2026年预测卷全国乙卷新高考数学向量押题冲刺卷（含解析）

2026年预测卷全国乙卷新高考数学向量押题冲刺卷（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若向量a=(1,k)与向量b=(3,-2)平行，则k的值为A.-2/3B.2/3C.3/2D.-3/22.已知向量a=(1,2)，向量b的模|b|=2，且a⊥(b-a)，则向量b的坐标为A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,1)或(-2,-1)D.(-2,-1)或(2,1)3.设向量u=(x,1)，向量v=(1,y)，若u+2v=(4,3)，则x+y的值为A.3B.4C.5D.64.向量a=(1,0)，向量b=(cosθ,sinθ)，则向量a与b的数量积a·b的取值范围是A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]5.已知向量m=(1,2)，向量n=(x,1)，若m与n的夹角为45°，则x的值为A.-1B.1C.-1或1D.06.若向量p=(1,-1)，向量q=(2,λ)，且|p+q|=√10，则实数λ的值为A.-2B.0C.2D.47.已知点A(1,2)，点B(3,0)，向量u=(-1,k)，若u与向量AB垂直，则k的值为A.-1B.1C.-2D.28.在△ABC中，向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c，若a·b=0且|c|=√3，则△ABC的形状是A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形9.已知向量u=(sinα,cosα)，向量v=(cosα,-sinα)，则u·v的值为A.-1B.0C.1D.210.已知点P(x,y)在直线l:x+y=1上，向量OP=(x,y)（O为坐标原点），则向量OP与向量OP+a=(x+1,y+2)的夹角余弦值的取值范围是A.[1/√5,1]B.[-1,1/√5]C.[-1/√5,1]D.[0,1/√5]11.已知向量a=(1,1)，向量b=(1,t)，若存在实数k使得|a+kb|=√10，则k的取值个数为A.0B.1C.2D.312.在平面直角坐标系xOy中，设点A(a,0)，点B(0,b)（a,b>0），向量u=(1,1)，向量v=(b,a)。若u⊥(v-OA-OB)，则ab的值为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(3,-1)，向量b=(k,2)，若|a-b|=√10，则k的值是________。14.在四边形ABCD中，向量AB=(3,1)，向量AD=(-1,2)，若向量AC与向量BD垂直，则向量AC的坐标是________。15.已知向量p=(1,2)，向量q=(x,-1)，若p+q与p-q的夹角为90°，则x的值是________。16.已知点P在圆C:x²+y²-2x+4y=0上运动，向量OP=(x,y)（O为坐标原点），则向量OP与向量OP+i=(x+1,y+1)的数量积OP·(OP+i)的最小值是________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知向量a=(2,1)，向量b=(m,-1)，且向量a+2b与向量3a-b平行。（1）求实数m的值；（2）若向量a与向量b的夹角为60°，求实数m的值。18.（本小题满分12分）在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，向量AD=(1,2)，向量AE=(3,-1)。若点B的坐标为(2,5)。（1）求向量AB和向量AC的坐标；（2）求向量BC的坐标，并计算△ABC的面积。19.（本小题满分12分）已知向量u=(1,k)，向量v=(k,1)，且u+v与u-v的夹角为120°。（1）求实数k的值；（2）若向量u与向量w=(2,-3)的数量积u·w=5，求实数k的值。20.（本小题满分12分）设向量a=(x,1)，向量b=(1,y)，且向量a与向量b的夹角为α，cosα=1/2。（1）求x与y满足的关系式；（2）若向量a+b=(3,4)，求向量a-b的模|a-b|。