2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（解析版）

2025〜2026学年度第一学期期末教学质量监测考试八年级数学试题

注意事项：

1.本试卷分第I卷和第n卷两部分，共6页.第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择

题，90分；共120分,考试时间为120分钟.

2.答题前，考生务必先核对姓名、准考证号和座号，然后用0・5毫米黑色墨水签字笔将本人

的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置.

3.答第I卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改

动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.

4.答第n卷时，必须使用0・5毫米黑色签字笔在答题卡上书写.务必在题号所指示的答题区

域内作答.

5.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样•很多大学的校徽设计也会融入数学元素•下列大

学的校徽图案（文字、字母、数字除外）是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形

沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、是釉对称图形，故此选项符合题意;

c、不是轴对称图形.故此选项不符合题意：

D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选B.

2.一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和

工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗.我国某品牌手机使用了白.主研发的最新型号芯片，其晶

体管栅极的宽度为0.000000007亳米，将数据0.（X）0000007用科学记数法表示为（）

A.7xl（r8B.7X10-9c.（）.7xD.0.7xlO-11

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axi（r,其中1引。|〈io,〃为原数左边起第一

个不为零的数字前面的o的个数所决定.

将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数.

【详解】解：0.000000007=7xio-9^

选故:B.

3.下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（）

A.4（x+y）=4x+4yB.Sm2n2=2m2-4n2

C.x2-2x-3=x（x-2）-3D.-4y+4=（y-2y

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此判断各选

项即可得到答案.

【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；

R、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意：

C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解.，不符合题意：

D、y2-4），+4=（y-2）2是因式分解，符合题意；

故选：D.

4.把分式卢二中x和），都扩大2倍，分式的值（）

2x-y

A.不变B.扩大2倍C.缩小为原来的aD.扩大4倍

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值

2x2xx2y

不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.把原分式中的X和都扩大2倍得到再根

2x2x-2y

2xy

据分式的基本性质化简得到2即可得到答案.

2x—y

【详解】解：•・,分式弃工中的X和）'都扩大2倍，

2x-y

2x2%x2y8盯32xy

・•・原分式变形为：z—Z~~丁二千-----x=2x^----------，

2x2x-2y2（2x-y）2x-y

••・把分式二一中的X和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍，

2x-y

故选:B.

5.已知等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长是（）

A.10B.13C.17D.13或17

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系.分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角

形，再计算周长.

【详解】解：•・•等腰三角形两边长为3和7,

若腰为3,则三边为3、3、7,

•・・3+3=6<7,不满足三角形三边关系，

・•・不能构成三角形.

若腰为7,则三边为7、7、3,

•••7+7>3,7+3〉7,满足三角形三边关系，

・••能构成三角形，周长为7+7+3=17.

故选：C.

6.如图，已知C4=CO,Zl=Z2»如果只添加一个条件（不加辅助线）使则添加条

件不能为()

.1

AAB=DEB.ZB=/EC.BC=ECD.Z4=ZD

【答案】A

【解析】

【详解】本题考查了全等三角形的判定，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关犍.

首先求出NACB=NOCE,再根据全等三角形的判定定理逐个判断选项正误即可.

【解答】解：TN1=N2，

・•・Z1+AACE=Z2+ZACE,

・•・ZACB=/DCE,

对干A：根据AB=D石，CA=CD,ZACB=/DCE,不能推出△ABC冬△DEC,・••符合题意；

对于B：•・,NAC3=NOC£1,CA=CD,ZB=ZE，AZVIBC^ADEC(AAS),符合AAS定理，

不符合题意；

对干C：•；BC=CE,ZACB=ZDCE,AC=CD,AAABC^AZ)EC(SAS),符合SAS定理，，

不符合题意；

对干D：・・・/A=Z£>,CA=CD,ZACB=NDCE△AB%ADEC(ASA),符合ASA定理，

不符合题意；

故选：A.

7.从边长为。的大正方形纸板挖去一个边长为〃的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同的

四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为

b

A.6Z2-/?2=(«+Z?)((7-Z?)B.(«-z?)2=cr-2ab+b2

C.(a+b)2=a2^-2ab+b2D.a2-b1=2(a+b)(a-b)

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面枳是解题的关键.

