新高考背景下的切线问题研究-2026高考数学一轮常考题

9.26届高三备考下的切线问题研究

一.基本原理

1.用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：

①求出切点5J5））的坐标；

②求出函数y=/U）在点/处的导数人%）

③得切线方程y-/（玉））=/V）（A-X0）

2.求过点A处切线方程方法如下：

设切点为尸（马,先），则斜率2二/（与），过切点的切线方程为：y-y.=fXx（））（x-x.）f

•・,过点4根,〃），・•・〃一%二/'（%）（〃?-*））然后解出/的值，/有几个值，就有几条切线.

3.若函数y=/（X）的图象在点八（玉，X）处的切线与函数y=g（x）的图象在点8（%2,%）处

的切线相同（公切线），则等价于/。）的图象在点A处的切线：y-f（xl）=f'（x］）（x-x］）

与g（x）的图象在点B处的切线：）」g（/）=#重合•进一步等价于下列方程组

右惺］/（"=g〃2）

有解：1•

"区）一X］•/a）=g）-工2,g（X2）

4.若动点C为函数），=/（©图象上任一点，直线/与）=/3）图象相离，则C至心距离的

最小值为函数y=/（X）图象在点C处的切线与/平行时产生，故此时最小距离即为切点到

直线/的距离.

5.与切线有关的新定义问题

（1）隔离曲线：一般来说，“隔离函数”通常有两类：一类是函数丁=/（戈）与丁=9。）的

图像在集合M上有一个公共点，称之为“接触隔离”；另一类是函数），=/“）与），=g（x）

的图像在集合M上没有公共点，称之为“非接触隔离”.

(2)自公切线

二.典例分析

★1.与切线有关的新定义问题

例1.(浙江省杭州市25届高三一模)若函数y=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互

相重合，则称该切线为函数y=/。)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=/(x)的图

象的一对“同切点”.

(1)判断函数/1a)=sinx与力Q)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)若QWR,求证：函数g(%)=tan为一％+a在区间(TA)上有唯一零点且该函数的图象不

存在“自公切线”；

(3)设n€N*,函数h(x)=tanx—％+TUT在(一25)内的零点为％t€(—55)，求证：“存

在se(2TT,+8),使得点(s,sins)与(t,sin£)是函数y=sin》的图象的一对“同切点”的充要

条件是“/是数列｛%｝中佗项”.

解析：(1)显然直线y=1切y=sinx的图象于点91),(竽,1)，直线y=1是y=sinx的图像

的一条“自公切线”，故函数/；(%)的图象存在“自公切线”；对于/2(；0=1皿，f2(x)=

：(%>0)是减函数，故心。)在不同点处的切线斜率不同，所以函数左。)的图象不存在“自

公切线”.

(2)①g'(%)=—^2—1=吧芸=tan2%>0恒成立，故y=g(x)在(一1?)上单调递增，可得

y=g(x)至多有一个零点，令91。)=sinx-(x-a)cos.t(xG［一看自)，由y=%(%)的图像

是连续的曲线,且91(一沏1(今=一IV0,所以%(%)在(一罚)上存在零点,故在(一第)上

g(x)=需存在零点，所以9(%)在区间(TA)上有唯一零点•

②假设以乃的图象存在“自公切线”，即存在必，孙€(-看》且修装“2,使得g(x)的图象

在％=/与％=为2处的切线重合，函数g(%)在％=勺处的切线方程为y-tan%1+-a=

22

tanXi(x-%i),函数g(x)在x=外处的切线方程为y-tanx2+x2-a=tanx2(x-x2)»

22

故taM/=tanx2(*)»且一力匕小/+tanxx—xt+a=—x2tanx2+tanx2—x24-Q(**),

由(*)可得%2=-无1，不妨设€(0,y),将无2=—代入(**)，

2

可得一XitaMjq+tanXi一%=XitaM/—tanxx+/，即％式1+taM/)=tan%,则有/=

sinXiCosxj,即2%i=sin2.q,令w(x)=2x—sin2x,xG(0,,则d(%)=2—2cos2x>0,

可知3(x)在(0,5)上单调递增，所以当W((J,])时，wQi)>0(0)=0,即2%i>sin2xi，

则方程2%]=sin2;q在(Oj)上无解，故g(x)的图象不存在“自公切线”.

