D.存在实数〃，使得直线/与圆O相切.

10.（2024•江西鹰潭•三模）已知mwR,直线4：m+y+2〃7=O与，：x-my+4m=0的交点

。在圆。：（工一3『十（），-4）2=/（r>0）上，则，的最大值是（）

A.4x/2B.372C.2亚D.3石

二、多选题

11.（2024•湖南长沙•三模）已知圆C:（X+2『+），2=4,直线

Z:（/z74-l）.r4-2y-l+/??=O（/??eR）,则（）

A.直线/恒过定点（-U）

B.当,〃=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于I

C.直线/与圆C可能相切

D.若圆。与圆f+y2_2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8

12.（2024.山西临汾•三模）已知£尸是以C（l,2）为圆心，血为半径的圆上任意两点，且

满足C£_Lb,P是放的中点，若存在关于（3,0）对称的48两点，满足丽.丽=0,则

线段A3长度的可能值为（）

A.3B.4C.5D.6

13.（2024•河南郑州•三模）已知直线/：如+切+1=0（d）不同时为0）,圆

C:x2+y2-2x=0,则（）

A.当从-2〃=1时，直线/与圆C相切

B.当〃+人=-2时，直线/与圆C不可能相交

C.当。=1/=-1时，与圆。外切且与直线/相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.当a=l/=-1时，直线/与坐标轴相交十A4两点，则圆C上存在点，满足

PAPB=0

14.（2024•山东青岛•三模）已知动点M,N分别在圆G：（.r-iy+（），-2）2=l和

22

C2:（x-3）+（y-4）=3上，动点P在x釉上，则（）

A.圆G的半径为3

B.圆G和圆G相离

c.|PM|+|PN|的最小值为2M

D.过点P做圆G的切线，则切线长最短为石

15.（2024•浙江温州•二模）已知圆G：f+y2=6与圆6：/+丁+2.♦〃=（）相交于A8两

点.若S“,二25-，则实数。的值可以是（）

2914

A.10B.2C.