分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案.

【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：a2-h\图乙中阴影部分的面积为：(a+b)(a-b),

•・•甲乙两图中阴影部分的面积相等，

/.a2-b2=(a+〃)(a-〃).

故选：A.

8.已知关于x的方程-----2=—?一解为正数，则出的取值范围是()

X-]1-X

1221

A.左W1B.女工一C.女〉一旦女工1D.一且人工一

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合

分式有意义的条件(分母不为0)和解的正负性确定参数范围.

先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解“关于攵的表达式，再根据"解为止数"和"分母不

为0"列不等式，最终确定％的取值范围.

X—Ak

【详解】解：•・•方程------2=—,

x-ii-x

又=

.-3k__3k_3k

**1-x-(x-1)x-1，

Y

・•・原方程化为一一一2=—.

x-\x-\

左边合并：-----------=----,

x-\x-\

两边同时乘以(x—l)得：2-x=3k,

解得x=2—3Z.

由田得2-3b1,即

又*•解为正数，・・・%=2-3攵>0,即2>3k,k<-.

3

21

综上，k<—且％。一.

33

故选：D.

9.《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到900里的城市，所需时间比规定时间多用1

天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天,已知快马的速度是慢马速度的2倍.设规定时间

是工天，则可列方程为（）

900=2x222

A.-------B.

x-3X+1x+1x-3

900「900

C.-------=2x——D.幽。些

x-3x-}x+3x-I

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为工天，则慢马用时（工+1）

天，快马用时（工-3）天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可.

【详解】解：慢马速度=2"，快马速度=2笑，旦快马速度=2x慢马速度,

x+1x-3

"二2、%

A—3A+1

故选:A.

10.如图，已知：NMQV=30。，点儿、&、4……在射线ON上，点用、约、&……在射线QM

均为等边三角形，若。4=1,则的边长为（）.

C.64D.32

【答案】D

【解^5]

【分析】本题主要考杳了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平

行线的判定与性质等知识点,掌握等边二角形的性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质以及立行线的性质得出A与〃以及4纥=2用42，得出

A3B3=4与A?=4,44Al=8g4=8,4殳=165,4=16…以此可得儿绦=32片&=32即可解答.

•・•△ASA?是等边三角形，

・・・4用=4为Z3=Z4=Z12=60°,

・•・Z2=120°,

./MON=30。，

・•・Zl=180°-120o-30o=30°,

又•:Z3=60°,

N5=180°-60°-30°=90°,

•・,ZMON=Z1=30°,

0A=AyB}=1,

・•・A?q=1,

•・•是等边三角形，

AZI1=Z1O=6O°,Z13=60°,

vZ4=Z12=60°,

・人，

•.aq//\B2//a//A3B2,

・•.Z1=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

/.A2B2=2B]A?,B3&=2B2A3,

A)&=48]A,=4,A4B4=831A=8,4居=164Az=16,

以此类推：AA=32M4=32,即AA线4的边K为32.

故选D.

第n卷（非选择题共5）分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.已知3'"=2，3"=4，则33M-H=.

【答案】

2

【解析】

【分析】本题考查了事的乘方和同底数塞的除法，利用指数运算性质，将所求表达式转化为已知条件的组

合形式，再代入数值计算.

【详解】解：'・•3"'=2,3〃=4，

.・.3M=（3桁7=23=8,

n

••3==—=Z<

3"4

故答案为：2.

12.当工=时，分式2二二的值为0.

x-3

【答案】-3

【解析】

【分析】本题考查的是分式的值为。的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可.

【详解】解：由分式的值为零的条件，得9一/2=（）且工一3:0.

解9一/=（）,得/=9，

・••上=3或x=-3.

由工-3。0,

得xw3.

故答案为：一3

13.（7T-2O25）0-呆

【答案】T

【解析】

【分析】此题考查了零指数幕和负整数指数塞.根据零指数累和负整数指数塞的运算法则计算即可.