(3)对给定的nGN",由(2)知八(%)有唯一零点，所以f唯一确定.函数y=sinX在点(£,sint)处

的切线方程为y-sint=cost(x-t),即y=xcost+sint-tcost,函数y=sin无在点(s,sins)

处的切线方程为y=xcoss+sins-scoss,

①若存在s£(2",+8),使得点(s,sins)与(£,sin£)是函数y=sinx图象的一对“同切点”，

则『OSS=COSt(SAt),又tG(_今勺，故cost>0,所以F°ss=cost(s*t),

可得coss=cost且tans=-tant,从而存在neN",使得s=2nn-3代入tans-s=tant-

t,

可得tant—t+TUT=0,故^=3所以t是数列｛今｝中的项.

②若/是数列｛xn｝中的项，则存在n€N*,使得xn=t,即tant—£+mr=0,

由(2冲的g(x)在(-辅)上单调递增,可知心)在(-瑞)上单调递增,

又h(0)=mr>0且h(t)=0,可知tVO,令s=27ur—3贝ijs6(2TT,+8)且coss=cost,

tans-s-(tant-t)=2(t-tant-nzr)=0,即tans-s=tant-t,可得sins-scoss=

sint-tcost»

所以存在se(2几,+8),使得点(s,sins)与(£,sint)是函数y=sinx的图象的一对“同切点”.

综上可知：“存在sE(2乃,+8),使得点(s,sins)与(£,sint)是函数y=sin》图像的一对‘同

切点”的充要条件是“/是数列｛/｝中的项”.

例2.若函数y(x),g(x)与M6在区间。上恒有f(x)>h(x)>g(x),则称函数〃(X)为f(X)

和g(x)在区间。上的隔离函数.

⑴若/(大)=日苍8(大)=一2、扈,力(大)=242+3,。=1,2],判断〃(工)是否为/(“和月(x)在区

间。上的隔离函数，并说明理由；

(2)若〃J)=eT，Mx)=任,且f(x)N网力在R上恒成立,求上的值;

(3)若/(1)=匕8(力=筲：+1,/?(%)="+6优,〃£11),。=(0,+8)，证明:是2(e)为

3

/(X)和g(K)在(0，+8)上的隔离函数的必要条件.

解析:⑴h(x)是/(力和g(x)在区间。上的隔高函数.因为

/(X)=?X,g(X)=-2而一,力⑴=2/+3,所以

/(x)-/z(x)=yA--(2x2+3)=-2^-^J+||,"力-〃(力在I，装上单调递增，在

”,2上单调递减,又〃1)-力⑴匚/⑵-力(2)=0,

当x=2时,f(x)—〃(x)在。上取到最小值0,故,小2],/(%)之心).

又力(x)-g(x)=2f+3+2疯:=2x+与>0,所以〃(x)Ng(x).综上，h(x)是人力和

g(x)在区间。上的隔离函数.

(2)设Q(x)=e'-1-依,xeR,则”(x)=e'-&,因为°(x)20=*(0),则x=0是(p(x)的

极小值点，也是最小值点，所以以0)=1-攵=0,即2=1.当k=1时，

0(x)=e'-l-x，w'(x)=e'-l,当x>()时，(pz(x)>0；当x<0时，(p'(x)<0,所以

夕(力之<(0)=0,即e—R+1恒成立(当且仅当x=0时取等号),故4=1.

(3)证明：设F(x)=e'—(电F+l),xe(0,+8),由(2)得e、之x+1(当且仅当x=0时

取等号)，所以b(x)=e'—+=—(工+1皿+1)]=^卜'+3-(1+12+1)]

>^[x+ln.v+l-(x+liu+l)]=0,当且仅当x+hu=0时取等号，设G(x)=x+hu,xw(0,+8),

则G'(x)=l+g>0,所以G(x)在(0,+8)上单调递增，又G⑴=l>0,G(eT)=eT—l<0,

所以存在与£(1.1)使得G(%)=0.即％+1叫>=。,则与=ln—©。=一,

/、8lar.+1,__ln.r+1,工

又F(%)=0,则-+1,由隔离函数定义可得物之5+/*-n^+l=e〜所以

/大)

t0r

kx<)+b=e,设H(x)=e-Ax-/7,xe(0,+a?),则〃(毛)=e"-kxn-b=0,H'(x)=e'-k,

又”(力NOU”。-。)，则勒是H(x)的极小值点,所以环(q)=e%—J=0,即k=e",

结合/>=—，5+-",得1+6=3故〃="1,所以<="1是h(x)为/(力和g(x)在

4

（0,+8）上的隔离函数的必要条件.

★2.根据导数的几何意义求切线

例3.（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数例x）J+2s?"则曲线）,二〃力在（0」）

1IX

处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

ALRLQ-LD2

A.6H.3C.23

、（e'+2cos1）（1+/）-（e、+2sinx）•2x

解析：rw=--------------/八!-------------,则

（1+厂）

八0)==3,即该切线方程为），-l=3x,即.V=3x+1,

令x=0,则y=l,令y=。，贝"=故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积

S=:xlx=：・故选：A.