21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，点B(0,1)，点P为圆C:x²+y²-2x=0上的一动点。（1）求向量OP与向量AP的夹角θ的取值范围；（2）若向量OP与向量BP的夹角为45°，求点P的坐标。22.（本小题满分12分）已知向量a=(1,2)，向量b=(2,λ)。（1）若向量a+b与向量a-b垂直，求实数λ的值；（2）设函数f(x)=x²+2x+1，向量c=(f(x),0)。若存在实数x使得向量c与向量a+b的数量积c·(a+b)=10，求实数x的取值范围。试卷答案1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B8.A9.C10.C11.C12.A13.-1或514.(1,3)15.-1/516.-217.（1）向量a+2b=(2+2m,1-2)=(2m+2,-1)，向量3a-b=(3*2-m,3*1+1)=(6-m,4)。由向量a+2b与向量3a-b平行，得(2m+2)*4=(-1)*(6-m)，解得m=-1。（2）向量a·b=2*1+1*(-1)=1。向量a的模|a|=√(2²+1²)=√5，向量b的模|b|=√(m²+(-1)²)=√(m²+1)。由向量a与向量b的夹角为60°，得cos60°=(a·b)/(|a||b|)=1/(√5*√(m²+1))=1/2。解得m²+1=5，即m²=4，解得m=2或m=-2。结合（1）中m=-1，此问无解。18.（1）向量AD=AB/2，向量AE=AC/2。所以向量AB=2AD=2(1,2)=(2,4)，向量AC=2AE=2(3,-1)=(6,-2)。（2）向量BC=AC-AB=(6,-2)-(2,4)=(4,-6)。向量BC的模|BC|=√(4²+(-6)²)=√(16+36)=√52=2√13。点B(2,5)，点C的坐标设为(x,y)。由向量BC=(x-2,y-5)=(4,-6)，得x-2=4,y-5=-6。解得x=6,y=-1。即点C(6,-1)。△ABC的面积S=1/2*|AB|*|AC|*sinA=1/2*|AD|*|AE|*2sinA=|AD|*|AE|*sinA=√5*√10*sinA=5√2*sinA。而sinA=|BC|/|AC|=2√13/√40=√65/10。所以S=5√2*(√65/10)=√130/2。19.（1）向量u+v=(1+k,1+k)，向量u-v=(1-k,1-k)。向量u+v与向量u-v的夹角为120°，得cos120°=(u+v)·(u-v)/(|u+v||u-v|)=-1/2。所以((1+k)(1-k)+(1+k)(1-k))/((√(2+2k))*(√(2-2k)))=-1/2。即(1-k²+1-k²)/(2√(1-k²))=-1/2。化简得2(1-k²)/(2√(1-k²))=-1/2，即1/√(1-k²)=-1/2。两边平方得1/(1-k²)=1/4。解得1-k²=4，即k²=-3。此方程无实数解。检查推导过程，发现错误在于使用了cos120°=-1/2，但计算中2(1-k²)/(2√(1-k²))应等于-1，所以1-k²=-√(1-k²)。两边平方得1-k²=1-k²，此为恒等式，无意义。重新审视，cos120°=-1/2，所以((1+k)(1-k)+(1+k)(1-k))/((2√(1+k))*(2√(1-k)))=-1/2。化简为(2(1-k²))/(4√(1-k²))=-1/2。即1/2=-1/2，矛盾。因此，题目条件有误，或存在笔误。若题目条件是向量u+v与u-v的夹角为60°，则cos60°=1/2。((1+k)(1-k)+(1+k)(1-k))/((2√(1+k))*(2√(1-k)))=1/2。化简为(2(1-k²))/(4√(1-k²))=1/2。即1/2=1/2，恒成立。所以对于60°的夹角，k的取值可以是任意实数。若题目条件是向量u+v与u-v的夹角为60°，则此问无唯一解。若题目条件是向量u+v与u-v的夹角为120°，则此方程无解。可能题目有误。假设题目意在考察向量垂直，即u+v⊥u-v，则(u+v)·(u-v)=0。即(1+k)(1-k)+(1+k)(1-k)=0。化简得2(1-k²)=0。解得k²=1，即k=1或k=-1。（2）u·w=1*2+k*(-3)=2-3k=5。解得k=-1/3。20.（1）cosα=(a·b)/(|a||b|)=(x*1+1*y)/(√(x²+1)*√(1+y²))=x+y/(√(x²+1)*√(1+y²))=1/2。