【详解】解：（兀一2025）°-

=-1

故答案为：—1

14.如图，把长方形43co沿3。折叠，得到V3DK,BE交AD于息F,DF平分/BDE，若BC=12,

则AF长为.

【解析】

【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，苣角三角形的特征等；由折叠的性质和等腰

三角形的判定及性质得/=12-A/，由直角三角形的特征得ZABF=90°-2x30°=30°,可

得4/即可求解.

2

【详解】解：在长方形ABC力中，AD//BC,

AD=BC=\2,ZA=ZC=Z4BC=90°,

."BDF=NDBC,DF=\2-AF,

由折叠得NDBF=NDBC,

ZE=ZC=90°,

:.ABDF=/DBF，

/DBF+NBDF+/EDF=90°,

：.BF=DF=\2-AF,

DF平分NBDE,

NBDF=NEDF•

:"BDF=/EDF=/DBF，

ZDBF=-x90°=30°,

3

/.ZABF=90°-2x30°=30°,

:.AF=-BF,

2

/.A尸=g（12-AP）,

解得AF=4；

故答案为：4.

15.小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1,在NAO8中，将尺边

QM与边OB叠合，沿尺边心画直线/（如图1）；步骤2,旋转直角尺并调整，使点M落在直线/上，

且尺边PE经过点。，尺边EN交边OA于点、F（如图2）,读取点E,/对应的刻度分别为0cm,5cm,

已知EMAQM,?AOB66?,则/EOB=:

【答案】44。##44度

【解析】

【分析】本题考查了角平:分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识,

连接。M,过点、M作MHLOB于点H,先根据角平分线的判定定理得出？EOM?MOB,再根据垂

直平分线的性质定理及三线合一得出？EOM?EOF,即可得出答案.

【详解】解：连接OM,过点M作于点"

由题意可得：MH=ME=5cm,MELOE,

\2EOM2MoB,

•・,点E,尸对应的刻度分别为Ocm,5cm,

\EF=EM=5cm,

vMEAOE,

:.OF=OM,

\?EOM?EOF,

\?EOM?EOF?MOB,

・.・？AOB66?,

\?EOB44?.

故答案为：44°.

三、解答题：共8小题，共75分.

16.分解因式：

（1）x3-x；

（2）ab2-4tzZ?+4«.

【答案】（1）x（x+l）（x-l）

（2）a（b-2）2

【解析】

【分析】本题考杳的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握两个公式是解本题的关键:

（1）先提取公因式羽再利用平方差公式分解因式即可；

（2）先提取公因式m再利用完全平方公式分解因式即可；

【小问I详解】

解：x3-x

=x(x2-1)

=x(x+l)(x-l)；

【小问2详解】

ab2-4。/7+4。

="-4〃+4)

=t/(Z?-2)2；

17.解分式方程

⑴

x+3x-\

,、工6,

(2)----=——+1

x-2X2-4

【答案】(1)x=5

(2)x=l

【解析】

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键.

(1)先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解讲行检骆即可:

(2)先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可.

【小问1详解】

解：二=」-，

x+3x-1

去分母，得2(入-1)=犬+3,

去括号，得2x—2=x+3,

移项，得2x—x=3+2,

合并同类项，得x=5,

检验，1=5时，(X+3)(X-1)HO,

•••原方程的解是工=5.

【小问2详解】

解：-^―=—T—+1»

x-2r一4

去分母，得X（X+2）=6+12—4,

去括号，得丁+2工=6+/一4,

移项合并同类项，得2x=2,

系数化为1,x=],

检验，x=l时，戈2一4工（），

•••原方程的解是戈=1.

18.先化简，再求值：巴9--1其中4的值从一1工。42的整数解中选取.

[2）a~a

【答案】3

【解析】

【分析】先算括号里的，把除化为乘，再分子，分母分解因式约分，化简后将有意义的。的值代入计算即

可得.

【详解】解：原式=（土土！一2）一2二1

22矿+。

a2a2+a

=----x———

2a2-\

a2+a

-------,

2

要使原式有意义，"-I/0，d+。工0，

即aW1,QH0,。,

故从一1WaK2的整数解中只能取2,

2^20

将〃=2代入到得，三上=3.