23o

★3.过点求切线

例4.（2022年全国新高考2卷）曲线y=In|幻过坐标原点的两条切线的方程为

解析：因为y=ln|M，当上＞。时y=lnx,设切点为（飞口玉），由y'='，所以力、=%=；,

XX0

所以切线方程为yTnx。=又切线过坐标原点，所以-In%=；（-%）,解得％=e,

-'ll

所以切线方程为y-l=1（Ae）,即y=L；

ee

当xvO时y=ln（r）,设切点为（小ln（-演）），由），所以）”『二；,所以切线方程为

=—（x-Xj）,又切线过坐标原点，所以Tn（F）=；（一匹），解得x=-e,所以

x\Al

切线方程为y-l=，（K+e）,即y=-L:故答案为：y=-A-；y=--x

-eeee

例5.（2022新高考1卷）若曲线y=（x+a）e,有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

解析：易得曲线不过原点，设切点为（Xo，C%+a）e“），则切线斜率为:

5

46

/'(.%)=(A0+a+De.可得切线方程为y-(x0+a)e*=(x0+a+l)e"(x-x0),又切线过原点,

可得-fXu+a)e"=-毛(/+。+1把"，化简得与？+以)一〃=0,又切线有两条，即方程有两

不等实根，由判别式A=c/+4。>0,得av-4,或a>0.

★4.求公切线

例6.(2024年新课标全国I卷)若曲线)，=e*+x在点(0,1)处的切线也是曲线

)，=ln(x+l)+。的切线，则”=..

解析：由)，=。，+/得J=c'+1,yu=e0+l=2,故曲线y=e，+x在(0,1)处的切线方程为

y=2x+l；由)，=]n(x+l)+。得〉;=击，设切线与曲线)，=ln(x+l)+〃相切的切点为

(如ln(x°+l)+a),由两曲线有公切线得)，'=37=2,解得/=-!，则切点为

X。十12

卜g,a+lng),切线方程为)，=21+3)+〃+加3=2工+1+4-1112,根据两切线重合，所以

«-ln2=0,解得a=In2.故答案为：In2

例7.(2019全国2卷理20)已知函数/(x)=ln.r-

x-\

(1)讨论/(x)的单调性，并证明了(x)有且仅有两个零点；

(2)设/是/(x)的一个零点，证明：曲线y=lnx在点A"。」!!/)处的切线也是曲线

丁=ex的切线.

解析：(1)函数/(X)的定义域为(0J)u(l,+8),

E+1r24-1

/(x)=lnx---=>/(x)=--不，因为函数/J)的定义域为(04)D(l,+8),所以

x-\x(x-l)-

fXx)>0,因此函数/⑴在(0,1)和(1,转)上是单调增函数；当xe(0/)，时，

11Li2

Xf0,),fF,而/(_)二m一一J=—；>0,显然当xe(0』)，函数/")有零点，

ee£_|e-1

e

而函数/(幻在(0,1)上单调递增，故当犬£(0』)时，函数/(幻有唯一的零点；当

。+1-?『|2一a

xe(1,4-oo)时，f(e)=Ine-----------<0,f(e2)=In—；—=—....>0,因为

e-\e-\e"-]e"

6

/")•/(/)<(),所以函数/(X)在(e,/)必有一零点，而函数/(X)在(1,+cc)上是单调递

增，故当xw(l,+8)时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域

(0,1)3(1,+8)内有2个零点；

Y+1X+1

(2)因为4是/。)的一个零点，所以/"o)=ln%-X二7=0=皿％=七7

工0—I%—1

1,1

y=lnx=>/=",所以曲线y=lnx在4%/11%)处的切线/的斜率上=一，故曲线

x%)

J

)，=Inx在A(xft,ln%)处的切线/的方程为：j-lnx0=—(x-x0)而Inx0='工,所以

%Xn—1

x22

/的方程为y=—十—7,它在纵轴的截距为一7.

%/T与一]

设曲线y=/的切点为8**』)，过切点为切线)，=/=>)，'=/,所以在

8(%,炉)处的切线/的斜率为洲,因此切线/’的方程为y=-x+2(1-2)，

当切线/的斜率k二人等于直线/的斜率％='时，即='=>M=~(lnx0)f

%%

切线I在纵轴的截距为々一/(1一N)一(i+lnx0)--(l+lnx0),而出题一卫|,

.1x4-l2.