所以(x+y)²=1/4*(x²+1)*(1+y²)。展开整理得x²+y²-7xy/4=0。（2）a+b=(x+1,1+y)=(3,4)。所以x+1=3,1+y=4。解得x=2,y=3。向量a=(2,1)，向量b=(2,3)。向量a-b=(2-2,1-3)=(0,-2)。向量a-b的模|a-b|=√(0²+(-2)²)=√4=2。21.（1）圆C:x²+y²-2x=0可化为(x-1)²+y²=1。圆心C(1,0)，半径r=1。向量OP=(x,y)，向量AP=(x-1,y)。向量OP与向量AP的夹角为θ。cosθ=(OP·AP)/(|OP||AP|)=(x(x-1)+y*y)/(√(x²+y²)*√((x-1)²+y²))=((x-1/2)²+y²-1/4)/(√(x²+y²)*√((x-1)²+y²))。因为(x-1/2)²+y²≥1/4，所以cosθ≥-1/4。又因为0≤θ≤π，所以θ的取值范围是[arccos(-1/4),π]。（2）向量OP与向量BP的夹角为45°，即cos45°=1/√2。向量BP=OP-OB=(x,y)-(0,1)=(x,y-1)。cos45°=OP·BP/(|OP||BP|)=(x*0+y*(y-1))/(√(x²+y²)*√(x²+(y-1)²))=y(y-1)/(√(x²+y²)*√(x²+y²-2y+1))=y(y-1)/((x²+y²)*√(x²+y²-2y+1))=1/√2。所以y(y-1)=√2*(x²+y²)*√(x²+y²-2y+1)。点P在圆上，x²+y²-2x=1，即x²+y²=2x+1。代入得y(y-1)=√2*(2x+1)*√(2x+1-2y+1)=√2*(2x+1)*√(2x-2y+2)。两边平方得y²(y-1)²=2(2x+1)²(2x-2y+2)。整理得y⁴-2y³+y²=8x³-8xy²+8x²-8x+2。由x²+y²=2x+1，得y²=2x+1-x²。代入上式得y⁴-2y³+(2x+1-x²)=8x³-8x(2x+1-x²)+8x²-8x+2。整理得y⁴-2y³+x²-2x-1=0。令f(y)=y⁴-2y³+x²-2x-1。求f(y)=0在y∈[-∞,+∞]的解。f'(y)=4y³-6y²。令f'(y)=0，得y(y²-3y)=0，即y=0或y=3或y=-3。f(0)=0²-2*0³+x²-2x-1=x²-2x-1。f(3)=3⁴-2*3³+x²-2x-1=81-54+x²-2x-1=x²-2x+26。f(-3)=(-3)⁴-2*(-3)³+x²-2x-1=81+54+x²-2x-1=x²-2x+134。当x=1时，f(0)=1-2-1=-2，f(3)=1-2+26=25。在y=0和y=3之间，f'(y)<0，f(y)单调递减。所以f(y)在y=3处取得局部最小值25。当x=-1时，f(0)=-1-2-1=-4，f(3)=-1-2+26=23。在y=0和y=3之间，f'(y)<0，f(y)单调递减。所以f(y)在y=3处取得局部最小值23。对于任意x，f(y)的最小值至少为23。要使f(y)=0有解，需f(y)的最小值≤0。但23>0，所以对于任意x，方程f(y)=0无解。这意味着在题目给定的条件下，不存在点P满足向量OP与向量BP的夹角为45°。可能题目条件有误。若题目条件改为cos135°=-1/√2，则方程变为y(y-1)=-√2*(x²+y²)*√(x²+y²-2y+1)。同样方法处理，最终可能得到y(y-1)=-√2*(2x+1)*√(2x-2y+2)。令g(y)=y(y-1)+√2*(2x+1)*√(2x-2y+2)。求g(y)=0的解。令t=√(2x-2y+2)，则y=x-(t²-2)/2。代入g(y)得关于t的方程。解此方程可能得到y的值，进而得到P的坐标。但此过程复杂，且解的存在性需要严格验证。22.（1）向量a+b=(1+m,2+λ)，向量a-b=(1-m,2-λ)。由向量a+b与向量a-b垂直，得(a+b)·(a-b)=0。即(1+m)(1-m)+(2+λ)(2-λ)=0。化简得1-m²+4-λ²=0。解得m²+λ²=5。（2）向量c=(f(x),0)=(x²+2x+1,0)。向量a+b=(1+m,2+λ)。c·(a+b)=(x²+2x+1,0)·(1+m,2+λ)=(x²+2x+1)(1+m)+0*(2+λ)=(x²+2x+1)(1+m)=