22

【点睛】本题考查了分式化简，解题的关键是则分式的基本性质.

19.如图，在平面直角坐标系中，VABC的三个顶点的坐标分别为A（—3,4）,8（T,1）,C（—1,2）.

（i）在图中作出VABC关于y轴的对称图形△44G；

（2）直接写出点。关于＞轴的对称点G的坐标：:

（3）在X轴上找一点尸，连接P8、PC,使得△P8C周长最小，请在图中做出点尸的位置，并保留作图

痕迹.

（4）在）'轴上找一点。，使得上CD4也.ABC，则点。的坐标为.

【答案】（1）见详解（2）（1.2）

（3）见详解（4）（0,5）

【解析】

【分析】（1）首先确定点A8,c关于y轴的对称A，q，G，然后顺次连接即可；

（2）结合图形，即可获得答案；

（3）作点8关于4轴的对称点夕，连接C9交x轴于点P,即可获得答案：

（4）在y轴上取点。（0,5）,结合勾股定理可得43=A£）=如，CB=CD=M，再结合

AC=AC,利用“SSS”可证明二84g二ABC,即可获得答案.

【小问1详解】

解：作出VA3C关于y轴的对称图形△A4G，如下图所示;

A【小问2详解】

X

解：由图可知，点。关于)'轴的对称点G的坐标为(1,2),

故答案为：(1,2)；

【小问3详解】

解：如下图，在y轴上取点。(0,5),

则A4=4)=疹了=而，CB=CD=d乎=M，

又,:AC=AC,

・•..CZMgABC（SSS）,

故答案为：（0,5）.

【点睛】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题、勾股定理、全等三角形的判定等知识，熟练掌握相

关知识是解题关键.

20.如图，在VA8C中，AB=AC,点。、£分别在A3、AC上，且AD=AE，连接BE、CD,交

于点F.

（1）求证：4.ABE^ACD；

（2）求证：FB=FC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考杳了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，正确寻找全等三角形是解题的关键.

（1）利用SAS即可证明；

（2）利用一48mqACO,得=再根据等边对等角证明=再结合可

证/FBC=NFCB,进而可证明.

【小问I详解】

证明：在AABE和以6中，

,/AB=AC

:./BAE=NCAD

：-AE=AD

・••一ABE也4ACO（SAS）

【小问2详解】

证明：由（1）知上

・•・ZABE=ZACD

VAB=AC,

••・ZABC=^ACB.

・•・NABC-NABE=ZACB-/ACD,即NFBC=NFCB

・•・FB=FC.

21.“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹

的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非

凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱.国庆期间，熊猫苑某商店用500元购进的A款文创产品和用

750元购进的3款文创产品的数量相同，每件3款文创产品的法价比A款文创产品的进价多5元.

（1）求A，4两款文创产品每件的进价；

（2）根据市场需求，该商店计划再用不超过1320元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求

H款文创产品最多购进多少件？

【答案】（1）A款文创产品每件的进价是10元，3款文创产品每件的进价是15元

（2）64件

【解析】

【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键：

（1）设A款文创产品每件的进价是x元，则月款文创产品每件的进价是。+5）元;根据题意列出分式方程，

解方程即可求解•；

（2）设购进A款文创产品”件，则购进4款文创产品（100一机）件；根据题意列出不等式，求得整数解，即

可求解.

【小问1详解】

解：设A款文创产品每件的进价是x元，则3款文创产品每件的进价是（x+5）元，

”500750

由题意得：——=-----,

xx+5

解得：x=10

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意

x+5=10+5=l5（元）

答：A款文创产品每件的进价是10元，8款文创产品每件的进，介是15元

【小问2详解】

设购进〃?件B种文创产品，则购进（100—m）件A种文创产品，由题意得：

15^+10（100-/71）＜1320

解得：相＜64

答：最多可以购进64件4种文创产品.