所以4=—(1+o'七)二-直线/,/的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线

/飞-1x°T

/,/重合，故曲线y=InX在4%,In%)处的切线也是曲线y=ex的切线.

★5.切线问题的综合应用

例8.(2021年新高考2卷)已知函数/1)=『-[小<0,超>。，函数/(幻的图象在点

和点3(9,/(七))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则溪

取值范围是.

解析：由题意，〃刈=卜'一1|=|：："<\则/'(%)=卜：*：°，所以点小41一明和

11[e-l,x>0[e,x>0

xx

点-1),kAM=-e'tkBN=e-，所以-e"d=-l,x+x2=O,

7

所以人M:y-1+e，=一/，(x-％,M((),人历一—+1),所以|人闸=,+(*xj="+/.,|,

手=后冬小«°」).故答案

同理|附二荷忖，所以留=繇1

为：(0』)

例9.已知函数/(x)=A.

(I)若VxeR,不等式〃矿(外-]>。恒成立，求实数”的取值范围；

⑵过点丁(川)可以作曲线产/(幻的两条切线，切点分别为A(a,e"),/2,叫.

①求实数/的取值范围；

②证明：若。“，则|A7>|8r|.

解析：(1)易知"心一x>0o〃0W，令g(x)=W，贝必。)=弓，显然x<l时，g'(x)>。,

eee

X>1时，g'(x)<0,即廉"=三在(-8，1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，则

e

屋力2=鼠1)=：<"?，即，〃6化内)；

C\c/

(2)①设切点(%,e'"),易知/曲，/"(x)=e',则有:一；=e",即/=白+/一1,

令〃(x)=e'+工-1,则)，="=力("有两个交点，横坐标即分别为〃泊，易知〃'(x)=l-ev,

显然x>0时,//(x)>0,x<。时，"(x)v0,则〃(x)在(-oo,0)上单调递减,在(0,+8)上

单调递增，且工->-8时有力(力->+»,'->+8时也有川力-»+0),/7(X)>/；(0)=0,

则要满足题意需/>0,BprG(0,-H»).

Q-a+〃一］=/

②由上可知：伍<0<。)，作差可得尸一1"+.-h=(),即e-"+〃=c"+b,

e+b-\=t

由①知：在(-8,0)上单调递减，在(o,*)上单调递增，令

H(x)=h[x)-h(-x)=e'x-ev+2x=>/^(x)=2-(e^+e')<0,则”(x)始终单调递减，所

以=—力(一a)vH(0)=0,Bph(a)=h(b)<h(-a),所以〃>一々，所以“>一〃>0,

不难发现e-"+a-l=，na=f+l-e-。”什二：,可以由弦长公式可知

心丁=e

8

\AT\=^\+e2a(a-t)所以,小斤!一?设

\BT\=yl\+e2b(t-b)|ar|=Vl+e2/,(e-/,-l)

e2v

z?7(x)=Vl+e2'(l-e-jr)(x>0)=>加(x)=ev-Jl+e">0

Vl+e2'

所以由Je2"+l(l—e-“)>Je-2b+l(l—e")=Je2"+1・^^=Je"+l(e"+l),即

e

|A71>|BT|,证毕.

三.习题演练

1.（25届泉州市高三开学考试）若曲线y=lm在X=2处的切线与直线以-y+l=o垂直,

则白二.

解析：由题意得函数y=的导函数为y=，,故在x=2处切线的斜率为直线

x2

a1-），+1=0的斜率存在为。，根据题意得，；•〃=­，解得。=一2.故答案为：一2.

2.（浙江省A9协作体25届高三返校考试）曲线），="在x=0处的切线恰好是曲线

y=ln（x+a）的切线，则实数〃=.

解析：曲线y=-在x=0处的切线为y=x+l,g'（x）=」一，设切点（小/n（/+。）），

X+Cl

1_t（_]

由〃，得（“二,

ln（x0+tz）=x0+l"2

3.（25届广东省八校高三联考）.若曲线y=lnx-V+2大在汇=1处的切线恰好与曲线

y=e*+〃也相切，贝|]a=.

解析：对于：y=hvc-x\2xt可得）/=，-21+2,当x=l,贝!|），=11=1,可知曲线

x

y=Inv-x2+在x=l处的切线是y=x；对于：y=e'+。，可得y'二e',令=e'=1得;r=0,

由切点（0,0）在曲线＞=e'+a上得a=-1.故答案为：-1.

4.（25届湖北省高三圆创联考卷）已知函数/（力=优，g（x）=：log“（x+l）,其中。＞1,

9

当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则a的取值范围是.