22.数学课上老师给出这样一道题：若%满足(x—3)(x—8)=7,求(x—3)2+(x—8『的值.小睿同学经

过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家：

解：设X-3=/〃，x-S=n,M(x-3)(x-8)=mn=7t

W-A?=(x-3)-(x-8)=5,

...(x-3)2+(x-8『=nr+n2=(加一〃丫+2加？=25+2x7=39.

请参考上述解法，解决下面的问题：

【初步应用】

(1)若x满足(5-耳(工一3)=-8,求(57『十(工—3)2的值.

【类比探究】

(2)若x满足(工一2025)2+(2026—犬)2=2027,求(x—2025)(2026—x)的值.

【拓展提升】

(3)如图，点E，G分别在正方形A8CD的边AO,CO上，AE=2,CG=6,长方形EFGO的面

积是24,分别以OE，DG为边作正方形ME。。和正方形NGDH,PH//QD,可得四边形尸NPM

为正方形，求正方形EVPM的面积(请写出解题过程)

P

H

N

【答案】(1)20；(2)-1013；(3)112

【解析】

【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，解题关键是掌握上述知

识点并能熟练运用求解.

(1)设5—1工一3二〃，"得出加+〃=(5—0+(%—3)=2,再根据(5一工)(工-3)=-8,可得出

“加=一8,从而可求得(5-X『+(X-3)2；

(2)设工-2025=，〃，2026-彳=〃，可得出〃十/二2027，，〃十〃=1,再求得/〃〃=—1013,从而

可得"-2025>(2026-力=一1013；

(3)设=DG=n,正方形ABC力的边长为x,可得出力石=4。一4七二X一2,

DG=DC-CG=x-6,从而可得加一〃二4,再根据长方形EFG。的面积是24,求得〃〃?=24,从而

可利用完全平方公式求得S正方形小P”.

【详解】(1)解：设5x=rn,x3=«,

则m+n=(5-x)+(x-3)=2,

(5-x)(x-3)——8,

mn--8,

(5-x)2+(JV-3)2=m2+n2=(m+/2)2-2/??/?=22-2x(-8)=20；

(2)解：设X-2O25="7,2026—X=〃，

则M+/=2027,w+n=l,

2nm=(〃？+”J一(“2+)=]_2027=-2026

=-1013，

即(为一2025)•(2026-x)=-1013；

(3)解：设。石=w，L)G=n,止方形AAC’。的边长为工,

则DE=AD-AE=x-2,DG=DC-CG=x-6,

m—〃=(x—2)—(x—6)=4,

•・•长方形ERJ。的面积是24,

mn=24,

：・S£4FNPM=FN2=(DE+DG$

=(m+/?)2

+4mz?

=16+4x24

=112.

23.如图I,在平面直角坐标系中，已知点4>,0),B(0,y),且)，满足|“一6|+()，-2)2=0.

（1）如图1，填空：点A的坐标为，点8的坐标为；若以A3为斜边构造等腰直角VABC,

则点C的坐标；

（2）如图2,已知等腰直角VABC中，ZAC5=90°,AC=8C,点。是腰八C上的一点（不与A，

。重合），连接30,过点A作AEJ,3O,垂足为点E.

①若8。是“A8C的角平分线，求证：BD=2AE；

②探究：如图3,连接CE,当点O在线段AC上运动时（不与A,C重合），NBEC的大小是否发生变

化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由.

【答案】⑴（6,0）,（0,2）；（4,4）或（2,-2）

（2）①见解析；②N3EC的大小不变，为定值45。

【解析】

【分析】（1）先根据非负性求出点A的坐标为（6,0）,点8的坐标为（0,2）,①点。在第一象限时，过点C

作CGJ_y轴于点G,过点A作A/_LCG于点尸，证明NBCGACAF,则BG=CF，

CG=AF=OG=2+BGf由CG+C/=G/=6得到2+3G+3G=6,求出8G=2,即可求解点C的

坐标；②点。在第四象限时，过点。作CG_Ly轴于点G,过点A作Ab_LCG于点尸，同理可求即可;

（2）①延长BC、AE，相交于点尸，证△3C*a4CF（AS4）,得BD=AF，再证

^ABE^^FBE,得4E=EV，则Ab=2A£，即可得出结论；②