解析：令"二Log“(x+l)，则优"=log”(x+l),令x+l=f,则"=log/,由于函数

a

)，=〃x,)，=k)gaX互为反函数，故图象关于y=x对称，因此只需要考虑

/(月=优，9(工)=》。%(工+1),两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为工0,

,=-log„(x0+l)

由(，)=优lM,(10g“(X+l)),八,故"1，即

(犬十1a^\na=——；——-.

a\na(x0+\)

**0g，Go+l)

所以屿+股而扁

设小+1=r,则In。=——

\na=-~~-tint

lna(x()+1)

a>\=>t>\f故有e白二"n「，两边取对并移项ln，+21n(lnr)—，=(),记函数

°(f)=h"+21n(l叫一白，易知夕(。在(1,+8)上单调递增，因为Q(e)=0,所以/=e,

/1\

此时〃_/，所以。的取值范围是e\+8.

Cl-V

5.(浙江名校协作体高三开学考试)已知函数〃x)=W+2x+4,ga)=2hir+2x+5.

(1)判断函数g(x)的零点个数，并说明理由;

(2)求曲线)，=/("与)，=g(x)的所有公切线方程.

解析：(1)・・・g，(x)=—+2>0,.・.g(x)在(0,y)单调递增

又g(e")=W-l<0,g⑴=7>0,「.g")存在唯零点，在(1,1)之间.

(2)••・r(x)=2x+2,.,.以/(“上的点(百,/(内))为切点的切线方程为

y-(x)2+2内+4)=(2%+2)(彳一内).以g(x)上的点(乙送伍))为切点的切线方程为

(2)

y-(21nx2+2X2+5)=—+2(x-x2).

10

2x,+2=—+2

x21

贝IJ*=一,代入（2）,得

,(2、

x：+2%+4—(2百+2)x=21nq+2々+5-----F2X2

1二工；-21g，即l=设x：=/,函数〃（1）=z-ln，，则/⑺二1一一.

当Ov/vl时，"（f）<0,〃⑺单调递减，当>1时，⑺单调递增，/?（!）=1,

1=X；一［鬲的解为％=±1,又工2>0，「飞1>0，%=1.•,./（X）和g（x）存在唯---条

公切线为），=4工+3.

6.（2021年全国甲卷）曲线丫=生?在点（-1，-3）处的切线方程为________.

x+2

2(x+2)-(21)=5

解析：由题，当4-1时，产-3,故点在曲线上.求导得：y=

(x+2)2-(x+2)2

所以川i=5.故切线方程为5x-），+2=0.

7.（2021新高考1卷）若过点（“〃）可以作曲线,，=/的两条切线，则（）

A.eh<aB.e"<b

C.（）<〃<（?D.0<b<ea

解析：在曲线），=/上任取一点尸（八，），对函数），=c'求导得y'二e"

所以，曲线），="在点P处的切线方程为），—d=/（x—，），即y=dx+（l—，）d,

由题意可知，点（。⑼在直线y=dx+（l-f）d上，可得〃=ad+（lT）d=（a+lT）d,

令/（/）=（。+1-/）£,则/'（/）=（。一/）一.当，v。时，此时函数单调

递增，当/时，此时函数/（/）单调递减，所以，/（/）山=/（〃）=/，

由题意可知，直线》二人与曲线），=/（/）的图象有两个交点，则力</（〃皿=才，

当，va+l时，/（。〉0,当"a+1时，/（，）<0,作出函数/（。的图象如下图所示:

II

»/<z>

由图可知，当时，直线y=〃与曲线)，=/("的图象有两个交点.故选：D.

8.(2015年新课标卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线

y=⑪2+(〃+2)x+l布切，则〃=

解析：)；=1+L所以扃=2,切线方程为)，-1=2(1-1)=)，=2]一1,联立方程

x

y=2x-\

<।依+。/+2=0,从而由相切可得：△=/-84=0=4=8

y=ax^+(〃+2)工+1

9.若函数y=f(x)的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f[x)的

图象的“自公切线”，称这若干个点为函数y=f(x)的图象的一组“同切点”例如，如图，直线/

为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，A,8为函数y=f(x)的图象的一组“同切点”.

⑴已知函数〃"=沅。就在x=0处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；

/、

(2)若aeR,求证：函数g")=xTanr+a,.江层均有唯一零点，且该函数的图象不存

在“自公切线”；

⑶设〃©N',函数儿(.r)=±-tanL兀，xe-5+〃兀，3+〃兀)的零点为%,求证：

〃、乙乙)

4